半順序集合の偏差

順序論的数学において、poset の偏差は、 posetの複雑さを測る順序数です。poset は、半順序集合とも呼ばれます。

poset の偏差は、環上のモジュールのKrull 次元をサブモジュールの poset の偏差として定義するために使用されます。

自明な poset (2 つの異なる要素が比較できないもの) は偏差 を持つと宣言されます。降順連鎖条件を満たす非自明な poset は偏差 0 を持つと言われます。次に、帰納的に、すべての降順連鎖a ₀ > a _{1 >... に対して、} a _nとa _{n +1}の間にある有限数を除くすべての poset の偏差が α 未満である場合、poset は偏差が最大で α (順序数 α に対して) を持つと言われます。偏差 (存在する場合) は、これが当てはまる α の最小値です。 ${\displaystyle -\infty}$

すべての poset に偏差があるわけではありません。poset に関する次の条件は同等です。

• ポセットには偏差がある
• 反対のポセットには偏差がある
• 半集合には、有理数（標準的な数値順序）と順序同型な部分集合は含まれない。

正の整数の poset の偏差は 0 です。つまり、すべての降順の連鎖は有限なので、偏差の定義条件は空虚に真です。ただし、その反対の poset の偏差は 1 です。

k を代数的に閉じた体とし、1 変数の多項式環k[x]のイデアルの poset を考えます。この poset の偏差は環の Krull 次元なので、1 になるはずです。これは、k[x] が下降連鎖条件を持たない (したがって偏差が 0 より大きい) という事実に対応しますが、どの下降連鎖でも、連続する要素は「互いに近接」しています。たとえば、イデアルの下降連鎖を考えてみましょう。これは無限下降連鎖ですが、任意の 2 つの連続する項、たとえばと に対して、これらの項の間に k[x]のイデアルの無限下降連鎖は含まれません。${\displaystyle (x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...}$${\displaystyle (x^{n})}$${\displaystyle (x^{n+1})}$

この例をさらに拡張して、クルル次元が 2 である2 変数の多項式環k[x,y]を考えます。下降チェーン を取ります。このチェーン内の任意の 2 つの隣接する項と が与えられると、無限下降チェーン が存在します。したがって、任意の 2 つの隣接する項の間にさらに無限下降チェーンが存在するような下降チェーンを見つけることができます。つまり、下降チェーンを 2 層の深さまで「ネスト」することができます。これを拡張すると、n変数の多項式環では、下降チェーンをn層の深さまでネストすることが可能であり、それ以上は不可能であることが簡単にわかります。これは基本的に、イデアルの poset が偏差n を持つという意味です。 ${\displaystyle (x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...}$${\displaystyle (x^{n})}$${\displaystyle (x^{n+1})}$${\displaystyle (x^{n}y,x^{n+1})\supset (x^{n}y^{2},x^{n+1})\supset (x^{n}y^{3},x^{n+1})\supset ...}$