摂動論

数学および応用数学において、摂動論は、関連するより単純な問題の正確な解から始めて、問題の近似解を見つける方法から構成されます。 ^{[1] [2]}この手法の重要な特徴は、問題を「解ける」部分と「摂動的な」部分に分割する中間ステップです。^[3]通常の摂動論 では、解は小さなパラメータのべき級数として表現されます。^{[1] [2]}最初の項は、解ける問題の既知の解です。 のより高いべき乗での級数の連続する項は通常小さくなります。近似の「摂動解」は、級数を切り捨てることによって得られ、多くの場合、最初の2つの項、既知の問題の解、および「1次」摂動補正のみが保持されます。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

摂動論は幅広い分野で使用されており、量子場理論において最も洗練された高度な形態に達しています。摂動論（量子力学）は、量子力学におけるこの方法の使用について説明します。この分野は一般に、複数の分野にわたって活発に研究されています。

摂動論では、望ましい解を、ある「小さな」パラメータにおける摂動級数と呼ばれる形式的なべき級数で表現します。このべき級数は、正確に解ける問題からの偏差を定量化します。このべき級数の最初の項は、正確に解ける問題の解であり、その後の項は、最初の問題からの偏差による解の偏差を表します。正式には、完全な解への近似値として、次のような 小さなパラメータ (ここではεと呼びます) の級数があります。${\displaystyle \ A\ ,}$

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

この例では、は正確に解ける初期問題に対する既知の解であり、項は1 次、2 次、3 次、およびより高次の項を表し、これらは機械的だが次第に難しくなる手順によって反復的に見つけられる可能性があります。 が小さい場合、級数のこれらの高次の項は一般に (常にではありませんが) 連続的に小さくなります。 近似的な「摂動解」は、級数を切り捨てることによって得られます。多くの場合、最初の 2 つの項のみを保持し、最終解を初期 (正確な) 解と「1 次」摂動補正の合計として表します。 ${\displaystyle \ A_{0}\ }$${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$${\displaystyle \ \varepsilon \ }$

${\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}$

一部の著者は近似解の誤差の順序を示すためにビッグオー記法を使用している： ^[2]${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$

のべき級数が非ゼロの収束半径で収束する場合、その摂動問題は正則摂動問題と呼ばれる。^[1]正則摂動問題では、漸近解は滑らかに厳密解に近づく。^[1]しかし、摂動級数は発散することもあり、その場合、その要素が最小となる点で切り捨てられた級数は、真の解の良い近似値となり得る。これを漸近級数と呼ぶ。摂動級数が発散するか、またはべき級数でない場合（たとえば、漸近展開に非整数のべきまたは負のべきが含まれる場合）、その摂動問題は特異摂動問題と呼ばれる。^[1]摂動論では、特異摂動問題を解析するために多くの特別な手法が開発されてきた。^{[1] [2]}${\displaystyle \ \varepsilon \ }$${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$

現在では摂動論と呼ばれている理論が最も早く使われたのは、天体力学における他の方法では解決できない数学的問題を扱うためでした。例えば、月の軌道は、地球と太陽の重力が競合するため、単純なケプラーの楕円とは著しく異なる動きをします。^[4]

摂動法は、厳密に解けるほど単純な元の問題から始めます。天体力学では、これは通常ケプラーの楕円です。ニュートンの重力では、楕円は、重力を受ける物体が 2 つしかない場合 (たとえば、地球と月) は厳密に正確ですが、物体が 3 つ以上ある場合(たとえば、地球、月、太陽、および太陽系の残りの部分) は完全には正確ではありません。また、一般相対性理論の定式化を使用して重力の相互作用が記述されている場合も完全には正確ではありません。

上記の例を念頭に置いて、摂動級数を得るための一般的な方法に従います。摂動展開は、単純化された問題に連続的な修正を加えることによって作成されます。修正は、摂動されていない解と、システム全体を記述する方程式との間の一貫性を強制することによって得られます。この方程式の集合を書きます。つまり、シンボルは解決する問題を表します。多くの場合、これらは微分方程式であるため、文字「D」になります。 ${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ D\ }$

このプロセスは、面倒ではあるが、一般的には機械的である。方程式を書き始めると、方程式は2つの部分に分かれる。正確に解ける方程式の集合と、小さな方程式のための追加の残りの部分である。解（）は既知であり、一般解を求める。${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ D_{0}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon \ll 1~.}$${\displaystyle \ A_{0}\ }$${\displaystyle \ D_{0}\ }$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}$

次に、近似を に挿入します。この結果、 の方程式が得られます。この方程式は、一般に の積分についての和として閉じた形式で記述できます。したがって、 1 次補正が得られ、の良好な近似値となります。これは、無視された部分がサイズ であったため、良好な近似値となります。このプロセスを繰り返して、補正値などを取得できます。 ${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}}$${\displaystyle \ A_{1}\ ,}$${\displaystyle \ A_{0}~.}$ ${\displaystyle \ A_{1}\ }$${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$${\displaystyle \ A~.}$${\displaystyle \ \varepsilon ^{2}~.}$${\displaystyle \ A_{2}\ ,}$

実際には、このプロセスは急速に項の大量発生につながり、手作業で処理するのが非常に困難になります。アイザック・ニュートンは月の軌道の問題について「頭が痛くなる」と言ったと言われています。^[5]この処理不能性により、摂動論はこれらの高次の項を管理して書き出す高度な技術へと発展しました。量子力学における膨張を制御するための基本的なブレークスルーの 1 つは、量子力学摂動級数をスケッチで表すこと ができるファインマン図です。

摂動論は物理学や応用数学のさまざまな場面で使われてきました。「方程式の集合」の例には、代数方程式^[6]、微分方程式^[7]（例えば、運動方程式^[8] や一般的には波動方程式）、統計力学における熱力学的自由エネルギー、放射伝達^[9] 、量子力学におけるハミルトン演算子などがあります。 ${\displaystyle D}$

摂動的に求められる解の種類の例としては、運動方程式の解（例えば、粒子の軌道）、何らかの物理量の統計平均（例えば、平均磁化）、量子力学的問題の基底状態エネルギーなどが挙げられます。

出発点として使用できる正確に解ける問題の例には、運動の線形方程式(調和振動子、線形波動方程式) を含む線形方程式、相互作用しない粒子の統計的または量子力学的システム (または一般に、すべての自由度で 2 次項のみを含むハミルトニアンまたは自由エネルギー) が含まれます。

摂動法で解くことができるシステムの例には、運動方程式への非線形寄与、粒子間の相互作用、ハミルトニアン/自由エネルギーの高次項を含むシステムが含まれます。

粒子間の相互作用を含む物理的な問題では、摂動級数の項はファインマン図を使用して表示（および操​​作）できます。

摂動論は、太陽系の惑星の運動を計算する際に、他の方法では解決できない問題を解決するために最初に考案されました。たとえば、ニュートンの万有引力の法則は、2 つの天体間の重力を説明しましたが、3 番目の天体が加わると、「各天体は互いにどのように引っ張るのか」という問題が生じます。ケプラーの軌道方程式は、ニュートンの重力方程式が相互作用する 2 つの天体に限定されている場合にのみ、その方程式を解くことができます。天体観測の精度が徐々に高まるにつれて、ニュートンの重力方程式の解の精度に対する要求が高まり、18 世紀と 19 世紀の多くの著名な数学者、特にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュとピエール＝シモン・ラプラスが摂動論の手法を拡張し一般化しました。

これらの十分に発達した摂動法は、20世紀の原子物理学と素粒子物理学における量子力学の発展の間に生じた新しい問題を解決するために採用され、適応されました。ポール・ディラックは、放射性元素で粒子がいつ放出されるかを評価するために、1927年に量子摂動法を開発しました。これは後にフェルミの黄金律と名付けられました。^{[10] [11]}量子力学における摂動法は、主に量子力学が線形波動方程式に限定されていることからかなり理解しやすいですが、量子力学的表記法では式をかなりコンパクトな形式で記述できるため、理解しやすくなっています。その結果、ゼーマン効果から水素原子の超微細分裂に至るまで、応用が爆発的に広がりました。

表記法はより単純になったものの、量子場理論に摂動論を適用すると、依然として手に負えなくなることがよくあります。リチャード・ファインマンは、多くの項が規則的に繰り返されることに着目して、有名なファインマン図を考案しました。これらの項は、それぞれ項、分母、積分などを表す点、線、波線などの記号に置き換えることができます。そのため、複雑な積分を単純な図で記述することができ、その意味がまったく曖昧になることはありません。図と特定の積分が 1 対 1 に対応していることが、図の威力の源です。もともと量子場理論のために開発されたものですが、この図式的手法は他の多くの摂動級数にも広く適用できることがわかりました (ただし、常に価値があるとは限りません)。

20 世紀後半、カオス理論が発展するにつれ、摂動を受けない系は一般に完全に積分可能な系であるのに対し、摂動を受けた系はそうではないことが明らかになりました。これによりすぐに「ほぼ積分可能な系」の研究が進められ、KAM トーラスはその代表的な例です。同時に、以前は摂動論を通じてのみアプローチ可能であった多くの (かなり特殊な)非線形系が実際には完全に積分可能であることも発見されました。この発見は非常に劇的で、正確な解を与えることが可能になりました。これにより、摂動級数の意味が明確になり、級数の結果を正確な解と比較できるようになりました。

カオス理論によって動的システムに対する理解が深まったことで、いわゆる「小分母問題」または「小約数問題」の解明に役立ちました。19 世紀にポアンカレは(おそらくそれ以前の数学者もそうだったでしょうが)、摂動級数の 2 次以上の項が「小分母」を持つことがあることを観察しました。つまり、それらは一般形を持ち、 と は解決すべき問題に関連する複雑な式であり、 とは実数です。これらは通常モードのエネルギーである場合が非常に多くあります。小約数問題は差が小さい場合に発生し、摂動補正が「爆発」して、0 次項と同じかそれよりも大きくなります。この状況は摂動論の崩壊を示しています。摂動論はこの時点で機能しなくなり、それ以上展開したり合計したりすることはできません。正式には、摂動級数は漸近級数です。つまり、いくつかの項については便利な近似値ですが、さらに項を追加すると、ある時点で精度が低下します。カオス理論からの飛躍的進歩は、なぜこのようなことが起こるのかを説明することでした。摂動理論がカオス系に適用されると、必ず小さな約数が発生します。一方が他方の存在を知らせます。 ${\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ }$${\displaystyle \ \psi _{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ V\ ,}$${\displaystyle \ \phi _{m}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ \omega _{m}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}-\omega _{m}\ }$

惑星は互いに非常に離れており、またその質量は太陽の質量に比べて小さいため、惑星間の重力は無視することができ、惑星の運動は第一近似として、二体問題の方程式によって定義されるケプラーの軌道に沿って起こると考えられる。この二体とは惑星と太陽である。^[12]

天文学のデータがはるかに正確に知られるようになったため、太陽の周りの惑星の運動が他の惑星によってどのように影響を受けるかを考慮する必要が生じました。これが三体問題の起源です。したがって、月-地球-太陽のシステムを研究する際に、月と地球の質量比が「小さなパラメータ」として選択されました。ラグランジュとラプラスは、太陽の周りの惑星の運動を記述するいわゆる「定数」が徐々に変化するという見解を最初に提唱しました。それらは、いわば他の惑星の運動によって「摂動」され、時間の関数として変化します。そのため、「摂動理論」と呼ばれています。^[12]

摂動論はラプラス、シメオン・ドニ・ポアソン、カール・フリードリヒ・ガウスといった古典学者によって研究され、その結果、非常に高い精度で計算を行うことができるようになった。1848年、ユルバン・ルヴェリエは天王星の運動の偏差に基づいて海王星を発見した。彼は座標をJGガレに送り、ガレは望遠鏡で海王星を観測することに成功した。摂動論の勝利であった。^[12]

摂動論の標準的な説明は、摂動が実行される順序、つまり一次摂動論か二次摂動論か、摂動された状態が縮退しているかどうか（縮退している場合は特異摂動が必要）という観点から行われます。特異の場合は特別な注意が必要で、理論はやや複雑になります。

多くのab initio 量子化学法は、摂動法を直接使用するか、密接に関連した方法です。暗黙の摂動法^[13]は最初から完全なハミルトニアンで動作し、摂動演算子を明示的に指定することはありません。Møller –Plesset 摂動法は、ハートリー–フォックハミルトニアンと正確な非相対論的ハミルトニアンの差を摂動として使用します。ゼロ次エネルギーは軌道エネルギーの合計です。一次エネルギーはハートリー–フォック エネルギーであり、電子相関は二次以上で含まれます。二次、三次、四次の計算は非常に一般的であり、ほとんどのab initio量子化学プログラムにコードが含まれています。関連しているがより正確な方法は、結合クラスター法です。

殻交差（sc）は摂動論において、物質の軌道が交差して特異点を形成するときに発生します。^[14]これにより、小規模での物理シミュレーションの予測力が制限されます。

• van den Eijnden, Eric . 「正規摂動論入門」(PDF) . 2004-09-20 にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。
• Chow, Carson C. (2007年10月23日). 「多重スケールの摂動法」. Scholarpedia . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• 量子摂動論への代替アプローチMartínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). 「量子力学における摂動論への代替分析」. The European Physical Journal D . 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode :2012EPJD...66...22M. doi :10.1140/epjd/e2011-20654-5. S2CID  117362666.