宇宙論的摂動理論

物理宇宙論では、宇宙論的摂動理論^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}は、ビッグバンモデルにおける構造の進化を理解するための理論です。宇宙論的摂動理論は、ニュートン理論と一般相対論の2つのカテゴリーに分類できます。それぞれのケースでは、支配方程式を使用して、小さな摂動を成長させ、最終的に星、クエーサー、銀河、および銀河団の形成の種となる重力と圧力を計算します。どちらのケースも、宇宙が主に均質である状況、例えば宇宙インフレーションやビッグバンの大部分にのみ適用されます。宇宙は依然として十分に均質であると考えられており、この理論は最大のスケールでは良い近似となりますが、より小さなスケールでは、 N体シミュレーションなどのより複雑な手法を使用する必要があります。摂動論に一般相対性理論を用いるかどうかを判断する際には、ニュートン力学は、ハッブルの地平線よりも小さいスケール、時空が十分に平坦な場合、および速度が非相対論的である場合など、一部の場合にのみ適用可能であることに留意してください。

一般相対性理論のゲージ不変性のため、宇宙論的摂動論の正しい定式化は微妙である。特に、不均一な時空を記述する場合、好ましい座標の選択はしばしば存在しない。古典一般相対性理論における摂動論には、現在2つの異なるアプローチが存在する。

• 超曲面による時空の葉層化に基づくゲージ不変摂動理論、
• フレームを用いて時空を貫通させることに基づく、1+3共変ゲージ不変摂動理論。

流体力学的流体領域における物質が構造形成に及ぼす影響に焦点を当てることは有益である。なぜなら、宇宙の歴史の大部分において、暗黒物質が構造成長を支配してきたからである。この領域はハッブルスケール以下のスケールである。${\displaystyle <H^{-1},}$（どこ${\displaystyle H}$はハッブルパラメータであり、この場合、時空は平坦であるとみなすことができ、一般相対性理論の効果は無視できる。しかし、これらのスケールはカットオフを超えており、圧力と密度の摂動は十分に線形である。${\displaystyle \delta P~,~\delta \rho \ll 1}$低圧を想定する${\displaystyle P\ll \rho ~,}$放射効果を無視できるため、低速では${\displaystyle u\ll c}$これにより、相対論的効果は無視できるほど小さくなる。

最初の支配方程式は物質保存則、すなわち連続方程式^{[ 6 ]から導かれる。}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+3H\rho +{\frac {1}{a}}\cdot \nabla \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0,}$

どこ${\displaystyle a}$はスケールファクターであり、${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$は固有速度です。すべての変数は時刻で評価されます。${\displaystyle t}$そしてその乖離${\displaystyle \nabla }$は共動座標系で表されます。2番目の式はオイラー方程式です。

${\displaystyle \rho {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{a}}{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{a}}\nabla P-{\frac {1}{a}}\rho \nabla \Phi ,}$

どこ${\displaystyle \Phi }$は重力ポテンシャルです。これは運動量保存則の結果です。ニュートン力学の極限では、ポテンシャルは重力に関するポアソン方程式に従います。

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho ~.}$

これまでの式は完全に非線形であり、直感的に解釈するのは難しい場合があります。したがって、摂動展開を検討し、各次数を個別に調べることが有用です。

${\displaystyle \rho ={\bar {\rho }}(1+\delta ),\quad {\boldsymbol {u}}=Ha{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {v}},\quad P={\bar {P}}+\delta P~,~\Phi ={\bar {\Phi }}+\delta \Phi .}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$は共動座標です。

線形次数では、連続方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {\delta }}=-{\frac {1}{a}}\theta ~,}$

どこ${\displaystyle \theta \equiv \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}}$は速度発散です。そして線形オイラー方程式は

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\dot {\boldsymbol {v}}}+H{\boldsymbol {v}}\right)=-{\frac {1}{a}}\nabla \delta P-{\frac {1}{a}}{\bar {\rho }}\nabla \delta \Phi ~.}$

連続方程式、オイラー方程式、ポアソン方程式を組み合わせると、進化を支配する単純なマスター方程式が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial }{\partial t}}-c_{s}^{2}{\frac {1}{a}}\nabla ^{2}-4\pi G{\bar {\rho }}\right)\delta =0,}$

音速は次のように定義される。${\displaystyle c_{s}^{2}\equiv \delta P/{\bar {\rho }}\delta }$閉包関係を与える。このマスター方程式は、波動解を許容する。${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {x}},t)}$物質のゆらぎが、ゆらぎ自身の重力、圧力、宇宙の膨張、背景重力場といった相反する効果の組み合わせによって時間とともにどのように増大していくかを説明する。

ゲージ不変摂動理論は、Bardeen (1980) ^{[ 7 ]} 、 Kodama と Sasaki (1984) ^{[ 8 ]による発展に基づいており、Lifshitz (1946) [ 9 ]} の研究を基盤としています。これは、宇宙論における一般相対性理論の摂動理論の標準的なアプローチです。^{[ 10 ]}このアプローチは、物理宇宙論プログラムの一部として、宇宙マイクロ波背景放射の異方性の計算に広く使用されており^{[ 11 ]} 、Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) モデルに関してゲージ不変性を保つ線形化から生じる予測に焦点を当てています。このアプローチは、ニュートン的な類似物の使用に大きく依存しており、通常は、摂動が展開される FRW 背景を起点としています。この手法は非局所的で座標に依存するが、ゲージ不変である。なぜなら、結果として得られる線形フレームワークは、ゲージ保存写像によって連結された特定の背景超曲面の族から構築され、時空を葉層化するからである。この手法は直感的ではあるが、一般相対性理論に固有の非線形性にはうまく対処できない。

^{エーラース (1971) [ 12 ]}とエリス (1971) ^{[ 13 ]}のラグランジュスレッディングダイナミクスを用いた相対論的宇宙論では、ホーキング (1966) ^{[ 14 ]}とエリスとブルーニ (1989) ^{[ 15 ]}によって開発されたゲージ不変共変摂動理論を用いるのが一般的である。ここでは、背景から始めてその背景から摂動していくのではなく、完全な一般相対性理論から始めて、特定の背景の周りで線形となる理論に体系的に縮小していく。^{[ 16 ]}このアプローチは局所的であり、共変かつゲージ不変であるが、時空全体をスレッディングするために使用される局所共動観測者フレーム (フレームバンドルを参照) を中心に構築されているため、非線形となる可能性がある。この摂動理論のアプローチは、真の物理的自由度を記述するために必要なちょうど適切な次数の微分方程式を生成するため、非物理的なゲージモードは存在しない。理論は座標に依存しない形で表現するのが一般的です。運動論の応用では、完全な接線束を使用する必要があるため、相対論的宇宙論のテトラッド形式を使用するのが便利になります。このアプローチを宇宙マイクロ波背景放射の異方性の計算に適用するには^{[ 17 ]}、Thorne (1980) ^{[ 18 ]}および Ellis、Matravers、Treciokas (1983) ^{[ 19 ]}によって開発された完全な相対論的運動論の線形化が必要です。

相対論的宇宙論では、スレッディングフレームの選択に自由度があります。このフレームの選択は、座標の選択とは異なります。このフレームを選択することは、互いに写像される時間的世界線の選択を固定することと同等です。これによりゲージの自由度は減少しますが、ゲージ自体は固定されず、残りのゲージの自由度の下で理論はゲージ不変のままです。ゲージを固定するためには、現実宇宙（摂動を受けた宇宙）と背景宇宙の時間面間の対応関係と、背景宇宙と現実宇宙の初期空間的表面上の点間の対応関係を指定する必要があります。これがゲージ不変摂動論とゲージ不変共変摂動論を結びつけるものです。ゲージ不変性は、フレームの選択が背景のフレームの選択と完全に一致する場合にのみ保証されます。通常、物理的なフレームはこの性質を持つため、これを保証するのは容易です。

ニュートンゲージを選択することで、摂動一般相対性理論からニュートン方程式に似た方程式が導き出されます。ニュートンゲージは、ゲージ不変摂動理論で一般的に使用される変数と、より一般的なゲージ不変共変摂動理論から生じる変数との間の直接的なつながりを提供します。

• 原始的な変動
• 宇宙マイクロ波背景放射のスペクトル歪み

物理宇宙論の教科書を参照してください。

• Ellis, George FR; van Elst, Henk (1999). "宇宙論モデル". Marc Lachièze-Rey (編).理論および観測宇宙論: NATO 理論および観測宇宙論に関する先端研究機関の議事録. Cargèse Lectures 1998. NATO Science Series: Series C. Vol.  541. Kluwer Academic . pp. 1– 116. arXiv : gr-qc/9812046 . Bibcode : 1999ASIC..541....1E .