コルモゴロフ・アーノルド・モーザーの定理

コルモゴロフ・アーノルド・モーザー（KAM）定理は、力学系における、小さな摂動の下での準周期運動の持続性に関する定理である。この定理は、古典力学の摂動論で生じる小因子問題を部分的に解決する。

問題は、保存力学系の小さな摂動が持続的な準周期軌道をもたらすかどうかである。この問題に対する最初の突破口は、1954 年にアンドレイ・コルモゴロフによって与えられた。 ^{[ 1 ]}これは、1962 年にユルゲン・モーザーによって厳密に証明され、拡張された（滑らかなツイスト写像の場合）^{[ 2 ]} 、 1963 年にウラジミール・アーノルドによって拡張された（解析的ハミルトン系の場合） ^{[ 3 ]}、そして一般的な結果は KAM 定理として知られている。

アーノルドは当初、この定理が太陽系の運動や他のn体問題の例にも適用できると考えていたが、より多くの物体に対する問題の定式化に縮退があったため、3 体問題にしか適用できないことが判明した。後に、ガブリエラ・ピンザーリは、定理の回転不変バージョンを開発することで、この縮退を解消する方法を示した。^{[ 4 ]}

コルモゴロフ、アーノルド、モーザーによって導入された手法は、準周期運動に関する膨大な研究成果へと発展し、現在ではKAM理論として知られている。特に、この理論は非ハミルトン系（モーザーの研究から始まった）、非摂動的な状況（マイケル・ハーマンの研究など）、そして高速および低速の周波数を持つ系（ミハイル・B・セヴリュクの研究など）へと拡張されてきた。

多様体$\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$流れの作用に対して不変$\displaystyle \phi ^{t}}$不変量と呼ばれる${\displaystyle d}$-トーラス、微分同相写像が存在する場合$\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$ 標準に${\displaystyle d}$-トーラス$\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$ その結果生じる動きは$\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$均一な線形であるが静的ではない、つまり${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}}$、どこ$\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$はゼロでない定数ベクトルであり、周波数ベクトルと呼ばれます。

周波数ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$は：

• 合理的に独立している（つまり、比較不可能である）$\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$すべての人々のために$\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$）
• そして、ディオファントス的な意味で、合理性によって「不適切に」近似される。

${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\},}$

すると不変量${\displaystyle d}$-トーラス$\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$（$d ≥ 2$）はKAMトーラスと呼ばれます。${\displaystyle d=1}$このケースは、小さな約数を含まないため、古典的なKAM理論では通常除外される。

• 太陽系の安定性
• アーノルド拡散
• エルゴード理論
• ホフスタッターの蝶
• ネホロシェフの推計

• アーノルド、ワインスタイン、フォークトマン。『古典力学の数学的方法』第2版、付録8：条件付き周期運動の摂動理論とコルモゴロフの定理。シュプリンガー、1997年。
• Sevryuk, MB VI Arnold 論文「重ね合わせから KAM 理論へ」（ウラジーミル・イゴレビッチ・アーノルド選集 60、モスクワ：PHASIS、1997 年、727–740 頁）の翻訳。Regul. Chaot. Dyn. 19、734–744 (2014)。https ://doi.org/10.1134/S1560354714060100
• Wayne, C. Eugene (2008年1月). 「KAM理論入門」(PDF) .プレプリント: 29 . 2012年6月20日取得.
• ユルゲン・ペシェル（ 2001）。「古典的KAM定理に関する講義」（PDF）。純粋数学シンポジウム論文集。69 ：707–732。CiteSeerX 10.1.1.248.8987。doi：10.1090/pspum/069 / 1858551。ISBN  97808218268292016年3月3日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。2006年6月6日に取得。
• Rafael de la Llave (2001) KAM 理論に関するチュートリアル。
• ワイススタイン、エリック W. 「コルモゴロフ-アーノルド-モーザーの定理」 . MathWorld .
• KAM理論：コルモゴロフの1954年の論文の遺産
• Scholarpediaからのコルモゴロフ・アーノルド・モーザー理論
• H・スコット・デュマス著『KAM物語 ― 古典的コルモゴロフ・アーノルド・モーザー理論の内容、歴史、意義への親しみやすい入門』（2014年、ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN） 978-981-4556-58-3第1章：序論
• I. ファシティエッロ著『数学の統一のために。アンドレイ・N・コルモゴロフによる1954年の力学系理論への画期的な貢献』、2025年、マテマタ、ローマ TrE-press、ISBN 979-12-5977-512-2。