ドミナントバランス法

数学において、ドミナントバランス法は、方程式の解を近似する手法である。方程式の解に最も影響を与える（支配する）2つ以上の項を含む簡略化された形式の方程式を解き、この近似解にわずかな変更しか与えない項を除外する。初期解に続いて、この手順を繰り返すことで漸近展開の追加項が生成され、より正確な解が得られる。^{[1] [2]}

ドミナントバランス法の初期の例として、ニュートン多角形法がある。 ニュートンは代数関数の明示的な近似値を求めるためにこの手法を開発した。ニュートンは関数を独立変数のべき乗に比例するものとして表現し、最低次の多項式項（ドミナント項）のみを保持し、この簡略化された方程式を解いて近似解を得た。^{[3] [4]} ドミナントバランスは幅広い用途があり、流体力学、プラズマ物理学、乱流、燃焼、非線形光学、地球物理学的流体力学、神経科学で生じる微分方程式を解く。^{[5] [6]}

パラメータまたは独立変数の関数と商には、極限 に近づくにつれて極限があります。 ${\textstyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$ ${\textstyle z}$${\textstyle f(z)/g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$

関数 はに近づくにつれてよりもはるかに小さくなり、 と表記されます。これは に近づくにつれて商の極限がゼロになる場合です。^[7]${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle f(z)\ll g(z)\ (z\to L)}$${\textstyle f(z)/g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$

関係は に近づくにつれてよりも低次のものとなり、小文字のoで表記すると はに近づくにつれてよりもはるかに小さいという関係と同一となる。^[7]${\textstyle f(z)}$${\textstyle g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle f(z)=o(g(z))\ (z\to L)}$${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$

関数 はに近づくにつれてと等価となり、 に近づくにつれて商の極限が1になる場合、と表記される。^[7]${\textstyle f(z)}$${\textstyle g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle f(z)\sim g(z)\ (z\to L)}$${\textstyle f(z)/g(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$

この結果は、のすべての値に対して、ゼロ関数 が他の関数と等価になることは決してないことを示しています。^[7]${\textstyle f(z)=0}$${\textstyle z}$

漸近的に同値な関数は、収束に関する要件が満たされていれば、積分においても漸近的に同値なままである。漸近的に同値な関数が微分においても漸近的に同値なままであるためには、より具体的な要件がある。^[8]

方程式の近似解は、 が極限 に近づくにつれて になります。方程式の項は定数であるか、この解を含む可能性があります。近似解が完全に正しければ、この方程式の項の合計はゼロになります。 異なる整数インデックス に対して、この方程式は 2 つの項の合計と、次のように表される 剰余です。方程式の項とをバランスさせるということは、およびで簡約された方程式を解く関数を見つけることによって、これらの項を等しく漸近的に同値にすることを意味します。^[9]${\textstyle s(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)}$$${\displaystyle T_{0}(s)+T_{1}(s)+\ldots +T_{n}(s)=0.}$$${\textstyle i,j}$${\textstyle R_{ij}(s)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{i}(s)+T_{j}(s)+R_{ij}(s)=0\\&R_{ij}(s)=\sum _{{k=0} \atop {k\neq i,k\neq j}}^{n}T_{k}(s).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle T_{i}(s)}$${\textstyle T_{j}(s)}$${\textstyle s(z)}$ ${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$

この解は項および が支配的である場合に矛盾がありません。支配的とは、 が に近づくにつれて、残りの方程式の項が項およびよりはるかに小さくなることを意味します。^{[10] [11]} 2 つの方程式項のバランスをとる矛盾のない解は、 に近づく値 について、完全な方程式の解の正確な近似値を生成する場合があります。^{[11] [12]} 方程式の異なる項のバランスをとることによって生じる近似解は、内層解と外層解など、異なる近似解を生成する場合があります。^[5]${\textstyle s(z)}$${\textstyle T_{i}(s)}$${\textstyle T_{j}(s)}$${\textstyle R_{ij}(s)}$${\textstyle T_{i}(s)}$${\textstyle T_{j}(s)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$

スケール関数を 方程式に代入し、極限をアプローチとしてとると、の異なる指数値に対して簡略化された簡約方程式が生成される場合があります。^{[9]これらの簡約方程式は}識別極限 と呼ばれ、バランスの取れた支配方程式項を識別します。^[13] スケール変換により、スケール関数が生成されます。支配バランス法は、異なる指数を含む因子を持つ方程式項のバランスをとるためにスケール変換を適用します。たとえば、には因子が含まれ、項にはを持つ因子が含まれます。スケール関数は、が方程式のパラメータであり、微分方程式の独立変数ではない場合に、微分方程式に適用されます。^[5] クラスカル・ニュートン図により、代数方程式と微分方程式の支配バランスに必要なスケール関数を特定しやすくなります。^[5]${\textstyle s(z)=(zL)^{p}{\チルダ {s}}(z)}$${\textstyle z}$${\textstyle L}$${\textstyle p}$${\textstyle T_{i}(s)}$${\textstyle (zL)^{q}}$${\textstyle T_{j}(s)}$${\textstyle (zL)^{r}}$${\textstyle q\neq r}$${\textstyle z}$

不規則特異点を含む微分方程式の解の場合、主導挙動は、独立変数が不規則特異点に近づくときに残る漸近級数解の最初の項です。制御因子は、主導挙動の最も速く変化する部分です。「正確な解自体から支配的なバランス解を因数分解することによって得られた関数の方程式が、支配的なバランス解よりも変化が遅い解を持つことを示す」ことが推奨されます。^[11]${\textstyle z}$${\textstyle L}$

入力は方程式の項のセットと限界 L です。出力は近似解のセットです。異なる方程式の項の各ペアに対して、アルゴリズムは必要に応じてスケール変換を適用し、縮小された方程式を解く関数を見つけることで選択された項のバランスを取り、この関数が一貫しているかどうかを判断します。関数が項のバランスを取り、一貫している場合、アルゴリズムは関数を近似解のセットに追加します。そうでない場合は、アルゴリズムは関数を拒否します。このプロセスは、異なる方程式の項の各ペアに対して繰り返されます。 ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$

入力方程式の項と限界のセット${\textstyle \{T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)\}}$${\textstyle L}$

近似解の出力セット${\textstyle \{s_{0}(z),s_{1}(z),\dots \}}$

1. 異なる方程式の各項のペアに対して次の操作を実行します。 ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$
   1. 必要に応じてスケール変換を適用します。
   2. およびを用いて、簡約された方程式を解きます。${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$
   3. 一貫性を検証する:${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{i}(s)\ (z\to L)}$${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{j}(s)\ (z\to L).}$
   4. 関数が一貫しており、簡約された方程式を解く場合は、この関数を近似解の集合に追加し、そうでない場合は関数を拒否します。${\textstyle s(z)}$

この方法は、漸近展開の追加項を生成するために反復され、より正確な解を提供することができる。^[11] ニュートン・ラプソン法などの反復法は、より正確な解を生成することができる。^[4]近似解を第1項として使用する摂動 級数も、より正確な解を生成することができる。^[5]

ドミナントバランス法は、方程式がゼロに近づくにつれて定義される多値関数の明示的な近似式を見つける。^[14]${\textstyle s=s(z)}$${\textstyle 1-16s+zs^{5}=0}$${\textstyle z}$

方程式の項の集合はであり、極限はゼロです。 ${\textstyle \{1,-16s,zs^{5}\}}$

1. 用語を選択し、。${\textstyle 1}$${\textstyle -16s}$
2. スケール変換は必要ありません。
3. 次の簡約された方程式を解きます。${\displaystyle 1-16s=0,s(z)={\tfrac {1}{16}}}$
4. 一貫性の検証:${\displaystyle zs^{5}\ll 1\ (z\to 0),\ zs^{5}\ll 16s\ (z\to 0)\ }$${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{16}}.}$
5. この関数を近似解の集合に追加します。${\displaystyle s_{0}(z)={\tfrac {1}{16}}}$

1. 用語を選択し、。${\displaystyle -16s}$${\displaystyle zs^{5}}$
2. スケール変換を適用します。変換された方程式は です。${\displaystyle s=z^{-1/4}{\チルダ {s}}}$${\displaystyle z^{1/4}-16{\チルダ {s}}+{\チルダ {s}}^{5}=0}$
3. 次の簡約された方程式を解きます。${\displaystyle -16{\チルダ {s}}+{\チルダ {s}}^{5}=0,\ {\チルダ {s}}=2,-2,2i,-2i}$
4. 一貫性の検証:${\displaystyle z^{1/4}\ll 16{\tilde {s}}\ (z\to 0),\ z^{1/4}\ll {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\ }$${\displaystyle {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i.}$
5. 次の関数を近似解のセットに追加します。

$${\displaystyle s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}},s_{2}(z)={\frac {-2}{z^{1/4}}},s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}},s_{4}(z)={\frac {-2i}{z^{1/4}}}.}$$

1. 用語を選択し、。${\displaystyle 1}$${\displaystyle zs^{5}}$
2. スケール変換を適用する。変換された式は次のようになる。${\displaystyle s=z^{-1/5}{\tilde {s}}}$${\displaystyle 1-16z^{-1/5}{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0.}$
3. 簡約された方程式を解きます。${\displaystyle 1+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}$
4. 関数は一貫していません:${\displaystyle -16z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\ }$${\displaystyle {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}$
5. この機能を拒否:${\displaystyle s=z^{-1/5}(-1)^{1/5}.}$

近似解の集合には 5 つの関数があります。 $${\displaystyle \left\{{\frac {1}{16}},{\frac {2}{z^{1/4}}},{\frac {-2}{z^{1/4}}},{\frac {2i}{z^{1/4}}},{\frac {-2i}{z^{1/4}}}\right\}.}$$

近似解は摂動級数解の最初の項である。^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&s_{0}(z)={\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16777216}}z^{1}+{\frac {5}{17592186044416}}z^{2}+\ldots ,\\&s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots ,\\&s_{2}(z)=-{\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\&s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots \\&s_{4}(z)=-{\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\\end{aligned}}}$$

微分方程式は指数関数的な先頭項を持つ解を持つことが知られています。^[15] 変換により微分方程式が得られます。ドミナントバランス法では、がゼロに近づくにつれて近似解が見つかります。 は微分方程式の独立変数であり、微分方程式のパラメータではないため、スケールされた関数は使用されません。^[10]${\textstyle z^{3}w^{\prime \prime }-w=0}$${\textstyle w(z)=e^{s(z)}}$${\textstyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}-z^{3}s^{\prime \prime }=0}$${\textstyle z}$${\textstyle z}$

方程式の項の集合はであり、極限はゼロです。 ${\textstyle \{1,-z^{3}(s^{\prime })^{2},-z^{3}s^{\prime \prime }\}}$

1. 選択して。${\displaystyle 1}$${\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}$
2. スケール変換は必要ありません。
3. 簡約された方程式を解きます。${\displaystyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}=0,\ s(z)=\pm 2z^{-1/2}}$
4. 一貫性の検証:${\displaystyle z^{3}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),\ z^{3}s^{\prime \prime }\ll z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)}$${\displaystyle s(z)=\pm 2z^{-1/2}.}$
5. 次の 2 つの関数を近似解のセットに追加します。${\displaystyle s_{+}(z)=+2z^{-1/2},\ s_{-}(z)=-2z^{-1/2}.}$

1. 選択して${\displaystyle 1}$${\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}$
2. スケール変換は必要ありません。
3. 簡約された方程式を解きます。${\displaystyle 1-z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}}$
4. 関数は一貫していません:${\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}$${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$
5. この機能を拒否: 。${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$

1. 選択して。${\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}$${\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}$
2. スケール変換は必要ありません。
3. 次の簡約された方程式を解きます。${\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}+z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)=\ln z}$
4. 関数は一貫していません。${\displaystyle 1\gg z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)\ }$${\displaystyle \ 1\gg \ z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}$${\displaystyle s(z)=\ln z.}$
5. この機能を拒否:${\displaystyle s(z)=\ln z.}$

近似解の集合には2つの機能がある: ^[10] $${\displaystyle \left\{+2z^{-1/2},-2z^{-1/2}\right\}.}$$

1項解を用いて2項解を求める。 この2項解を元の微分方程式に代入すると、新しい微分方程式が生成される。^[10]$${\displaystyle s_{2\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+s(z).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}1-z^{3}(s_{2\pm }^{\prime })^{2}-z^{3}s_{2\pm }^{\prime \prime }&=0\\\pm 1\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime }+{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }&=0.\end{aligned}}}$$

方程式の項の集合はであり 、極限はゼロです。 ${\textstyle \{\pm 1,\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime },{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2},{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\}}$

1.を選択して。${\displaystyle 1}$${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }}$

2. スケール変換は必要ありません。

3. 次の簡約された方程式を解きます。${\displaystyle 1-{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }=0,\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}$

4. 一貫性を確認する:

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),{\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll {\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }\ (z\to 0)\ {\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z.}$

5. 近似解の集合に次の関数を追加します。

${\textstyle s_{2+}(z)=+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}$

${\textstyle s_{2-}(z)=-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}$^[10 ]

他の項のペアについては、簡約された方程式を解く関数は一貫していません。^[10]

近似解の集合には2つの機能がある: ^[10] $${\displaystyle \left\{+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z,-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z\right\}.}$$

次の反復では、3項解が生成され、これはべき級数展開が解の残りを表すことができることを意味する。^[10] ドミナントバランス法は、定数と展開係数を持つこの漸近展開の主要項を生成し、完全微分方程式への代入によって決定される。^[10]${\textstyle s_{3\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\operatorname {ln} (z)+h(z)}$${\textstyle h(z)\ll 1\ (z\to 0)}$${\textstyle A}$

${\displaystyle w(z)=Az^{3/4}e^{\pm 2z^{-1/2}}\left(\sum _{n=0}^{m}\ a_{n}z^{n/2}\right)}$

${\displaystyle a_{n+1}=\pm {\frac {(n-1/2)(n+3/2)a_{n}}{4(n+1)}}.}$

この非収束級数の部分和は近似解を生成する。主要項はリウヴィル・グリーン（LG）近似またはウェンツェル・クラマース・ブリルアン（WKB）近似に対応する。^[15]

• 漸近解析