フェイェールカーネル

数学において、フェイェール核は、フーリエ級数に対するチェザロ総和法の効果を表すために用いられる総和核である。これは非負核であり、近似的な恒等式を導く。ハンガリーの数学者リポト・フェイェール（1880年- 1959年）にちなんで名付けられた。

フェイェール核には多くの同等の定義が存在する。そのうちの3つの定義を以下に概説する。

1) 従来の定義は Fejér カーネルを表します${\displaystyle F_{n}(x)}$ディリクレ核の観点から

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}$

どこ

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}}$

は${\displaystyle k}$次ディリクレ核。

2) フェイェールの種子${\displaystyle F_{n}(x)}$また、次のように閉じた形式の式で表すこともできます^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos(x)}}\right)}$

この閉形式の式は、上記の定義から導き出すことができる。この結果の証明は以下のとおりである。

ディリクレ核は次のように書けるという事実を利用する：^{[ 2 ]}

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin {\frac {x}{2}}}}}$、

上記のフェイェール核の定義から、次の式が得られる。

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}{\big [}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}}){\big ]}}$$

三角関数の恒等式より：${\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))}$1つは

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos((k+1)x)],}$$

これにより評価が可能になる${\displaystyle F_{n}(x)}$伸縮自在な合計として：

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}\sin ^{2}\left({\frac {nx}{2}}\right)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}.}$$

3) Fejér カーネルは次のように表すこともできます。

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}}$

Fejér カーネルは、正の加算可能カーネルです。 Fejér カーネルの重要な特性は次のとおりです。${\displaystyle F_{n}(x)\geq 0}$平均値 ${\displaystyle 1}$。

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