ガウス関数

数学において、ガウス関数（しばしば単にガウス関数と呼ばれる）は、基本形式の 関数である。$${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ パラメトリック拡張付き $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$任意の実定数a、bとゼロでないc に対して、ガウス関数は、数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。ガウス関数のグラフは、特徴的な対称的な「ベルカーブ」形状をしています。パラメータaは曲線のピークの高さ、bはピークの中心の水平位置、c (標準偏差、ガウスRMS幅と呼ばれることもあります) は「ベル」の幅を制御します。

ガウス関数は、期待値μ = b、分散σ ² = c ²の正規分布する確率変数の確率密度関数を表すためによく使用されます。この場合、ガウス関数は次の形式になります^{[ 1 ]}

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

ガウス関数は、統計学では正規分布の記述に、信号処理ではガウスフィルタの定義に、画像処理では2次元ガウス関数を用いたガウスぼかしに、数学では熱方程式や拡散方程式の解法、ワイエルシュトラス変換の定義に広く用いられています。また、量子化学では基底関数系の構築に多用されています。

ガウス関数は、指数関数と凹型の二次関数を合成することによって得られる。 $${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma \right),}$$ どこ $${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}},\qquad \beta ={\frac {b}{c^{2}}},\qquad \gamma =\ln a-{\frac {b^{2}}{2c^{2}}}.}$$ （注記：${\textstyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$で${\displaystyle \ln a}$と混同しないように${\textstyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}}}$）

ガウス関数とは、その対数が凹型の二次関数となる関数のことである。

パラメータcは、ピークの半値全幅(FWHM)と関連しています。

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

この関数は、fWHM（半値全幅）を用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {4(\ln 2)(x-b)^{2}}{w^{2}}}\right).}$$

あるいは、パラメータcは、関数の2 つの変曲点がx = b ± cで発生すると解釈することもできます。

ガウス関数の最大値の10分の1における全幅（FWTM）は興味深いものであり、 $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

ガウス関数は解析的であり、x → ∞のときの極限は 0です(上記のb = 0の場合)。 

ガウス関数は、初等関数でありながら初等的な原始関数を持たない関数の一つです。ガウス関数の積分は誤差関数です。

$${\displaystyle \int \exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

しかしながら、ガウス積分を用いることで、実数全体にわたるそれらの広義積分を正確に評価することができる。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ そして、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=a|c|{\sqrt {2\pi }}.}$$

この積分は、次の場合に限り 1 になります。${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$（正規化定数）、この場合、ガウス分布は期待値μ = b、分散σ ² = c ²の正規分布確率変数の確率密度関数です。 $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

これらのガウス分布は、添付の図にプロットされている。

2つのガウス関数の積はガウス関数であり、 2つのガウス関数の畳み込みもまたガウス関数であり、その分散は元の分散の合計となる。${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$ただし、2つのガウス確率密度関数（PDF）の積は、一般にガウスPDFにはなりません。

フーリエの不確定性原理は、（変調された）ガウス関数を考慮した場合に限り等式となる。^{[ 2 ]}

パラメータa = 1、b = 0、cを持つガウス関数のフーリエ変換（単位変換、角周波数規約）を行うと、パラメータを持つ別のガウス関数が得られます。${\displaystyle c}$、b = 0および⁠ 1 / c ⁠。^{[ 3 ]}したがって、特にb = 0およびc = aのガウス関数はフーリエ変換によって固定されます (これらは固有値 1 のフーリエ変換の固有関数 です)。 物理的な実現としては、回折パターンがあります。たとえば、透過率がガウス的に変化する写真スライドもガウス関数です。

ガウス関数が連続フーリエ変換の固有関数であるという事実から、ポアソン和公式から次の興味深い恒等式を導き出すことができる。 $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

任意のガウス関数の積分は $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

別の形式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-fx^{2}+gx+h\right)\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-f\left(x-{\frac {g}{2f}}\right)^{2}+{\frac {g^{2}}{4f}}+h\right)\,dx\\&=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),\end{aligned}}}$$積分が収束するためには、fは 厳密に正でなければならない。

基本形： $${\displaystyle f(x,y)=\exp \left(-x^{2}-y^{2}\right)}$$

2次元の場合、ガウス関数の指数関数の引数は任意の負定値二次形式になります。したがって、ガウス関数のレベルセットは常に楕円になります。

2次元ガウス関数の具体的な例は次のとおりです。 $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

ここで、係数Aは振幅、x ₀、y ₀は中心、σ _x、σ _yはブロブのx方向とy方向の広がりです。右側の図は、 A = 1、x ₀ = 0、y ₀ = 0、σ _x = σ _y = 1 を使用して作成されました。  

ガウス関数の下の体積は次のように与えられる。 $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

一般に、2次元楕円ガウス関数は次のように表される。 $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right),}$$ 行列 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$正定値で ある。

この定式化を用いると、 A = 1、( x ₀、y ₀ ) = (0、0)、a = c = 1 / 2、 b = 0を使用して右の図を作成できます。

A = 1 ; x0 = 0 ; y0 = 0 ;sigma_X = 1 ; sigma_Y = 2 ;[ X , Y ] = meshgrid ( - 5 :. 1 : 5 , - 5 :. 1 : 5 );θ = 0 : π / 100 : π の間、a = cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 ) ; b = sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_X ^ 2 ) - sin ( 2 * theta ) / ( 4 * sigma_Y ^ 2 ); c = sin ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_X ^ 2 ) + cos ( theta ) ^ 2 / ( 2 * sigma_Y ^ 2 );Z = A * exp ( - ( a * ( X - x0 ) .^ 2 + 2 * b * ( X - x0 ) .* ( Y - y0 ) + c * ( Y - y0 ) .^ 2 ));surf ( X , Y , Z ); shading interp ; view ( - 36 , 36 ) waitforbuttonpress end

では${\displaystyle n}$次元空間におけるガウス関数は次のように定義できる。 $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right),}$$ どこ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$は列です${\displaystyle n}$座標、${\displaystyle C}$正定値${\displaystyle n\times n}$行列、そして${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$は行列の転置を表します。

このガウス関数の全体にわたる積分${\displaystyle n}$次元空間は次のように与えられる。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

行列を対角化することで簡単に計算できます${\displaystyle C}$積分変数を固有ベクトルに変更する${\displaystyle C}$。

より一般的には、シフトされたガウス関数は次のように定義される。 $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x\right),}$$ どこ${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$はシフトベクトルであり、行列は${\displaystyle C}$対称であると仮定できる、${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$、そして正定値です。この関数を用いた以下の積分は、同じ手法で計算できます。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\tfrac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(a^{\mathsf {T}}x\right)\,dx=\left(a^{\mathsf {T}}u\right)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\tfrac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(x^{\mathsf {T}}Dx\right)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(DC^{-1}\right)\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} \left(C'\Lambda CB^{-1}\right)+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}\left(C'\Lambda s+C\Lambda s'\right)+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}B^{-1}v,\quad v=s+s',\quad B=C+C'.}$$

恒星測光、ガウスビーム特性評価、発光/吸収線分光法など、多くの分野ではサンプリングされたガウス関数が用いられ、関数の高さ、位置、幅のパラメータを正確に推定する必要がある。1次元ガウス関数には未知のパラメータが3つ（a、b、c）、2次元ガウス関数には5つ存在する。${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$。

ガウス分布のパラメータを推定する最も一般的な方法は、データの対数を取って、結果のデータセットに放物線を当てはめることです。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}これは単純な曲線フィッティング手順を提供しますが、結果として得られるアルゴリズムは、小さなデータ値を過度に重み付けすることによって偏りが生じ、プロファイル推定に大きな誤差が生じる可能性があります。この問題は、重み付き最小二乗推定によって部分的に補償できます。これは、小さなデータ値の重みを減らしますが、これもガウス分布の裾がフィッティングを支配することを許容することによって偏りが生じる可能性があります。偏りを取り除くために、代わりに、各反復で重みを更新する反復重み付き最小二乗手順を使用できます。 ^{[ 8 ]}また、対数データ変換を伴わずに、データに対して直接非線形回帰を 実行することもできます。その他のオプションについては、確率分布フィッティングを参照してください。

ガウス関数の離散版を求める人もいるかもしれません。これは、離散アプリケーション、特にデジタル信号処理において必要となります。簡単な解決策は、連続ガウス関数をサンプリングして、サンプリングされたガウスカーネルを得ることです。しかし、この離散関数は連続関数の特性の離散版を持たないため、記事「スケール空間の実装」で説明されているように、望ましくない影響が生じる可能性があります。

別の方法として、離散ガウスカーネルを使用する方法がある。^{[ 11 ]}$${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ どこ${\displaystyle I_{n}(t)}$整数次数の変形ベッセル関数を表す。

これは、連続ガウス関数が連続拡散方程式の解であるのと同様に、離散拡散方程式（離散空間、連続時間）の解であるという点で、連続ガウス関数の離散版である。^{[ 11 ] [ 12 ]}

ガウス関数は、自然科学、社会科学、数学、工学など、多くの分野で登場します。例としては、以下のようなものがあります。

• 統計学や確率論では、ガウス関数は正規分布の密度関数として現れます。正規分布は、中心極限定理によれば、複雑な和の極限確率分布です。
• ガウス関数は、拡散方程式（および熱方程式、これは同じものです）のグリーン関数であり、拡散下での質量密度の時間発展を記述する偏微分方程式です。具体的には、時刻t = 0での質量密度がディラックのデルタ関数で与えられる場合（これは基本的に質量が最初に一点に集中していることを意味します） 、時刻tでの質量分布はガウス関数で与えられ、パラメータaは 1 / √ t に線形関係があり、cは√ tに線形関係があります。この時間変化するガウス関数は、熱カーネルによって記述されます。より一般的には、初期質量密度がφ ( x ) である場合、後の時刻での質量密度は、φとガウス関数の畳み込みによって得られます。関数とガウス関数の畳み込みは、ワイエルシュトラス変換としても知られています。
• ガウス関数は、量子調和振動子の基底状態の波動関数である。
• 計算化学で使用される分子軌道は、ガウス軌道と呼ばれるガウス関数の線形結合である（基底関数系（化学）も参照）。
• 数学的には、ガウス関数の導関数はエルミート関数を用いて表すことができます。単位分散の場合、ガウス関数のn階導関数は、ガウス関数自体にn階エルミート多項式をスケールを除いて乗じたものです。
• したがって、ガウス関数は量子場理論における真空状態とも関連付けられる。
• ガウスビームは、光学系、マイクロ波系、レーザーなどに用いられる。
• スケール空間表現において、ガウス関数は、コンピュータビジョンや画像処理におけるマルチスケール表現を生成するための平滑化カーネルとして使用されます。具体的には、ガウス関数の導関数（エルミート関数）が、多数の種類の視覚操作を定義するための基礎として使用されます。
• ガウス関数は、一部の人工ニューラルネットワークを定義するために使用されます。
• 蛍光顕微鏡では、点光源によって生成される強度分布を記述するエアリーディスクを近似するために、2次元ガウス関数が使用されます。
• 信号処理では、ガウスフィルタを定義するために使用され、画像処理では、 2Dガウスがガウスぼかしに使用されます。デジタル信号処理では、離散ガウスカーネルが使用されますが、これは二項係数^{[ 13 ]}またはガウスのサンプリングによって近似できます。
• 地質統計学では、複雑な訓練画像のパターン間の変動性を理解するために使用されてきました。カーネル法とともに使用され、特徴空間でパターンをクラスタリングします。^{[ 14 ]}

• ベル型関数
• コーシー分布
• 正規分布
• 放射基底関数カーネル

• ハーバーマン、リチャード（2013）。「10.3.3 ガウス関数の逆フーリエ変換」応用偏微分方程式。ボストン：ピアソン。ISBN 978-0-321-79705-6。

• Mathworldには、cとFWHMの関係の証明が含まれています。
• 「ベルカーブの積分」MathPages.com
• ガウス分布のHaskell、Erlang、Perlによる実装
• Bensimhoun Michael、「N次元累積関数、およびガウス分布と正規分布に関するその他の有用な事実」（2009年）
• ImageJとFijiでガウス分布をフィッティングするためのコード。