リースは意味する

数学 において、リース平均は級数における項の特定の平均である。これは1911年にマルセル・リースによってチェザロ平均^{[1] [2]}の改良として導入された。リース平均はボクナー・リース平均やストロング・リース平均 と混同しないように注意する必要がある。

級数が与えられたとき、級数のリース平均は次のように定義される。 ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}$

一般化されたリース平均は次のように定義されることもある。

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1 })^{\デルタ }s_{k}}$

ここで、 はおよび を とするシーケンスです。これ以外では、 は任意のものとして扱われます。 ${\displaystyle \lambda_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda_{n}}$

リース平均は、シーケンスの加算可能性を調べるためによく使用されます。一般的な加算可能性定理は、あるシーケンス に対するの場合について説明します。通常、シーケンスは、極限が存在する場合、または極限が存在する場合に加算可能ですが、問題となる正確な加算可能性定理では、追加の条件が課されることがよくあります。 ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$${\displaystyle \{a_{k}\}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}}$${\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}$

全員について。すると ${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}$

ここで、はガンマ関数、はリーマンゼータ関数とします。べき級数${\displaystyle c>1}$${\displaystyle \Gamma (s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}$

は収束することが示せます。積分は逆メリン変換の形になっていることに注意してください。 ${\displaystyle \lambda >1}$

数論に関連するもう一つの興味深いケースは、フォン・マンゴルト関数をとるときに生じる。すると、 ${\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)}$${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}$

ここでもc > 1とする必要がある。ρ 上の和はリーマンゼータ関数の零点上の和であり、

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

λ > 1の場合収束します 。

ここで生じる積分は、ネルンド・ライス積分に似ています。非常に大まかに言えば、ペロンの公式を介してその積分に関連付けることができます。

• ^ M. リース、 Comptes Rendus、1911 年 6 月 12 日
• ^ Hardy, GH & Littlewood, JE (1916). 「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」. Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 .
• Volkov, II (2001) [1994]、「リース総和法」、数学百科事典、EMS Press