一般化された複雑な構造

微分幾何学として知られる数学の分野において、一般化複素構造は、複素構造とシンプレクティック構造を特殊なケースとして含む微分多様体の特性です。一般化複素構造は、2002 年にNigel Hitchinによって導入され、彼の学生である Marco Gualtieri と Gil Cavalcanti によってさらに発展しました。

これらの構造は、微分形式の関数を介して幾何学的構造を特徴付けるヒッチンのプログラムで最初に現れ、このつながりが、位相弦理論は位相M理論の特殊なケースであるという、ロバート・ダイクグラーフ、セルゲイ・グコフ、アンドリュー・ナイツケ、およびカムルン・ヴァファの2004年の提案の基礎を形成しました。今日、一般化複素構造は物理的な弦理論でも主導的な役割を果たしており、10次元物理学を私たちのような4次元世界に関連付ける超対称フラックスコンパクト化には、（おそらくねじれた）一般化複素構造が必要です。

N多様体 M を考えます。Mの接束はTで表され、M上のベクトル束であり、そのファイバーはMへのすべての接ベクトルで構成されます。Tの切断はM上のベクトル場です。Mの余接束はT ^*で表され、M上のベクトル束であり、その切断はM上の1 形式です。

複素幾何学では、多様体の接線バンドル上の構造を考慮します。シンプレクティック幾何学では、代わりに余接バンドルの外冪に関心があります。一般化幾何学は、一般化接線バンドルの切断を扱うことによって、これら 2 つのフィールドを統合します。一般化接線バンドルは、接バンドルと余接バンドルの直和 であり、ベクトル場と 1 形式の形式的な和です。 ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

ファイバーは、符号( N ,  N )を持つ自然な内積を持つ。XとYがベクトル場で、ξとη が1 形式である場合、 X+ξとY+ηの内積は次のように定義される。

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

一般化されたほぼ複素構造は、自然な内積を保存する一般化された接線バンドルの ほぼ複素構造です。

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

そして、 ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

通常のほぼ複素構造の場合と同様に、一般化されたほぼ複素構造は、その-固有バンドル、すなわち、次 式で与えられる 複素化された一般化接線バンドルの部分バンドルによって一意に決定される。${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}$

このようなサブバンドルL は次の特性を満たします。

逆に、 (i)、(ii)を満たす任意のサブバンドルLは、唯一の一般化ほぼ複素構造の-固有バンドルであるため、特性(i)、(ii)は、一般化ほぼ複素構造の代替定義と見なすことができます。 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

通常の複素幾何学では、ほぼ複素構造が複素構造に積分可能であるのは、正則部分束の 2 つのセクションのリー括弧が正則部分束の別のセクションである 場合のみです。

一般化された複素幾何学では、ベクトル場ではなく、ベクトル場と1形式の形式的な和に興味があります。そのような形式的な和に対する一種のリー括弧が1990年に導入され、クーラン括弧と呼ばれ、次のように定義されます。

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

ここで、 はベクトル場Xに沿ったリー微分、dは外微分、i は内積です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

一般化複素構造は、 Lの滑らかな切断空間がクーラン括弧の下で閉じているような一般化された概複素構造です。

と のペアの最大等方性サブバンドルの間には 1 対 1 の対応があります。ここで、E はTのサブバンドルであり、 は2 形式です。この対応は、複素数の場合に直接拡張されます。 ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$

対が与えられたとき、最大等方性サブバンドルを次のように構成することができる。サブバンドルの要素は、ベクトル場XがEの切断であり、双対空間に制限された1形式ξが1形式に等しい場合の形式和である。${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle \varepsilon (X).}$

が等方性であることを確認するには、Y がEの切断面であり、がに制限されている場合、の直交部分がY を消滅させることに留意してください。したがって、 と がの 切断面である場合、${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle \varepsilon (X)}$${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle X+\xi }$${\displaystyle Y+\eta }$${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

であり、等方性である。さらに、 は最大である。なぜなら、には（複素）次元の選択肢があり、の補集合が（複素）次元であるような制約がないからである。したがって、 nにおける全（複素）次元はである。グアルティエリは、すべての最大等方性サブバンドルが、に対して の形であり、${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$${\displaystyle \mathbf {E} ,}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \varepsilon .}$

最大等方性サブバンドルの型は、 E を消滅させるサブバンドルの実次元である。これは、の接バンドルTへの射影の実次元を2 Nから引いた値と同値である。言い換えれば、最大等方性サブバンドルの型は、接バンドルへの射影の余次元である。複素数の場合は複素次元を使用し、型は複素数型と呼ばれることもある。サブバンドルの型は、原理的には 0 から 2 Nまでの任意の整数にすることができるが、一般化されたほぼ複素数構造は、サブバンドルとその複素共役の合計が次のすべてでなければならないため、Nより大きい型を持つことはできない。${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

最大等方性部分束の型は、微分同相写像に対して不変であり、また、B-体のシフトに対しても不変である。B-体 のシフトは、次の形式の の 等長写像である。${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

ここで、B は弦理論の文献では B 場と呼ばれる任意の閉じた 2 次元形式です。

一般化された概複素構造の型は一般に定数ではなく、任意の偶数だけジャンプできます。ただし、上半連続であり、これは各点に型が増加しない開いた近傍があることを意味します。実際には、これは周囲の型よりも大きい型のサブセットが正の余次元を持つ部分多様体上に発生することを意味します。

最大等方性部分空間Lの実数インデックスrは、 Lとその複素共役の交差の複素次元です。 の最大等方性部分空間は、 r = 0 の場合にのみ、一般化されたほぼ複素構造になります。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

通常の複素幾何学の場合と同様に、一般化されたほぼ複素構造と複素直線束の間には対応関係があります。特定の一般化されたほぼ複素構造に対応する複素直線束は、通常の場合の正準束を一般化するため、しばしば正準束と呼ばれます。また、その断面が純粋スピノルであるため、純粋スピノル束と呼ばれることもあります。

標準バンドルは、 M上の複素微分形式のバンドルの 1 複素次元サブバンドルです。ガンマ行列は、微分形式とスピノルの間の同型性を定義することを思い出してください。特に、偶数形式と奇数形式は、ワイル スピノルの 2 つのカイラリティにマップされます。ベクトルは、内積によって与えられる微分形式への作用を持ちます。1 形式は、ウェッジ積によって与えられる形式への作用を持ちます。したがって、バンドルのセクションは微分形式に作用します。この作用は、クリフォード代数のスピノルへの作用の表現です。 ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

スピノルは、クリフォード代数の生成元の集合の半分によって消滅する場合、純粋スピノルと呼ばれます。スピノルはバンドルのセクションで、クリフォード代数の生成元は他のバンドルのファイバーです。したがって、与えられた純粋スピノルは、の半次元サブバンドルEによって消滅します。このようなサブバンドルは常に等方性であるため、ほぼ複素構造を定義するには、Eとその複素共役の合計が のすべてであると課すだけで済みます。これは、純粋スピノルとその複素共役のウェッジ積にトップ次元コンポーネントが含まれている場合は常に当てはまります。このような純粋スピノルは、一般化されたほぼ複素構造を決定します。 ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

一般化されたほぼ複素構造が与えられれば、任意の複素関数による乗算まで純粋なスピノルを決定することもできます。これらの純粋なスピノルの選択は、標準バンドルのセクションとして定義されます。

特定の複素構造を決定する純粋スピノルが閉じている場合、またはより一般的にはその外微分がガンマ行列のそれ自体への作用に等しい場合、ほぼ複素構造は積分可能であり、そのような純粋スピノルは一般化された複素構造に対応します。

さらに、正準バンドルが正則的に自明である、つまりそれが閉じた形式である大域セクションであると仮定すると、一般化カラビ・ヤウ構造が定義され、Mは一般化カラビ・ヤウ多様体であると言われる。

局所的には、すべての純粋スピノルは、整数k、B-体 2 形式B、非退化シンプレクティック形式 ω 、およびk -形式 Ω に依存して、同じ形式で記述できます。任意の点の局所近傍では、標準バンドルを生成する 純粋スピノルΦ は常に次の形式で表すことができます。

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

ここで、Ω は1 形式の ウェッジ積として分解可能です。

複素接線束の部分束E を、正則部分束Lのへの射影として定義する。一般化された概複素構造の定義では、L とその共役の交点は原点のみを含むと規定しており、そうでなければ の全体を張ることはできない。しかし、それらの射影の交点は自明である必要はない。一般に、この交点は次のような形式である。 ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

ある部分束 Δ に対して、 Δ のファイバーの次元が一定である開 近傍を持つ点は、正則点と呼ばれる。

一般化複素多様体内のすべての正則点は開近傍を持ち、これは微分同相写像と B 体のシフトの後に、複素ベクトル空間と標準シンプレクティック空間の直積と標準シンプレクティック形式と同じ一般化複素構造を持ちます。標準シンプレクティック形式は、要素が 1 と -1 である 2 行 2 列の非対角行列の 直和です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$

非正則点の近くでは、上記の分類定理は適用されません。ただし、任意の点について、一般化複素多様体は、微分同相写像と B 体を除き、シンプレクティック多様体とその点で複素型である一般化複素多様体の積であり、ポアソン多様体の局所構造に対する Weinstein の定理によく似ています。局所構造の残る問題は、複素型の点の近くで一般化複素構造がどのように見えるか、ということです。実際、それは正則ポアソン構造によって誘導されます。

複素微分形式の空間には、における複素共役によって与えられる複素共役演算があります。これにより、正則および反正則1 形式と ( m , n ) 形式を定義できます。これらは、これらの 1 形式におけるm 個の正則因子とn 個の反正則因子を持つ同次多項式です。特に、すべての ( n , 0) 形式は、複素関数による乗算によって局所的に関連しているため、複素線束を形成します。 ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

( n , 0)-形式は、反正則接ベクトルと正則 1-形式によって消滅するので、純粋なスピノルです。したがって、この線束は、一般化された複素構造を定義するための標準バンドルとして使用できます。 からの消滅を複素化接束に制限すると、反正則ベクトル場の部分空間が得られます。したがって、上のこの一般化された複素構造は、接束上の 通常の複素構造を定義します。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

ベクトル場の基底の半分だけが正則なので、これらの複素構造はN型です。実際、複素多様体と、複素多様体を定義する純粋スピノル束に複素 -閉 (2,0) 形式を乗じて得られる多様体だけが、N型の一般化複素多様体です。 ${\displaystyle \partial }$

生成される純粋なスピノル束は

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

非退化2形式ωは接空間上のシンプレクティック構造を定義する。したがって、シンプレクティック多様体は一般化された複素多様体でもある。

上記の純粋スピノルはグローバルに定義されているため、標準バンドルは自明です。これは、シンプレクティック多様体が一般化された複素多様体であるだけでなく、実際には一般化されたカラビ・ヤウ多様体であることを意味します。

純粋スピノルは、ケーラー形式のシフトである B フィールドの虚数シフトによって、単なる数である純粋スピノルに関連付けられます。したがって、これらの一般化された複素構造は、スカラー純粋スピノルに対応するものと同じタイプです。スカラーは接空間全体によって消滅するため、これらの構造は0タイプです。 ${\displaystyle \phi }$

B フィールドのシフト（純粋スピノルに閉じた実 2 形式の指数を乗じることに対応）までは、シンプレクティック多様体は唯一の 0 型一般化複素多様体です。B フィールドのシフトまでシンプレクティックである多様体は、B シンプレクティックと呼ばれることもあります。

一般化複素幾何学における「ほぼ」構造のいくつかは、 G 構造の言語で言い換えることができます。構造が積分可能である場合、「ほぼ」という単語は削除されます。

上記の内積を持つ束はO(2 n , 2 n )構造である。一般化された概複素構造は、この構造をU( n , n )構造に縮約したものである。したがって、一般化された複素構造の空間は剰余類である。 ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

一般化されたほぼケーラー構造は、対応するテンソルの積を引いたものが 上の正定値計量となるような、可換な一般化複素構造のペアです。一般化ケーラー構造は、構造群を一般化ケーラー多様体に縮小したもので、そのねじれ対応物は、1984 年に 2 次元超対称量子場理論のコンテキストでシルベスタージェームズ ゲイツ、クリス ハル、マーティン ロチェクによって発見されたビエルミート多様体と同等です。 ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle U(n)\times U(n).}$

最後に、一般化されたほぼカラビ・ヤウ計量構造は、構造群をさらに縮小したものである。${\displaystyle SU(n)\times SU(n).}$

Marco Gualtieri によって導入された一般化カラビ計量構造は、Nigel Hitchinによって導入された一般化カラビ・ヤウ構造よりも強い条件であることに注意してください。特に、一般化カラビ・ヤウ計量構造は、2 つの可換な一般化ほぼ複素構造の存在を意味します。

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