一般化された複合構造

N次元多様体Mを考える。Mの接束( Tと表記) は、M上のベクトル束で、そのファイバーはMへのすべての接ベクトルからなる。Tの切断はM上のベクトル場である。Mの余接束 ( T ^*と表記) は、M上のベクトル束で、その切断はM上の1 形式である。

複素幾何学では、多様体の接束上の構造を考察する。一方、シンプレクティック幾何学では、余接束の外積に関心がある。一般化幾何学は、一般化接束の切断を扱うことによって、これら二つの分野を統合する。一般化接束は、直和である。$\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$接線束と余接束は、ベクトル場と1形式の形式的な和である。

ファイバーは、符号( N , N )を持つ自然な内積を備えています。X と Y がベクトル場であり、ξ と η が 1 形式である場合、X + ξとY + ηの内積は次のように定義されます。 

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

一般化されたほぼ複素構造とは、自然内積を保持する一般化された接束のほぼ複素構造のことである。

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

そのため${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$そして

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle 。}$

通常のほぼ複素構造の場合と同様に、一般化されたほぼ複素構造は、その$\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-固有束、つまり部分束${\displaystyle L}$複素化された一般化接束の${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ によって与えられた

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \$ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}

このような部分束Lは、以下の性質を満たす。

逆に、(i)、(ii)を満たす任意のサブバンドルLは$\displaystyle {\sqrt {-1}}}$- 一意な一般化ほぼ複素構造の固有束であるため、特性 (i)、(ii) は一般化ほぼ複素構造の代替定義とみなすことができる。

通常の複素幾何学では、準複素構造が複素構造に積分可能であるのは、正則部分束の2つのセクションのリー括弧が、正則部分束の別のセクションである場合に限る。

一般化された複素幾何学では、ベクトル場そのものに関心があるのではなく、ベクトル場と1形式の形式的和に関心がある。このような形式的和のための一種のリー括弧が1990年に導入され、クーラン括弧と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$はベクトル場Xに沿ったリー微分、dは外微分、iは内積です。

一般化された複素構造とは、 Lの滑らかな断面の空間がクーラン括弧の下で閉じているような、一般化された概複素構造のことである。

最大等方性サブバンドルと1 対 1 の対応関係がある$\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$そしてペア${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ここで、EはTの部分束であり、${\displaystyle \varepsilon }$これは2形式である。この対応関係は複素数の場合にもそのまま拡張できる。

ペアが与えられた場合${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$最大等方性部分束を構築することができる${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$の$\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$以下のように。部分束の要素は形式和である。${\displaystyle X+\xi }$ここで、ベクトル場XはEの断面であり、1 形式ξ は双対空間に制限されている。${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$1形式に等しい${\displaystyle \varepsilon (X).}$

それを見るために${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$は等方性であり、 YがEの断面である場合、${\displaystyle \xi }$制限される${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$は${\displaystyle \バレプシロン (X)}$それから${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$の一部として${\displaystyle \xi }$直交する${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$Yを消滅させる。したがって、もし${\displaystyle X+\xi }$そして${\displaystyle Y+\eta }$はセクションです$\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$それから

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

など${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$等方性である。さらに、${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$最大となるのは、${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$選択の（複雑な）次元${\displaystyle \mathbf {E} ,}$そして${\displaystyle \varepsilon }$補数に制限はありません${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$これは（複素）次元を持つ${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$したがって、全体の（複素）次元はn である。グアルティエリは、すべての最大等方性部分束が次の形式であることを証明した。${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$一部の人にとって${\displaystyle \mathbf {E} }$そして${\displaystyle \varepsilon .}$

最大等方性部分束のタイプ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$は、 Eを消滅させる部分束の実次元である。言い換えれば、それはの射影の実次元を2 Nから引いたものである。${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$接束Tへの射影です。言い換えれば、極大等方性部分束のタイプは、接束への射影の余次元です。複素数の場合、複素次元を使用し、タイプは複素数型と呼ばれることもあります。部分束のタイプは原理的には 0 から 2N までの任意の整数になり得ますが、一般化されたほぼ複素構造は、部分束とその複素共役の和がすべてでなければならないため、Nより大きいタイプを持つことはできません。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

最大等方性部分束のタイプは微分同相写像の下で不変であり、また、等長変換であるB 場のシフトの下でも不変である。$\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$形式

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

ここで、Bは弦理論の文献でB場と呼ばれる任意の閉じた2形式である。

一般化されたほぼ複素構造のタイプは一般に一定ではなく、任意の偶数倍に変化する可能性があります。しかし、上半連続であるため、各点にはタイプが増加しない開近傍が存在します。実際には、これは、正の余次元を持つ部分多様体上に、周囲のタイプよりも大きなタイプのサブセットが存在することを意味します。

最大等方性部分空間Lの実数インデックスrは、 Lとその複素共役との交点の複素次元です。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$r = 0の場合に限り、一般化されたほぼ複素構造となる。

正準束は、束の1次元複素数部分束である。${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$M上の複素微分形式の。ガンマ行列は微分形式とスピノルの間の同型を定義することを思い出してください。特に、偶形式と奇形式はワイルスピノルの 2 つのカイラリティに写像されます。ベクトルは、内積によって与えられる微分形式に作用します。1 形式は、ウェッジ積によって与えられる形式に作用します。したがって、バンドルのセクションは${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$微分形式に作用する。この作用は、クリフォード代数がスピノルに作用する様子を表している。

スピノルは、クリフォード代数の生成元集合の半分によって消滅する場合、純粋スピノルと呼ばれる。スピノルは、我々の束の切断である。${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$そしてクリフォード代数の生成子は、もう一方の束のファイバーである。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$したがって、与えられた純粋スピノルは、半次元サブバンドルEによって消滅する。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$このような部分束は常に等方的であるため、ほぼ複素構造を定義するには、Eとその複素共役の合計がすべての${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$これは、純粋スピノルとその複素共役のウェッジ積が最高次元成分を含む場合に常に当てはまります。このような純粋スピノルは、一般化されたほぼ複素構造を決定します。

一般化されたほぼ複素構造が与えられた場合、任意の複素関数による乗算を除いて、純粋スピノルを決定することもできる。これらの純粋スピノルの選択は、正準束の切断として定義される。

特定の複素構造を決定する純粋スピノルが閉じている場合、あるいはより一般的には、その外微分がガンマ行列自身への作用に等しい場合、その準複素構造は積分可能であり、したがってそのような純粋スピノルは一般化された複素構造に対応する。

さらに、正準束が正則的に自明である、つまり閉形式であるのは大域切断であると仮定すると、それは一般化されたカラビ・ヤウ構造を定義し、Mは一般化されたカラビ・ヤウ多様体であると言われる。

局所的には、すべての純粋スピノルは、整数k、B 場 2 形式B、非退化シンプレクティック形式 ω、およびk形式 Ω に依存して、同じ形式で記述できます。任意の点の局所近傍では、正準束を生成する純粋スピノルΦ は常に次の形式で表すことができます。

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

ここでΩは1形式のウェッジ積として分解可能である。

複素化された接束のサブバンドルEを定義する${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$正則部分束Lの射影である${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$に${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$一般化されたほぼ複素構造の定義において、Lとその共役の交点が原点のみを含むという制約を設けた。そうでなければ、それらは全体を張ることができない。${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$しかし、それらの射影の交点は必ずしも自明ではない。一般に、この交点は次の形式となる。

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

ある部分束 Δ に対して、 Δ のファイバーの次元が一定となるような開いた近傍を持つ点を正則点という。

一般化された複素多様体内のすべての正則点は、B場の微分同相写像とシフトの後、複素ベクトル空間のデカルト積と同じ一般化された複素構造を持つ開近傍を持つ。$\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$そして標準シンプレクティック空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$標準シンプレクティック形式は、要素が 1 と -1 の 2 × 2 の非対角行列の直和です。

非正則点の近傍では、上記の分類定理は適用されません。しかし、任意の点の近傍では、微分同相写像とB場を除いて、一般化複素多様体は、その点で複素型である一般化複素多様体とシンプレクティック多様体の積であり、ポアソン多様体の局所構造に関するワインシュタインの定理とよく似ています。局所構造に関する残りの問題は、複素型の点の近傍で一般化複素構造がどのように見えるかということです。実際には、それは正則ポアソン構造によって誘導されます。

複素微分形式の空間${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$複素共役によって与えられる複素共役演算を持つ${\displaystyle \mathbb {C} .}$これにより、正則および反正則な1形式と、 m個の正則因子とn個の反正則因子を持つこれらの1形式に関する同次多項式である( m , n )形式を定義することができる。特に、すべての( n , 0)形式は複素関数による乗算によって局所的に関連付けられており、複素線束を形成する。

( n , 0)形式は、反正則接ベクトルと正則1形式によって消滅するため、純粋スピノルです。したがって、この線束は、一般化された複素構造を定義するための標準束として使用できます。消滅子を制限すると、${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$複素化された接束に対して、反正則ベクトル場の部分空間が得られる。したがって、この一般化された複素構造は${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$接束上の通常の複素構造を定義する。

ベクトル場の基底の半分だけが正則であるため、これらの複素構造はN型です。実際、複素多様体、および複素多様体を定義する純粋スピノル束に複素数を乗算して得られる多様体は、${\displaystyle \partial }$-閉じた(2,0)形式は、唯一のタイプN一般化複素多様体である。

純粋スピノル束は、

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

非退化な2形式ωは、接空間上にシンプレクティック構造を定義する。したがって、シンプレクティック多様体は一般化された複素多様体でもある。

上記の純粋スピノルはグローバルに定義されているため、正準束は自明である。これは、シンプレクティック多様体が一般化された複素多様体であるだけでなく、実際には一般化されたカラビ・ヤウ多様体であることを意味する。

純粋なスピノール${\displaystyle \phi }$は、B場の虚数シフトによって単なる数である純粋スピノルと関連付けられており、これはケーラー形式のシフトである。したがって、これらの一般化された複素構造は、スカラー純粋スピノルに対応するものと同じタイプである。スカラーは接空間全体で消滅するため、これらの構造はタイプ0である。

B場のシフト（これは純粋スピノルに閉じた実数2形式の指数関数を乗じることに相当します）を除けば、シンプレクティック多様体は唯一のタイプ0一般化複素多様体です。B場のシフトを除けばシンプレクティックな多様体は、Bシンプレクティック多様体と呼ばれることもあります。

マルコ・グアルティエリによって導入された一般化カラビ計量構造は、ナイジェル・ヒッチンによって導入された一般化カラビ・ヤウ構造よりも強い条件であることに注意されたい。特に、一般化カラビ・ヤウ計量構造は、互いに可換な2つの一般化概複素構造の存在を意味する。