光学と音響学で使用される数学的手法
層を通した 光線 の伝播 伝達 マトリックス法は、 光学 や 音響学において、 層状媒体（ 薄膜 の積層） を通る 電磁波 や 音波 の伝播を解析するために 使用される手法である 。 [1] [2]これは、例えば、 反射防止コーティング や 誘電体ミラー の設計に関連している 。
2 つの媒体 間の単一の界面からの 光 の 反射 は、 フレネル方程式 で説明されます 。ただし、図のように複数の界面がある場合、反射自体も部分的に透過され、部分的に反射されます。正確な経路長に応じて、これらの反射は破壊的に 干渉したり、建設的に干渉したりする 可能性があります。層構造の全体的な反射は、無限数の反射の合計です。
転送行列法は、マクスウェル 方程式によれば、ある媒体から次の媒体への境界を越える 電界 には単純な連続条件があるという事実に基づいています 。層の始めの電界がわかっている場合、層の終わりの電界は単純な 行列演算から導き出すことができます。層のスタックは、個々の層の行列の積であるシステム行列として表すことができます。この方法の最後のステップでは、システム行列を反射係数と 透過係数 に変換します 。
以下では、垂直入射 で積層体を伝搬する、与えられた 周波数の 電磁波 （例えば光） に伝達行列を適用する方法を説明します 。これは、角度での入射、 吸収媒体、および 磁性 を持つ媒体を扱うために一般化できます 。積層体は軸に対して垂直であり、1つの層内の場は、 波数 の左方向および右方向の波の重ね合わせとして表すことができるものと仮定します 。
ず
{\displaystyle z\,}
け
{\displaystyle k\,}
え （ ず ） =
え
r
e
私 け ず
+
え
l
e
− 私 け ず
{\displaystyle E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,}
。 マクスウェル方程式 から、電場 と磁場（その正規化された導関数）は 境界を越えて連続でなければならないこと が分かるので、場をベクトルとして表すのが便利である 。ここで、
え
{\displaystyle E\,}
H =
1
私 け
ず
c
d え
d ず
{\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}
（ え （ ず ） 、 H （ ず ） ）
{\textstyle (E(z),H(z))\,}
H （ ず ） =
1
ず
c
え
r
e
私 け ず
−
1
ず
c
え
l
e
− 私 け ず
{\displaystyle H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^ {-ikz}\,}
。 とを および に 関連付ける2つの方程式があるため 、これら2つの表現は同等です。新しい表現では、 の正の方向への距離の伝播は、 特殊線型群 SL( 2 , C ) に属する行列によって記述されます。
え
{\displaystyle E\,}
H
{\displaystyle H\,}
え
r
{\displaystyle E_{r}\,}
え
l
{\displaystyle E_{l}\,}
ら
{\displaystyle L\,}
ず
{\displaystyle z\,}
ま =
（
コス け ら
私
ず
c
罪 け ら
私
ず
c
罪 け ら
コス け ら
）
、
{\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{array}}\right),}
そして
（
え （ ず + ら ）
H （ ず + ら ）
）
= ま ⋅
（
え （ ず ）
H （ ず ）
）
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)}
このような行列は、媒質中の波数を 、層の厚さを とすると、層を介した伝播を表すことができます 。層を持つシステムの場合 、各層には 伝達行列 があり 、値が 大きくなるにつれて増加します 。システムの伝達行列は、
け
{\displaystyle k\,}
ら
{\displaystyle L\,}
いいえ
{\displaystyle N\,}
じゅう
{\displaystyle j\,}
ま
じゅう
{\displaystyle M_{j}\,}
じゅう
{\displaystyle j\,}
ず
{\displaystyle z\,}
ま
s
=
ま
いいえ
⋅ … ⋅
ま
2
⋅
ま
1
。
{\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.}
通常、層構造の反射率 と 透過率 を知りたいと思うでしょう 。層スタックが から始まる場合 、負の に対して 、フィールドは次のように記述されます。
ず = 0
{\displaystyle z=0\,}
ず
{\displaystyle z\,}
え
ら
（ ず ） =
え
0
e
私
け
ら
ず
+ r
え
0
e
− 私
け
ら
ず
、 ず < 0 、
{\displaystyle E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,}
ここで、 は入射波の振幅、 左側の媒体の波数、は 層構造の振幅（強度ではありません！）反射係数です。層構造の反対側では、フィールドは右方向に伝播する透過フィールドで構成されています。
え
0
{\displaystyle E_{0}\,}
け
ら
{\displaystyle k_{L}\,}
r
{\displaystyle r\,}
え
R
（ ず ） = t
え
0
e
私
け
R
ず
、 ず >
ら ′
、
{\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}
ここで は 振幅透過率、 は右端の媒質における波数、 は 全厚である。 およびの場合には 、次のように解くことができる。
t
{\displaystyle t\,}
け
R
{\displaystyle k_{R}\,}
ら ′
{\displaystyle L'}
H
ら
=
1
私 け
ず
c
d
え
ら
d ず
{\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}
H
R
=
1
私 け
ず
c
d
え
R
d ず
{\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}
（
え （
ず
R
）
H （
ず
R
）
）
= ま ⋅
（
え （ 0 ）
H （ 0 ）
）
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)}
システム行列の 行列要素に関して 、
M
m
n
{\displaystyle M_{mn}\,}
M
s
{\displaystyle M_{s}\,}
t
=
2
i
k
L
e
−
i
k
R
L
[
1
−
M
21
+
k
L
k
R
M
12
+
i
(
k
R
M
11
+
k
L
M
22
)
]
{\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]}
そして
r
=
[
(
M
21
+
k
L
k
R
M
12
)
+
i
(
k
L
M
22
−
k
R
M
11
)
(
−
M
21
+
k
L
k
R
M
12
)
+
i
(
k
L
M
22
+
k
R
M
11
)
]
{\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]}
。 透過率と反射率（つまり、層によって透過および反射される 入射強度の割合）は、より実用的な場合が多く、それぞれおよび で表されます （垂直入射の場合）。
|
E
0
|
2
{\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}
T
=
k
R
k
L
|
t
|
2
{\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}
R
=
|
r
|
2
{\displaystyle R=|r|^{2}\,}
例 例として、屈折率 n 、厚さ d のガラスの単層を波数 k （空気中）で空気中に浮かべた場合を考えてみましょう。ガラス中の波数は です 。伝達行列は
k
′
=
n
k
{\displaystyle k'=nk\,}
M
=
(
cos
k
′
d
sin
(
k
′
d
)
/
k
′
−
k
′
sin
k
′
d
cos
k
′
d
)
{\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)}
。 振幅反射係数は次のように簡略化できる。
r
=
(
1
/
n
−
n
)
sin
(
k
′
d
)
(
n
+
1
/
n
)
sin
(
k
′
d
)
+
2
i
cos
(
k
′
d
)
{\displaystyle r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}}
。 この構成は、 ファブリ・ペロー干渉計 またはエタロンを効果的に表します。 の場合 、反射は消えます。
k
′
d
=
0
,
π
,
2
π
,
⋯
{\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}
音波 伝達行列法を音波に適用することも可能です。電場 E とその導関数 H の代わりに、変位 u と 応力 （ここでは p 波係数 ）を使用する必要があります。
σ
=
C
d
u
/
d
z
{\displaystyle \sigma =Cdu/dz}
C
{\displaystyle C}
階層化されたインターフェースからの反射 アベレス 行列法 [3] [4] [5]は、層状界面からの鏡面反射率 を 垂直運動量移動 Qz の 関数として計算する高速かつ簡単な方法である 。
Q
z
=
4
π
λ
sin
θ
=
2
k
z
{\displaystyle Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}}
ここで、 θは入射 光 の入射/反射角 、 λ は 光の波長です。測定された反射率は、界面に垂直な散乱長密度 ( SLD ) プロファイル ρ ( z ) の変化に依存します。散乱長密度プロファイルは通常、連続的に変化する関数ですが、界面構造は、厚さ ( d n )、散乱長密度 ( ρ n )、および粗さ ( σ n 、 n +1 ) の層がスーパーフェーズとサブフェーズの間に挟まれたスラブモデルによって適切に近似できることがよくあります。次に、各層を記述するパラメーターを変更することにより、理論上の反射率曲線と測定された反射率曲線の差を最小限に抑えるための改良手順を使用します。
この説明では、界面は n 層に分割されます。入射中性子ビームは各層で屈折するため、 層 nの波数ベクトル k は 次のように表されます。
k
n
=
k
z
2
−
4
π
(
ρ
n
−
ρ
0
)
{\displaystyle k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}}
層 n と n +1 間のフレネル 反射 係数は次のように表されます。
r
n
,
n
+
1
=
k
n
−
k
n
+
1
k
n
+
k
n
+
1
{\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}}
各層間の界面が完全に滑らかである可能性は低いため、各界面の粗さ/拡散性はフレネル係数を変化させ、誤差関数 によって説明される 。
r
n
,
n
+
1
=
k
n
−
k
n
+
1
k
n
+
k
n
+
1
exp
(
−
2
k
n
k
n
+
1
σ
n
,
n
+
1
2
)
.
{\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2}).}
各層の厚さを考慮する
位相係数 βが導入されます。
β
0
=
0
{\displaystyle \beta _{0}=0}
β
n
=
i
k
n
d
n
{\displaystyle \beta _{n}=ik_{n}d_{n}}
ここで、 i 2 = −1 です。各層の
特性行列 c nが計算されます。
c
n
=
[
exp
(
β
n
)
r
n
,
n
+
1
exp
(
β
n
)
r
n
,
n
+
1
exp
(
−
β
n
)
exp
(
−
β
n
)
]
{\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]}
結果の行列は、これらの特性行列の順序積として定義される。
M
=
∏
n
c
n
{\displaystyle M=\prod _{n}c_{n}}
反射率は次のように計算されます。
R
=
|
M
10
M
00
|
2
{\displaystyle R=\left|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\right|^{2}}
参照
参考文献
^ Born, M.; Wolf, E., 光学原理：光の伝播、干渉、回折の電磁気理論 。オックスフォード、ペルガモンプレス、1964年。 ^ Mackay, TG; Lakhtakia, A.、 「 電磁気学と光学における転送マトリックス法」 。サンラファエル、カリフォルニア州、モーガンアンドクレイプール、2020年。doi :10.2200/S00993ED1V01Y202002EMA001 ^ OS Heavens. 薄膜の光学特性 。バターワース、ロンドン (1955)。 ^ ネヴォ、L.;クローチェ、P. (1980)。 「レーヨンの反射ラサンテ X による表面の特性化。ケイ酸塩のポリサージへの応用」 (PDF) 。 Revue de Physique アップリケ (フランス語)。 15 (3)。 EDP サイエンス: 761–779。 土井 :10.1051/rphysap:01980001503076100。 ISSN 0035-1687。 S2CID 128834171。 ^ アベレス、フロリン (1950)。 「La théorie générale des couches minces」[薄膜の一般化理論] (PDF) 。 Journal de Physique et le Radium (フランス語)。 11 (7)。 EDP サイエンス: 307–309。 土井 ：10.1051/jphysrad:01950001107030700。 ISSN 0368-3842。
さらに読む 多層反射率: 複素屈折率を持つ多層からの透過確率と反射確率の第一原理導出。 MIT オープン コース「材料の電子的、光学的、磁気的特性」の「層状材料とフォトニック バンド図 (講義 23)」。 MIT オープン コース「ナノからマクロへの輸送プロセス」の「薄膜と多層構造を通じた電磁波の伝播 (講義 13)」。音響波に関する短いディスカッションも含まれています。
外部リンク この計算を実装するコンピュータ プログラムは多数あります。
FreeSnell は、粒状フィルムなどのより高度な側面を含む転送マトリックス法を実装するスタンドアロンのコンピュータ プログラムです。 Thinfilm は、転送マトリックス法を実装し、反射係数と透過係数、および エリプソメトリック パラメーター Psi と Delta を出力する Web インターフェイスです。 Luxpop.com は、転送マトリックス方式を実装する別の Web インターフェイスです。 Python と Mathematica での転送行列計算プログラム。 EMPy (「Electromagnetic Python」) ソフトウェア。 motofit は中性子および X 線反射測定データを分析するためのプログラムです。 OpenFilters は光学フィルターを設計するためのプログラムです。 Py_matrix は、任意の誘電テンソルを持つ多層構造の転送マトリックス法を実装するオープンソースの Python コードです。特にプラズモニックおよび磁気プラズモニック計算用に作成されました。 ブラウザ内計算機およびフィッター 行列法と Nevot-Croce 粗さ近似を使用した Javascript インタラクティブ反射率計算機 (計算カーネルは Emscripten 経由で C から変換) 
![{\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa4d3375427d1301ca9ca5267f4b2930e991054)
![{\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d459d66dc234881f54ddac51038a7cb2bcd2c5)
![{\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea5be14ff3d9ecce8889029f1607862be22f163)
