72の法則

定期複利計算の場合、将来価値は次のように表されます。

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+r/100)^{t}}$

どこ${\displaystyle PV}$現在価値は、${\displaystyle t}$は時間期間の数であり、${\displaystyle r}$これは、一定期間あたりの金利を表します。

将来価値が現在価値の2倍になるのは、以下の場合です。

${\displaystyle FV=2\cdot PV}$

これは以下の条件です。

${\displaystyle (1+r/100)^{t}=2\,}$

この方程式は簡単に解くことができます。${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r/100)^{t})&=\ln 2\\t\cdot \ln(1+r/100)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}.\end{aligned}}}$

簡単な並べ替えで

${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot {\frac {r/100}{\ln(1+r/100)}}.}$

もし${\displaystyle r/100}$小さい場合は、${\displaystyle \ln(1+r/100)}$ほぼ等しい${\displaystyle r/100}$（これはテイラー級数の最初の項です。）つまり、後者の因子は、${\displaystyle r}$ゼロに近い。

この後者の要因を${\displaystyle (r/100)/\ln(1+r/100)=f(r)}$. 機能${\displaystyle f(r)}$近似において正確であることが示されている${\displaystyle t}$小さなプラスの金利の場合${\displaystyle r=8}$（導出過程は下記参照）${\displaystyle f(8)\approx 1.039}$したがって、我々は時間を近似する${\displaystyle t}$として：

$t(r)={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot f(8)\approx {\frac {0.72}{r/100}}={\frac {72}{r}}.}$

この近似は、対象となる複利計算が連続的になるにつれて精度が向上します（下記の導出を参照）。

より正確な調整を行うために、以下の点が注目される。${\displaystyle \ln(1+r/100)}$より近似されるのは${\displaystyle r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}$（テイラー級数の第2項を使用）。${\displaystyle 0.693/\left(r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}\right)}$テイラー近似によりさらに簡略化できます: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}t(r)={}&{\frac {0.693}{r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}}={\frac {69.3}{rr^{2}/200}}={\frac {69.3}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69.3}{r}}(1+r/200)={\frac {69.3}{r}}+{\frac {69.3}{200}}\\[8pt]t(r)={}&{\frac {69.3}{r}}+0.3465.\end{aligned}}}$

交換する${\displaystyle r}$で${\displaystyle r/200}$7.79 を代入すると、分子に 72 が入ります。これは、72 の法則が 8  % 前後の定期的に複利計算される金利に対して最も正確であることを示しています。同様に、${\displaystyle r}$で${\displaystyle r/200}$2.02 の場合、分子は 70 となり、70 の法則は 2  % 前後の定期的に複利計算される金利に対して最も正確であることがわかります。

より正確なフィッティングを実現するための洗練された優雅な数学的手法として、関数${\displaystyle t(r)=\ln(2)/\ln(1+r/100)}$ローラン系列では、${\displaystyle r=0}$[ ^{5 ]}最初の2項を用いると、次の式が得られる^。

${\displaystyle {\begin{aligned}t(r)\approx {}&{\frac {100\cdot \ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69.3147}{r}}+0.346574,{\text{ または四捨五入: }}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69}{r}}+0.35.\end{aligned}}}$

理論的な連続複利計算の場合、導出はより単純で、より正確な規則が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \left({\frac {r}{100}}\cdot t\right)&={\frac {FV}{PV}}=2\\[6pt]{\frac {r}{100}}\cdot t&=\ln 2\\[6pt]t&={\frac {100\cdot \ln 2}{r}}\approx {\frac {69.3147}{r}}\end{aligned}}}$