アンダーソンのローカリゼーション

凝縮系物理学において、アンダーソン局在（強局在とも呼ばれる）^[1]は、無秩序な媒体における波の拡散がないことである。この現象は、格子内のランダム性（無秩序性）の程度が十分に大きい場合（例えば不純物や欠陥のある半導体で実現できる場合）、格子ポテンシャル内で電子の局在が可能であることを初めて示唆したアメリカの物理学者PWアンダーソンにちなんで名付けられた。^[2]

アンダーソン局在は、電磁波、音波、量子波、スピン波などの輸送に適用される一般的な波動現象です。この現象は、アンダーソン局在の前駆効果である弱い局在（以下を参照）や、金属挙動から絶縁挙動への遷移が無秩序性ではなく、電子の強い相互クーロン反発によるものである、サー・ネビル・モットにちなんで名付けられたモット局在とは区別されます。

オリジナルのアンダーソンタイトバインディングモデルでは、 d次元格子Z ^d上の波動関数 ψの発展はシュレーディンガー方程式で与えられる。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=H\psi ~,}$

ここでハミルトニアン Hは^[2]で与えられる。

${\displaystyle H\psi _{j}=E_{j}\psi _{j}+\sum _{k\neq j}V_{jk}\psi _{k}~,}$

ここで、は格子位置である。自己エネルギーはランダムかつ独立に分布しているものとする。相互作用ポテンシャルは極限よりも速く減少する必要がある。例えば、エネルギー帯内で均一に分布し、 ${\displaystyle j,k}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle V(r)=V(|jk|)}$${\displaystyle 1/r^{3}}$${\displaystyle r\to \infty}$${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle [-W,+W],}$

${\displaystyle V(|r|)={\begin{cases}1,&|r|=|jk|=1\\0,&{\text{それ以外の場合。}}\end{cases}}}$

原点に局在することから始めて、確率分布がどれだけ速く拡散するかに興味があります。アンダーソンの分析は次のことを示しています。 ${\displaystyle \psi_{0}}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

• が 1 または 2 で が任意である場合、またはが十分に大きい場合、確率分布は局所化されたままになります。${\displaystyle d}$${\displaystyle W}$${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle W/\hbar }$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{d}}|\psi (t,n)|^{2}|n|\leq C}$

において均一である。この現象はアンダーソン局在と呼ばれる。${\displaystyle t}$

• とが小さい場合、${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle W/\hbar }$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{d}}|\psi (t,n)|^{2}|n|\approx D{\sqrt {t}}~,}$

ここでDは拡散定数です。

アンダーソン局在現象、特に弱局在現象は、多重散乱経路間の波の干渉に起因します。強散乱限界では、激しい干渉により無秩序な媒体内の波が完全に停止することがあります。

相互作用しない電子については、1979 年に Abrahams らによって非常に成功したアプローチが提唱されました。^[3]この局在のスケーリング仮説は、3 次元 (3D) において、ゼロ磁場およびスピン軌道相互作用がない場合、相互作用しない電子に対して無秩序誘起金属絶縁体転移(MIT) が存在することを示唆しています。その後、多くの研究が解析的にも数値的にもこれらのスケーリングの議論を支持しています (Brandesら、2003 年。「参考文献」を参照)。1D および 2D では、同じ仮説により、拡張状態は存在せず、したがって MIT は存在しないか、または見かけ上の MIT のみが存在することが示されています。^[4]ただし、2 は局在化問題の下限臨界次元であるため、2D の場合はある意味で 3D に近いと言えます。つまり、弱い無秩序性に対して状態がわずかに局在し、小さなスピン軌道相互作用によって拡張状態が存在し、したがって MIT が存在する可能性があります。その結果、潜在的な無秩序性を持つ 2D システムの局在長は非常に大きくなる可能性があるため、数値的アプローチでは、無秩序性を固定してシステム サイズを縮小するか、またはシステム サイズを固定して無秩序性を増加させるときに、常に局在化 - 非局在化遷移を見つけることができます。

局在化問題に対する数値的アプローチのほとんどは、オンサイトポテンシャル無秩序を伴う標準的なタイトバインディングアンダーソンハミルトニアンを使用します。電子固有状態の特性は、正確な対角化、マルチフラクタル特性、レベル統計などによって得られる関与数の調査によって調査されます。特に有益なのは転送行列法(TMM) です。これは局在化長を直接計算し、1 パラメータスケーリング関数の存在を数値的に証明することでスケーリング仮説をさらに検証します。光のアンダーソン局在化を実証するためのマクスウェル方程式の直接数値解法が実装されています (Conti および Fratalocchi、2008)。

最近の研究では、相互作用しないアンダーソン局在系は、弱い相互作用がある場合でも多体局在化できることが示されています。この結果は 1D で厳密に証明されていますが、摂動論的な議論は 2 次元や 3 次元でも存在します。

アンダーソン局在は、光の横方向局在がフォトニック格子上のランダムな変動によって引き起こされる、摂動周期ポテンシャルで観測できます。横方向局在の実験的実現は、2D 格子 (Schwartz et al.、2007) と 1D 格子 (Lahini et al.、2006) で報告されています。光の横方向アンダーソン局在は、光ファイバー媒体 (Karbasi et al.、2012) と生物学的媒体 (Choi et al.、2018) でも実証されており、ファイバーを介した画像の転送にも使用されています (Karbasi et al. 、2014)。また、1D の無秩序な光ポテンシャルにおけるボーズ・アインシュタイン凝縮体の局在によっても観測されています(Billy et al.、2008; Roati et al.、2008)。

3D では、観測はより稀です。3D の無秩序媒体における弾性波のアンダーソン局在が報告されています (Hu et al.、2008)。MIT の観測は、原子物質波を含む 3D モデルで報告されています (Chabé et al.、2008)。非伝播電子波に関連する MIT は、cm サイズの結晶で報告されています (Ying et al.、2016)。この現象を使用して、ランダム レーザーを動作させることができます。

3D における光のアンダーソン局在の存在は長年議論されてきました (Skipetrov et al. , 2016) が、今日でも未解決のままです。3D ランダム媒体における光のアンダーソン局在の報告は、吸収 (Wiersma et al. , 1997; Storzer et al. , 2006; Scheffold et al. , 1999; さらに詳しく読む) および/または蛍光 (Sperling et al. , 2016) の競合/マスキング効果によって複雑化していました。最近の実験 (Naraghi et al. , 2016; Cobus et al. , 2023) は、光のベクトル特性によりアンダーソン局在への移行が禁止される (John, 1992; Skipetrov et al. , 2019)という理論的予測を裏付けています。

標準的な拡散には局所性がなく、量子予測とは矛盾している。しかし、これは最大エントロピー原理の近似に基づいていることが判明しており、これは、現在の知識の状態を最もよく表す確率分布は最大のエントロピーを持つものであるというものである。この近似は最大エントロピーランダムウォークで修正され、不一致も修正される。つまり、強力な局所性特性を持つ量子基底状態の定常確率分布に正確につながることが判明している。^{[5] [6]}

• オーブリー・アンドレモデル

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• MITの1367631個の原子を持つシステムにおける電子の固有状態の例。各立方体は、その大きさによって、特定の位置で電子を見つける確率を示します。色のスケールは、平面の軸に沿った立方体の位置を示します。
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