関数解析 では 、すべての C * -代数は 、ある ヒルベルト空間上の 有界線型作用素 の C * -代数の部分代数に同型です。この記事では、 の 閉じた 正規 部分代数 のスペクトル理論について説明します 。 の部分代数 は、次の操作 に関して可換かつ閉じている場合に正規と呼ばれます 。すべての に対して 、 が成り立ち、 となります 。 [1]
B
（ H ）
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
H 。
{\displaystyle H.}
B
（ H ）
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
あ
{\displaystyle A}
B
（ H ）
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
∗
{\displaystyle \ast}
x 、 ええ ∈ あ
{\displaystyle x,y\in A}
x
∗
∈ あ
{\displaystyle x^{\ast }\in A}
x ええ = ええ x
{\displaystyle xy=yx}
アイデンティティの解決 全体を通して、は固定された ヒルベルト空間 です 。
H
{\displaystyle H}
が の部分集合の σ 代数 である 測定 可能空間 上の 射影値測度は 、 すべての に対して が 上の 自己随伴 射影 である (つまり、 は および を 満たす 有界線型演算子である ) ような
写像で あり
、 （ここで は の恒等演算子である ）であり、任意の に対して によって定義される 関数は 上の 複素測度 である (つまり、複素数値の 可算加法 関数である) ような写像である。
（ バツ 、 Ω ） 、
{\displaystyle (X,\Omega ),}
Ω
{\displaystyle \オメガ}
バツ 、
{\displaystyle X,}
π : Ω →
B
（ H ）
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
ω ∈ Ω 、
{\displaystyle \omega \in \Omega ,}
π （ ω ）
{\displaystyle \pi (\omega )}
H
{\displaystyle H}
π （ ω ）
{\displaystyle \pi (\omega )}
π （ ω ） : H → H
{\displaystyle \pi (\omega ):H\to H}
π （ ω ） = π （ ω
）
∗
{\displaystyle \pi (\omega )=\pi (\omega )^{*}}
π （ ω ） ∘ π （ ω ） = π （ ω ）
{\displaystyle \pi (\omega )\circ \pi (\omega )=\pi (\omega )}
π （ バツ ） =
識別子
H
{\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}\quad }
識別子
H
{\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}
H
{\displaystyle H}
x 、 ええ ∈ H 、
{\displaystyle x,y\in H,}
Ω →
Ｃ
{\displaystyle \Omega \to \mathbb {C} }
ω ↦ ⟨ π （ ω ） x 、 ええ ⟩
{\displaystyle \omega \mapsto \langle \pi (\omega )x,y\rangle }
M
{\displaystyle M}
測定可能な空間 上の 恒等式の解決 [ は、任意のに対して次のようになる 関数である 。
(
X
,
Ω
)
{\displaystyle (X,\Omega )}
π
:
Ω
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
ω
1
,
ω
2
∈
Ω
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }
π
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \pi (\varnothing )=0}
;
π
(
X
)
=
Id
H
{\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}}
; 任意の は 上の 自己随伴 射影 である 。
ω
∈
Ω
,
{\displaystyle \omega \in \Omega ,}
π
(
ω
)
{\displaystyle \pi (\omega )}
H
{\displaystyle H}
任意の に対して、 によって定義される 写像は 上の複素測度である 。
x
,
y
∈
H
,
{\displaystyle x,y\in H,}
π
x
,
y
:
Ω
→
C
{\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }
π
x
,
y
(
ω
)
=
⟨
π
(
ω
)
x
,
y
⟩
{\displaystyle \pi _{x,y}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,y\rangle }
Ω
{\displaystyle \Omega }
π
(
ω
1
∩
ω
2
)
=
π
(
ω
1
)
∘
π
(
ω
2
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)\circ \pi \left(\omega _{2}\right)}
; もし そうなら ;
ω
1
∩
ω
2
=
∅
{\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }
π
(
ω
1
∪
ω
2
)
=
π
(
ω
1
)
+
π
(
ω
2
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cup \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)+\pi \left(\omega _{2}\right)}
がハウスドルフ局所コンパクト（またはコンパクト）空間上のすべてのボレル集合の -代数である 場合 、次の追加要件が追加されます。
Ω
{\displaystyle \Omega }
σ
{\displaystyle \sigma }
任意の 写像は 正規ボレル測度 である （これはコンパクトな計量空間では自動的に満たされる）。
x
,
y
∈
H
,
{\displaystyle x,y\in H,}
π
x
,
y
:
Ω
→
C
{\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }
条件 2、3、および 4 は、 投影値の測度であることを意味します。
π
{\displaystyle \pi }
プロパティ 全体を通して、 を 恒等式の分解とします。 に対しては、 は 全変化を伴う の正の測度であり 、 に対してが成り立ちます
π
{\displaystyle \pi }
x
∈
H
,
{\displaystyle x\in H,}
π
x
,
x
:
Ω
→
C
{\displaystyle \pi _{x,x}:\Omega \to \mathbb {C} }
Ω
{\displaystyle \Omega }
‖
π
x
,
x
‖
=
π
x
,
x
(
X
)
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \left\|\pi _{x,x}\right\|=\pi _{x,x}(X)=\|x\|^{2}}
π
x
,
x
(
ω
)
=
⟨
π
(
ω
)
x
,
x
⟩
=
‖
π
(
ω
)
x
‖
2
{\displaystyle \pi _{x,x}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,x\rangle =\|\pi (\omega )x\|^{2}}
ω
∈
Ω
.
{\displaystyle \omega \in \Omega .}
それぞれについて :
ω
1
,
ω
2
∈
Ω
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }
π
(
ω
1
)
π
(
ω
2
)
=
π
(
ω
2
)
π
(
ω
1
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right)}
（両方とも に等しいため ）。
π
(
ω
1
∩
ω
2
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)}
すると 、マップの範囲 と 範囲は互いに直交し、
ω
1
∩
ω
2
=
∅
{\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }
π
(
ω
1
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)}
π
(
ω
2
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{2}\right)}
π
(
ω
1
)
π
(
ω
2
)
=
0
=
π
(
ω
2
)
π
(
ω
1
)
.
{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=0=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right).}
π
:
Ω
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
は有限加算的である。 がの互いに素な一組の元であり 、 その和がで あり、 すべてに対してであるならば 、
ω
1
,
ω
2
,
…
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }
Ω
{\displaystyle \Omega }
ω
{\displaystyle \omega }
π
(
ω
i
)
=
0
{\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)=0}
i
{\displaystyle i}
π
(
ω
)
=
0.
{\displaystyle \pi (\omega )=0.}
しかし、 は、 ここで説明するような自明な状況でのみ 可算 加法的である。 が の互いに素な元であり、 その和が であり、部分和が （ノルム位相を持つ） で に収束すると する 。 この場合、任意の射影のノルムは または であるため 、 の有限個を除くすべてが でない限り、部分和はコーシー列を形成できない
π
:
Ω
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
ω
1
,
ω
2
,
…
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }
Ω
{\displaystyle \Omega }
ω
{\displaystyle \omega }
∑
i
=
1
n
π
(
ω
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)}
π
(
ω
)
{\displaystyle \pi (\omega )}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
0
{\displaystyle 0}
≥
1
,
{\displaystyle \geq 1,}
π
(
ω
i
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)}
0.
{\displaystyle 0.}
によって定義される 任意の固定された 写像 は 、
x
∈
H
,
{\displaystyle x\in H,}
π
x
:
Ω
→
H
{\displaystyle \pi _{x}:\Omega \to H}
π
x
(
ω
)
:=
π
(
ω
)
x
{\displaystyle \pi _{x}(\omega ):=\pi (\omega )x}
H
{\displaystyle H}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
ここで 可算加法的と は、の組ごとに互いに素な元があり、 その和がである とき、部分和が に 収束すること を意味する。 より簡潔に言えば、
ω
1
,
ω
2
,
…
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }
Ω
{\displaystyle \Omega }
ω
,
{\displaystyle \omega ,}
∑
i
=
1
n
π
(
ω
i
)
x
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}
π
(
ω
)
x
{\displaystyle \pi (\omega )x}
H
.
{\displaystyle H.}
∑
i
=
1
∞
π
(
ω
i
)
x
=
π
(
ω
)
x
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\pi \left(\omega _{i}\right)x=\pi (\omega )x.}
言い換えると、 和が であるような、すべての 2 対の互いに素な要素の族に対して 、 ( の有限加法性により )は 上の 強演算子位相 において に収束します 。すべての に対して 、要素のシーケンスは において に収束します (ノルム位相に関して)。
(
ω
i
)
i
=
1
∞
⊆
Ω
{\displaystyle \left(\omega _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \Omega }
ω
∞
∈
Ω
{\displaystyle \omega _{\infty }\in \Omega }
∑
i
=
1
n
π
(
ω
i
)
=
π
(
⋃
i
=
1
n
ω
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)=\pi \left(\bigcup _{i=1}^{n}\omega _{i}\right)}
π
{\displaystyle \pi }
π
(
ω
∞
)
{\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
∑
i
=
1
n
π
(
ω
i
)
x
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}
π
(
ω
∞
)
x
{\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)x}
H
{\displaystyle H}
ら ∞ (π) - 本質的に有界な関数の空間 アイデンティティの 解決
π
:
Ω
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
(
X
,
Ω
)
.
{\displaystyle (X,\Omega ).}
本質的に有界な関数 が複素数値の - 測定可能な関数である とします 。 （部分集合包含に関して順序付けられた） の唯一の最大の開部分集合が存在し、 となります
理由を理解するために、 を 開円からなる の位相 の基底とし、 を となる集合からなる部分列（おそらく有限）とします 。このとき、 となります。 特に、 が の開部分集合で と なる場合 、 となり 、 となります（ただし、 が 0 となる 他の方法もあります ）。確かに、
f
:
X
→
C
{\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }
Ω
{\displaystyle \Omega }
V
f
{\displaystyle V_{f}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
π
(
f
−
1
(
V
f
)
)
=
0.
{\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(V_{f}\right)\right)=0.}
D
1
,
D
2
,
…
{\displaystyle D_{1},D_{2},\ldots }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
D
i
1
,
D
i
2
,
…
{\displaystyle D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots }
π
(
f
−
1
(
D
i
k
)
)
=
0
{\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(D_{i_{k}}\right)\right)=0}
D
i
1
∪
D
i
2
∪
⋯
=
V
f
.
{\displaystyle D_{i_{1}}\cup D_{i_{2}}\cup \cdots =V_{f}.}
D
{\displaystyle D}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
D
∩
Im
f
=
∅
{\displaystyle D\cap \operatorname {Im} f=\varnothing }
π
(
f
−
1
(
D
)
)
=
π
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)=\pi (\varnothing )=0}
D
⊆
V
f
{\displaystyle D\subseteq V_{f}}
π
(
f
−
1
(
D
)
)
{\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)}
C
∖
cl
(
Im
f
)
⊆
V
f
.
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \operatorname {cl} (\operatorname {Im} f)\subseteq V_{f}.}
の本質的な範囲 は の 補集合として定義されます。 これは の最小の閉部分集合で、 ほぼすべて （つまり、 となる 集合内のものを除くすべて ） を含みます。 本質的な範囲は の閉部分集合な ので、それが の有界部分集合でもある場合は コンパクトです。
f
{\displaystyle f}
V
f
.
{\displaystyle V_{f}.}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
π
(
ω
)
=
0
{\displaystyle \pi (\omega )=0}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
関数が 本質的に有界で ある とは、その本質的な値域が有界である場合であり、その場合、その 本質的な上限 （ ）を 、の 本質的な値域上の すべての値域の上限として 定義する
f
{\displaystyle f}
‖
f
‖
∞
,
{\displaystyle \|f\|^{\infty },}
|
λ
|
{\displaystyle |\lambda |}
λ
{\displaystyle \lambda }
f
.
{\displaystyle f.}
本質的に有界な関数の空間 を、でノルム化されたときにバナッハ代数になる、 すべての有界複素数値 - 測定可能関数のベクトル空間とし ます。
関数は 上の 半ノルム です が、必ずしもノルムではありません。この半ノルムの核は、 のベクトル部分空間であり 、バナッハ代数の閉じた両側イデアルです
したがって、 による の 商 もバナッハ代数であり、 で表されます。ここで、 任意の要素のノルムは に 等しく ( の場合 ) 、このノルムは バナッハ代数になります。 におけるのスペクトルは 、 の本質的な範囲です この記事では、の要素を と表記するの ではなく、
という通常の慣例に従います。
B
(
X
,
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}
Ω
{\displaystyle \Omega }
f
:
X
→
C
,
{\displaystyle f:X\to \mathbb {C} ,}
‖
f
‖
∞
:=
sup
x
∈
X
|
f
(
x
)
|
.
{\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}|f(x)|.}
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\infty }}
B
(
X
,
Ω
)
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega ),}
N
∞
:=
{
f
∈
B
(
X
,
Ω
)
:
‖
f
‖
∞
=
0
}
,
{\displaystyle N^{\infty }:=\left\{f\in {\mathcal {B}}(X,\Omega ):\|f\|^{\infty }=0\right\},}
B
(
X
,
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}
(
B
(
X
,
Ω
)
,
‖
⋅
‖
∞
)
.
{\displaystyle \left({\mathcal {B}}(X,\Omega ),\|\cdot \|_{\infty }\right).}
B
(
X
,
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}
N
∞
{\displaystyle N^{\infty }}
L
∞
(
π
)
:=
B
(
X
,
Ω
)
/
N
∞
{\displaystyle L^{\infty }(\pi ):={\mathcal {B}}(X,\Omega )/N^{\infty }}
f
+
N
∞
∈
L
∞
(
π
)
{\displaystyle f+N^{\infty }\in L^{\infty }(\pi )}
‖
f
‖
∞
{\displaystyle \|f\|^{\infty }}
f
+
N
∞
=
g
+
N
∞
{\displaystyle f+N^{\infty }=g+N^{\infty }}
‖
f
‖
∞
=
‖
g
‖
∞
{\displaystyle \|f\|^{\infty }=\|g\|^{\infty }}
L
∞
(
π
)
{\displaystyle L^{\infty }(\pi )}
f
+
N
∞
{\displaystyle f+N^{\infty }}
L
∞
(
π
)
{\displaystyle L^{\infty }(\pi )}
f
.
{\displaystyle f.}
f
{\displaystyle f}
f
+
N
∞
{\displaystyle f+N^{\infty }}
L
∞
(
π
)
.
{\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}
定理 — を上の恒等式の解析とすると、 の 閉じた正規部分代数と、 次の性質を満たす
等長 * 同型 が存在する。
π
:
Ω
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}
(
X
,
Ω
)
.
{\displaystyle (X,\Omega ).}
A
{\displaystyle A}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
Ψ
:
L
∞
(
π
)
→
A
{\displaystyle \Psi :L^{\infty }(\pi )\to A}
⟨
Ψ
(
f
)
x
,
y
⟩
=
∫
X
f
d
π
x
,
y
{\displaystyle \langle \Psi (f)x,y\rangle =\int _{X}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}
すべてに対してであり 、 表記法 を正当化する 。
x
,
y
∈
H
{\displaystyle x,y\in H}
f
∈
L
∞
(
π
)
,
{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ),}
Ψ
(
f
)
=
∫
X
f
d
π
{\displaystyle \Psi (f)=\int _{X}f\operatorname {d} \pi }
‖
Ψ
(
f
)
x
‖
2
=
∫
X
|
f
|
2
d
π
x
,
x
{\displaystyle \|\Psi (f)x\|^{2}=\int _{X}|f|^{2}\operatorname {d} \pi _{x,x}}
すべて および ;
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
f
∈
L
∞
(
π
)
{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}
演算子が のすべての要素と 可換であるのは、 のすべての要素と可換である場合に限ります。
R
∈
B
(
H
)
{\displaystyle R\in \mathbb {B} (H)}
Im
π
{\displaystyle \operatorname {Im} \pi }
A
=
Im
Ψ
.
{\displaystyle A=\operatorname {Im} \Psi .}
が に等しい単純関数で、 が の分割であり 、 が 複素数である 場合、 (ここで は特性関数)。
f
{\displaystyle f}
f
=
∑
i
=
1
n
λ
i
1
ω
i
,
{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbb {1} _{\omega _{i}},}
ω
1
,
…
ω
n
{\displaystyle \omega _{1},\ldots \omega _{n}}
X
{\displaystyle X}
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
Ψ
(
f
)
=
∑
i
=
1
n
λ
i
π
(
ω
i
)
{\displaystyle \Psi (f)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\pi \left(\omega _{i}\right)}
1
{\displaystyle \mathbb {1} }
が における 一連の単純関数の 極限 ( のノルム内) である 場合 、 は および で に収束します 。
f
{\displaystyle f}
L
∞
(
π
)
{\displaystyle L^{\infty }(\pi )}
s
1
,
s
2
,
…
{\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }
L
∞
(
π
)
{\displaystyle L^{\infty }(\pi )}
(
Ψ
(
s
i
)
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(\Psi \left(s_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}
Ψ
(
f
)
{\displaystyle \Psi (f)}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
‖
Ψ
(
f
)
‖
=
‖
f
‖
∞
{\displaystyle \|\Psi (f)\|=\|f\|^{\infty }}
(
‖
f
‖
∞
)
2
=
sup
‖
h
‖
≤
1
∫
X
d
π
h
,
h
{\displaystyle \left(\|f\|^{\infty }\right)^{2}=\sup _{\|h\|\leq 1}\int _{X}\operatorname {d} \pi _{h,h}}
すべての
f
∈
L
∞
(
π
)
.
{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}
スペクトル定理 バナッハ代数の極大理想空間は 、すべての複素準同型写像の集合であり 、これを で表す。 の ゲルファンド変換の任意の ものに対して、 は で定義される 写像であり、 すべてのを連続にする最も弱い位相が与えられる 。この位相では、 はコンパクトなハウスドルフ空間であり、 のすべての ものは に属し 、 は 上の連続複素数値関数の空間である。 の値域は スペクトルであり 、スペクトル半径は に等しく、 これは
A
{\displaystyle A}
A
→
C
,
{\displaystyle A\to \mathbb {C} ,}
σ
A
.
{\displaystyle \sigma _{A}.}
T
{\displaystyle T}
A
,
{\displaystyle A,}
T
{\displaystyle T}
G
(
T
)
:
σ
A
→
C
{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }
G
(
T
)
(
h
)
:=
h
(
T
)
.
{\displaystyle G(T)(h):=h(T).}
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
G
(
T
)
:
σ
A
→
C
{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }
σ
A
{\displaystyle \sigma _{A}}
T
{\displaystyle T}
A
,
{\displaystyle A,}
G
(
T
)
{\displaystyle G(T)}
C
(
σ
A
)
,
{\displaystyle C\left(\sigma _{A}\right),}
σ
A
.
{\displaystyle \sigma _{A}.}
G
(
T
)
{\displaystyle G(T)}
σ
(
T
)
{\displaystyle \sigma (T)}
max
{
|
G
(
T
)
(
h
)
|
:
h
∈
σ
A
}
,
{\displaystyle \max \left\{|G(T)(h)|:h\in \sigma _{A}\right\},}
≤
‖
T
‖
.
{\displaystyle \leq \|T\|.}
定理 — が 恒等変換を含む の閉じた正規部分代数であり 、 が の最大イデアル空間であるとします。 が のボレル部分集合であると します。 の任意の に対して 、 の ゲルファンド変換を表すとすると、 は入射写像になります。 を満たす恒等変換の一意の解決が存在し、次の状況を要約するために、 という表記法が使用されます。 がゲルファンド変換 の 逆 で あり 、
が の 部分 空間 として標準的に識別できるものとします。が の線型スパンの 閉包 ( のノルム位相内 )であると します
。すると、次のことが成り立ちます。
A
{\displaystyle A}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
Id
H
{\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}
σ
=
σ
A
{\displaystyle \sigma =\sigma _{A}}
A
.
{\displaystyle A.}
Ω
{\displaystyle \Omega }
σ
.
{\displaystyle \sigma .}
T
{\displaystyle T}
A
,
{\displaystyle A,}
G
(
T
)
:
σ
A
→
C
{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
G
:
A
→
C
(
σ
A
)
.
{\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right).}
π
:
Ω
→
A
{\displaystyle \pi :\Omega \to A}
⟨
T
x
,
y
⟩
=
∫
σ
A
G
(
T
)
d
π
x
,
y
for all
x
,
y
∈
H
and all
T
∈
A
;
{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi _{x,y}\quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}T\in A;}
T
=
∫
σ
A
G
(
T
)
d
π
{\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi }
I
:
Im
G
→
A
{\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}
G
:
A
→
C
(
σ
A
)
{\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right)}
Im
G
{\displaystyle \operatorname {Im} G}
L
∞
(
π
)
.
{\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}
B
{\displaystyle B}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
Im
π
.
{\displaystyle \operatorname {Im} \pi .}
B
{\displaystyle B}
は 、
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
A
.
{\displaystyle A.}
（線形乗法）等長 * 同型 が存在し 、 すべての
Φ
:
L
∞
(
π
)
→
B
{\displaystyle \Phi :L^{\infty }(\pi )\to B}
I
:
Im
G
→
A
{\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}
Φ
f
=
∫
σ
A
f
d
π
{\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }
f
∈
L
∞
(
π
)
.
{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}
表記は すべての に対して を意味することを思い出してください 。
Φ
f
=
∫
σ
A
f
d
π
{\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }
⟨
(
Φ
f
)
x
,
y
⟩
=
∫
σ
A
f
d
π
x
,
y
{\displaystyle \langle (\Phi f)x,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}
x
,
y
∈
H
{\displaystyle x,y\in H}
特に、 すべての
T
=
∫
σ
A
G
(
T
)
d
π
=
Φ
(
G
(
T
)
)
{\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi =\Phi (G(T))}
T
∈
A
.
{\displaystyle T\in A.}
明示的に、 あらゆる に対して および を 満たします (したがって が 実数値の場合、 は自己随伴です)。
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
(
f
¯
)
=
(
Φ
f
)
∗
{\displaystyle \Phi \left({\overline {f}}\right)=(\Phi f)^{*}}
‖
Φ
f
‖
=
‖
f
‖
∞
{\displaystyle \|\Phi f\|=\|f\|^{\infty }}
f
∈
L
∞
(
π
)
{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}
f
{\displaystyle f}
Φ
(
f
)
{\displaystyle \Phi (f)}
が開いていて空でない場合 （つまり となる ）、
ω
⊆
σ
A
{\displaystyle \omega \subseteq \sigma _{A}}
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
π
(
ω
)
≠
0.
{\displaystyle \pi (\omega )\neq 0.}
有界線型作用素が のすべての要素と 可換であるのは、 のすべての要素と可換である場合に限ります。
S
∈
B
(
H
)
{\displaystyle S\in {\mathcal {B}}(H)}
A
{\displaystyle A}
Im
π
.
{\displaystyle \operatorname {Im} \pi .}
上記の結果は、単一の通常の境界付き演算子に特化できます。
参照
参考文献
^ ウォルター・ルーディン (1991)。 機能分析 (第 2 版)。ニューヨーク：マグロウヒル。 292–293ページ。 ISBN 0-07-100944-2 。
ロバートソン、AP (1973)。 位相ベクトル空間 。ケンブリッジ、イングランド：大学出版局 。ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250. ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。 位相 ベクトル空間 。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250. ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135.
