指数関数的成長

指数関数的成長とは、ある量が時間の指数関数として増加する現象です。その量は、現在の量に正比例する速度で増加します。例えば、現在の量の3倍になったとき、その量は現在の量の3倍の速さで増加することになります。

より専門的な言葉で言えば、独立変数に関する量の瞬間的な変化率（つまり導関数）は、その量自体に比例します。多くの場合、独立変数は時間です。関数として記述すると、指数関数的に増加する量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数になります（二次関数的増加などの他のタイプの増加とは対照的です）。指数関数的増加は対数的増加の逆です。

「指数関数的成長」といった用語は、「急速な成長」と誤って解釈されることがあります。実際、指数関数的に成長するものは、最初はゆっくりと成長している場合もあります。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}また、常に増加率で成長するすべてのケースが指数関数的成長の例であるとは限りません。例えば、関数 ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ はますます速いペースで成長しますが、指数関数的に成長するよりははるかに遅いです。たとえば、 ${\textstyle x=1,}$ 3倍の大きさに成長するが、 ${\textstyle x=10}$ 指数関数は、現在のサイズの 30% の割合で成長します。指数関数が現在のサイズの 3 倍の割合で成長する場合、常に現在のサイズの 3 倍の割合で成長します。つまり、現在のサイズの 10 倍になったときには、10 倍の速さで成長します。一方、関数は指数関数よりも速く成長することもあります。たとえば、階乗関数や二重指数関数などです。

比例定数が負の場合、量は時間とともに減少し、指数関数的減衰を起こしていると言われます。定義域が等間隔の離散領域の場合、関数値が等比数列を形成するため、幾何級数的増加または幾何級数的減衰とも呼ばれます。

離散的な間隔（つまり、整数時間 0、1、2、3、…）で時間 t が経過するにつれて、成長率 $r$ で $変数$ $x$ が指数関数的に増加する式は次のようになります。

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

ここで、 $x 0$ $は時刻 0 におけるx$ の値です。細菌コロニーの成長は、これを説明するためによく用いられます。1 つの細菌が 2 つに分裂し、それぞれがさらに分裂して 4 つ、次に 8 つ、16 つ、32 つ、といった具合に増えていきます。増加量は、増え続ける細菌の数に比例するため、増え続けます。このような成長は、ウイルス感染の拡大、複利による負債の増加、バイラル動画の拡散など、現実の活動や現象で観察されます。実際のケースでは、初期の指数関数的成長は永遠に続くことはなく、外部要因による上限のために最終的には減速し、ロジスティック成長に変わります。

例

生物学

培養液中の微生物の数は、必須栄養素が枯渇し、それ以上微生物が増殖するための栄養素がなくなるまで指数関数的に増加します。通常、最初の微生物は2つの娘微生物に分裂し、それぞれが4つに分裂し、さらに8つに分裂し、以下同様に続きます。指数関数的成長は一定の成長率を示すため、指数関数的に成長している細胞は定常状態にあると仮定されることがよくあります。しかし、細胞は代謝と遺伝子発現を再構築しながら一定の速度で指数関数的に成長することができます。^[³^]
ウイルス（例えばCOVID-19や天然痘）は、人工的な免疫が利用できない場合、最初は指数関数的に広がるのが一般的です。感染した人はそれぞれ複数の新しい人に感染させる可能性があります。^{[ 4 ]}

物理科学

誘電体材料内部における雪崩破壊。外部から印加された電場によって自由電子が十分に加速されると、誘電体媒体の原子や分子と衝突し、さらに多くの電子を放出する。これらの二次電子も加速され、自由電子の数が大幅に増加する。その結果、電子とイオンが指数関数的に増加し、材料の完全な誘電破壊が急速に起こる可能性がある。
核連鎖反応（原子炉や核兵器の背後にある概念）。核分裂を起こしたウラン原子核はそれぞれ複数のニュートロンを生成し、それぞれのニュートロンは隣接するウラン原子に吸収され、それらの原子も次々と核分裂を起こす。ニュートロン吸収の確率がニュートロン脱出の確率（ウランの形状と質量の関数）を超えると、ニュートロン生成率と誘導されるウラン核分裂の速度は制御不能な反応で指数関数的に増加する。「指数関数的な増加率のため、連鎖反応のどの時点でも、エネルギーの99%は過去4.6世代で放出されている。最初の53世代を実際の爆発までの潜伏期間と考えるのは妥当な近似であり、実際の爆発はわずか3～4世代で起こる。」^[⁶^]
電気増幅または電気音響増幅の線形範囲内での正のフィードバックは、増幅信号の指数関数的な増加をもたらす可能性があるが、共振効果によって信号の特定の成分周波数が他の周波数よりも優先される場合がある。これが超再生受信機の原理である。

経済

経済成長はパーセンテージで表され、指数関数的な成長を意味する。

ファイナンス

一定の利率での複利は、資本の指数関数的な成長をもたらします。 ^{[ 7 ]} 72の法則も参照してください。
ねずみ講やポンジスキームも同様の成長パターンを示し、少数の初期投資家には高額の利益をもたらす一方で、多数の投資家には損失をもたらす。

コンピュータサイエンス

Processing power of computers. See also Moore's law and technological singularity. (Under exponential growth, there are no singularities. The singularity here is a metaphor, meant to convey an unimaginable future. The link of this hypothetical concept with exponential growth is most vocally made by futurist Ray Kurzweil.)
In computational complexity theory, computer algorithms of exponential complexity require an exponentially increasing amount of resources (e.g. time, computer memory) for only a constant increase in problem size. So for an algorithm of time complexity $2 x$ , if a problem of size $x = 10$ requires 10 seconds to complete, and a problem of size $x = 11$ requires 20 seconds, then a problem of size $x = 12$ will require 40 seconds. This kind of algorithm typically becomes unusable at very small problem sizes, often between 30 and 100 items (most computer algorithms need to be able to solve much larger problems, up to tens of thousands or even millions of items in reasonable times, something that would be physically impossible with an exponential algorithm). Also, the effects of Moore's Law do not help the situation much because doubling processor speed merely increases the feasible problem size by a constant. E.g. if a slow processor can solve problems of size $x$ in time $t$ , then a processor twice as fast could only solve problems of size $x + constant$ in the same time $t$ . So exponentially complex algorithms are most often impractical, and the search for more efficient algorithms is one of the central goals of computer science today.

Internet phenomena

Internet contents, such as internet memes or videos, can spread in an exponential manner, often said to "go viral" as an analogy to the spread of viruses.^[8] With media such as social networks, one person can forward the same content to many people simultaneously, who then spread it to even more people, and so on, causing rapid spread.^[9] For example, the video Gangnam Style was uploaded to YouTube on 15 July 2012, reaching hundreds of thousands of viewers on the first day, millions on the twentieth day, and was cumulatively viewed by hundreds of millions in less than two months.^[8]^[10]

Basic formula

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}} — Exponential growth: ${\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}} — Exponential decay: ${\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}$

量 $x が$ 時間 $t$ に指数関数的に依存するとは、 $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ ここで定数 $a$ $はx$ の初期値であり、 $x(0)=a\,,$ 定数 $b$ は正の成長因子であり、 $τ$ は時定数、つまり $xが$ $b$ の1倍になるのに必要な時間である。 $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

$τ > 0$ かつ $b > 1$ の場合、 $x は$ 指数関数的に増加します。τ < 0 かつ b > 1 の場合 $、または$ τ $> 0$ かつ $0 <$ b $< 1 の$ 場合、 $xは$ 指数関数的に減少します。

例：ある細菌種が10分ごとに倍増し、最初は1個の細菌しか存在しない場合、1時間後には何個の細菌が存在するでしょうか？ この問題は、 $a = 1$ 、 $b = 2$ 、 $τ = 10分で$ あることを示しています。

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1時間)=1\cdot 2^{(60分)/(10分)}=1\cdot 2^{6}=64.$

1時間後、つまり10分間隔を6回繰り返すと、細菌の数は64個になるだろう。

無次元の非負の数 $b$ と時間 $τ$ (単位の数と時間の単位の積として表せる物理量)の多くのペア $(b 、 τ)は、同じ成長率を表し、$ $τ$ $はlog$ $b$ に比例します。 1 に等しくない任意の固定 $b (たとえば$ eまたは 2) に対して、成長率は非ゼロの時間 $τ$ によって与えられます。任意の非ゼロの時間 $τに対して、成長率は無次元の正の数$ $b$ によって与えられます。

このように、指数関数的成長の法則は、異なる底を用いることで、数学的に等価な様々な形で記述することができる。最も一般的な形式は以下のとおりである。 $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$ ここで、 $x 0$ は初期量 $x (0)$ を表します。

パラメータ（指数関数的減衰の場合は負の値）：

成長定数 $kは、単位時間あたりに係数$ $e$ で成長する頻度(回数)です。金融においては、対数リターン、連続複利リターン、または利子力とも呼ばれます。
e倍に成長するのにかかる時間 τは、 e倍に成長するのにかかる時間です。
The doubling timeT is the time it takes to double.
The percent increase $r$ (a dimensionless number) in a period $p$ .

The quantities $k$ , $τ$ , and $T$ , and for a given $p$ also $r$ , have a one-to-one connection given by the following equation (which can be derived by taking the natural logarithm of the above): $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$ where $k = 0$ corresponds to $r = 0$ and to $τ$ and $T$ being infinite.

If $p$ is the unit of time the quotient $t / p$ is simply the number of units of time. Using the notation $t$ for the (dimensionless) number of units of time rather than the time itself, $t / p$ can be replaced by $t$ , but for uniformity this has been avoided here. In this case the division by $p$ in the last formula is not a numerical division either, but converts a dimensionless number to the correct quantity including unit.

A popular approximated method for calculating the doubling time from the growth rate is the rule of 70, that is, $T\simeq 70/r$ .

Graphs comparing doubling times and half lives of exponential growths (bold lines) and decay (faint lines), and their 70/t and 72/t approximations. In the SVG version, hover over a graph to highlight it and its complement.

Reformulation as log-linear growth

If a variable $x$ exhibits exponential growth according to $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ , then the log (to any base) of $x$ grows linearly over time, as can be seen by taking logarithms of both sides of the exponential growth equation: $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

This allows an exponentially growing variable to be modeled with a log-linear model. For example, if one wishes to empirically estimate the growth rate from intertemporal data on $x$ , one can linearly regress $log x$ on $t$ .

Differential equation

The exponential function $x(t)=x_{0}e^{kt}$ satisfies the linear differential equation: ${\frac {dx}{dt}}=kx$ saying that the change per instant of time of $x$ at time $t$ is proportional to the value of $x (t)$ , and $x (t)$ has the initial value $x(0)=x_{0}$ .

The differential equation is solved by direct integration: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ so that $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

上記の微分方程式において、 $k < 0$ の場合、その量は指数関数的に減少します。

この成長モデルの非線形変形については、ロジスティック関数を参照してください。

その他の成長率

長期的には、あらゆる種類の指数関数的成長はあらゆる種類の線形成長（これがマルサスの破局の基礎である）およびあらゆる多項式成長を追い越す、つまりすべての $α$ について次のようになる。 $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$

指数関数的成長率よりも遅く、線形成長率よりも速い（長期的には）考えられる成長率の階層全体が存在します。多項式の次数§ 関数値から計算されるを参照してください。

成長率は指数関数的よりも速い場合もある。最も極端なケースでは、有限時間内に成長が際限なく増加する場合、それは双曲線的成長と呼ばれる。指数関数的成長と双曲線的成長の間には、テトレーションから始まるハイパー演算など、より多くの種類の成長挙動が存在する。 $A(n,n)$ アッカーマン関数の対角線。

物流の成長

実際には、初期の指数関数的成長は永遠に続くことはほとんどない。一定期間後には、外部要因や環境要因によって減速する。例えば、人口増加は資源の制約により上限に達する可能性がある。^{[ 11 ]} 1845年、ベルギーの数学者ピエール・フランソワ・ヴェルフルストは、このような成長の数学的モデルを初めて提案し、「ロジスティック成長」と呼んだ。^{[ 12 ]}

モデルの限界

物理現象の指数関数的成長モデルは、限られた領域内でのみ適用可能です。なぜなら、際限のない成長は物理的に現実的ではないからです。成長は最初は指数関数的かもしれませんが、モデル化された現象は最終的に、これまで無視されてきた負のフィードバック要因が重要になる領域（ロジスティック成長モデルにつながる）に入るか、連続性や瞬間的なフィードバックといった指数関数的成長モデルのその他の前提条件が破綻する領域に入ります。

指数関数的成長バイアス

研究によると、人間は指数関数的成長を理解するのが難しい。指数関数的成長バイアスとは、複利的成長プロセスを過小評価する傾向のことである。このバイアスは、財務的な影響も及ぼす可能性がある。^{[ 13 ]}

チェス盤の上のご飯

According to legend, vizier Sissa Ben Dahir presented an Indian King Sharim with a beautiful handmade chessboard. The king asked what he would like in return for his gift and the courtier surprised the king by asking for one grain of rice on the first square, two grains on the second, four grains on the third, and so on. The king readily agreed and asked for the rice to be brought. All went well at first, but the requirement for $2 n -1$ grains on the $n$ th square demanded over a million grains on the 21st square, more than a million million (a.k.a.trillion) on the 41st and there simply was not enough rice in the whole world for the final squares. (From Swirski, 2006)^[14]

The "second half of the chessboard" refers to the time when an exponentially growing influence is having a significant economic impact on an organization's overall business strategy.

Water lily

French children are offered a riddle, which appears to be an aspect of exponential growth: "the apparent suddenness with which an exponentially growing quantity approaches a fixed limit". The riddle imagines a water lily plant growing in a pond. The plant doubles in size every day and, if left alone, it would smother the pond in 30 days killing all the other living things in the water. Day after day, the plant's growth is small, so it is decided that it won't be a concern until it covers half of the pond. Which day will that be? The 29th day, leaving only one day to save the pond.^[15]^[14]

References

↑Suri, Manil (4 March 2019). "Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd". The New York Times.
↑"10 Scientific Words You're Probably Using Wrong". HowStuffWorks. 11 July 2014.
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情報源

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ドネラ・H・メドウズ、デニス・L・メドウズ、ヨーゲン・ランダース、ウィリアム・W・ベーレンス3世 (1972) 『成長の限界』ニューヨーク：ユニバーシティ・ブックス。ISBN 0-87663-165-0
ポリット、J. 『世界が重要であるかのような資本主義』、アーススキャン、2005年。ISBN 1-84407-192-8
スウィルスキー、ピーター。『文学と知識について：物語的思考実験、進化、ゲーム理論の探求』ニューヨーク：ラウトレッジ。ISBN 0-415-42060-1
トムソン、デビッド・G.『10億ドルへの青写真：指数関数的成長を達成するための7つの必須事項』ワイリー、2005年12月、ISBN 0-471-74747-5
ツィレル、SV 2004。「地球人口の超指数関数的増加の可能性のある理由について」。社会経済ダイナミクスの数理モデル/ MG ドミトリエフおよび AP ペトロフ編、pp. 367–9。モスクワ：ロシア国立社会大学、2004年。

外部リンク

有限な世界における成長 ― 持続可能性と指数関数― プレゼンテーション
アルバート・バートレット博士：算術、人口、エネルギー― ストリーミングビデオと音声（58分）

[1] Suri, Manil (4 March 2019). "Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd". The New York Times.

[2] "10 Scientific Words You're Probably Using Wrong". HowStuffWorks. 11 July 2014.

[SlavovBudnik2014-3] Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M. ; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis" . Cell Reports . 7 (3): 705– 714. doi : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . PMC 4049626. PMID 24767987 .

[4] 「コロナウイルスは指数関数的に増加している ― それは実際には何を意味するのか」。2020年4月3日。

[NOAA_WindDamagePotential_2023-5] 「ハリケーンによる被害の可能性」。米国海洋大気庁（NOAA）。2023年9月8日。2025年2月7日にオリジナルからアーカイブ済み。

[6] サブレッテ、キャリー。「核兵器の物理学と設計入門」。核兵器アーカイブ。2009年5月26日取得。

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-7] Crauder、Evans & Noell 2008、pp. 314–315。

[aca-8] 1 2 Ariel Cintrón-Arias (2014). "To Go Viral". arXiv : 1402.3499 [ physics.soc-ph ].

[9] カリーヌ・ナホン、ジェフ・ヘムズリー（2013）。『バイラルになる方法』ポリティ社、 16ページ。ISBN 978-0-7456-7129-1。

[10] YouTube (2012). "江南スタイル vs コール・ミー・メイビー：人気比較" . YouTubeトレンド.

[11] クローダー、ブルース；エヴァンス、ベニー；ノエル、アラン（2008）。関数と変化：大学代数へのモデリングアプローチ。ホートン・ミフリン・ハーコート。398ページ。ISBN 978-1-111-78502-4。

[12] バーンスタイン、ルース (2003).個体群生態学：コンピュータシミュレーション入門. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7。

[13] Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "指数関数的成長バイアスと家計金融". The Journal of Finance . 64 (6): 2807– 2849. doi : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x .

[Porritt-2005-14] 1 2ポリット、ジョナサン（ 2005）。資本主義：まるで世界が重要であるかのように。ロンドン：アーススキャン。p. 49。ISBN 1-84407-192-8。

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例

生物学