変位に反比例する復元力に反応する物理システム
古典力学 では 、 調和振動子は 平衡 位置から変位すると 、 変位 x に 比例した 復元力 F を 経験するシステムです。
F → = − k x → 、 {\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}
ここで、 k は 正の 定数 です 。
F が システムに作用する唯一の力である場合 、システムは 単振動子 と呼ばれ、 単振動運動 、つまり一定の 振幅 と一定の 周波数 （振幅に依存しない）
で平衡点を中心に 正弦 波振動を起こします。
速度 に比例する摩擦力（ 減衰 ） も存在する場合、調和振動子は 減衰振動子 として記述されます。摩擦係数に応じて、システムは次のようになります。
減衰不足振動子と減衰過剰振動子の間の境界 解は 、摩擦係数の特定の値で発生し、 臨界減衰と 呼ばれます。
外部から時間に依存する力が存在する場合、調和振動子は 駆動振動子 として記述されます。
機械的な例としては、 振り子 （ 変位角が小さい ）、 バネ に接続された質量、 音響システムなどがあります。その他の類似システムには 、RLC 回路 などの電気調和振動子があります 。調和振動子モデルは物理学において非常に重要です。安定した平衡状態で力を受けるあらゆる質量が、小さな振動の調和振動子として機能するためです。調和振動子は自然界に広く存在し、 時計 や無線回路など、多くの人工デバイスで利用されています。これらは、事実上すべての正弦波の振動と波の源です。
単振動子 単振動子は、駆動も 減衰もされない 振動子である。これは質量 mで構成され、質量 m は点 x = 0 の方向に質量を引っ張る 単一の力 Fを受け、質量の位置 x と定数 k のみに依存する。 このシステムの
力の釣り合い ( ニュートンの第 2 法則) は、
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
=
m
x
¨
=
−
k
x
.
{\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}
この 微分方程式 を解くと、運動は関数
x ( t ) = A sin ( ω t + φ ) , {\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),}
で記述されることがわかります。
ここで、
ω = k m . {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}
運動は 周期的で 、一定の振幅 Aで 正弦 波状に繰り返されます 。単振動子の運動は、振幅に加えて、 周期 （1回の振動にかかる時間）または周波数 （単位時間あたりのサイクル数）によって特徴付けられます。特定の時間 tにおける位置は 位相 φ にも依存し 、位相によって正弦波の開始点が決まります。周期と周波数は質量 m の大きさと力の定数 k によって決まり、振幅と位相は開始位置と 速度 によって決まります。
T
=
2
π
/
ω
{\displaystyle T=2\pi /\omega }
f
=
1
/
T
{\displaystyle f=1/T}
単振動子の速度と 加速度は 位置と同じ周波数で振動しますが、位相がずれています。速度は変位がゼロのときに最大になり、加速度は変位と反対の方向になります。
位置x にある単振動子に蓄えられた位置エネルギーはU = 1 2 k x 2 です
。{\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
減衰調和振動子 減衰比ζ の値に対するシステム動作の依存性 減衰強度が増加する減衰振動子の位相図。 2 つのバネの間にある動力学カートで構成された減衰調和振動子を説明するビデオ クリップ。 カート上部の 加速度計が加速度の大きさと方向を表示します。 実際の振動子では、摩擦または減衰によってシステムの動きが遅くなります。摩擦力により、速度は作用する摩擦力に比例して減少します。駆動されていない単純な調和振動子では、質量に作用する力は復元力のみですが、減衰調和振動子では、さらに摩擦力が加わり、常に動きに反対の方向になります。多くの振動システムでは、摩擦力 F f は物体の速度 v に比例するものとしてモデル化できます。F f = − cv 、 ここ で c は 粘性 減衰 係数 と呼ばれます 。
減衰調和振動子の力の釣り合い（ ニュートンの第二法則）は [1] [2] [3] となり、次の
よう
に書き直すことができる
。
F
=
−
k
x
−
c
d
x
d
t
=
m
d
2
x
d
t
2
,
{\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}
d
2
x
d
t
2
+
2
ζ
ω
0
d
x
d
t
+
ω
0
2
x
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}
ω
0
=
k
m
{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
「振動子の非減衰 角周波数 」と呼ばれる。
ζ = c 2 m k {\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} は
「減衰比」と呼ばれます。 減衰調和振動子の ステップ応答。曲線は μ = ω 1 = ω 0 √ 1 − ζ 2 の 3 つの値に対してプロットされています。時間の単位は減衰時間 τ = 1/( ζω 0 ) です。 減衰比 ζ の値は、システムの動作を決定的に決定します。減衰調和振動子は次のようになります。
過剰減衰 ( ζ > 1): システムは振動せずに定常状態に戻ります ( 指数関数的に減少します )。減衰率 ζ の値が大きいほど、平衡状態に戻るのが遅くなります。 臨界減衰 ( ζ = 1): システムは振動せずにできるだけ早く定常状態に戻ります (ただし、初期速度がゼロでない場合はオーバーシュートが発生する可能性があります)。これは、ドアなどのシステムの減衰によく使用されます。 減衰不足 （ ζ < 1）：システムは（減衰なしの場合とはわずかに異なる周波数で）振動し、振幅は徐々にゼロに減少します。 減衰不足調和振動子の 角周波数は 次のように与えられます。減衰不足調和振動子の指数関数的減衰は次のように与えられ ます 。
ω
1
=
ω
0
1
−
ζ
2
,
{\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}
λ
=
ω
0
ζ
.
{\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .}
減衰振動子のQ値は次のように定義さ
れる 。
Q
=
2
π
×
energy stored
energy lost per cycle
.
{\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.}
Qは 減衰率と次の式で関係する。
Q
=
1
2
ζ
.
{\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}
駆動調和振動子 駆動調和振動子は、外部から加えられた力 F ( t ) によってさらに影響を受ける減衰振動子です。
ニュートンの第二法則は 次のようになる。
F
(
t
)
−
k
x
−
c
d
x
d
t
=
m
d
2
x
d
t
2
.
{\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}
通常は次のように書き換えられる。
d
2
x
d
t
2
+
2
ζ
ω
0
d
x
d
t
+
ω
0
2
x
=
F
(
t
)
m
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}
この方程式は、任意の駆動力に対して、非強制方程式を満たす
解 z ( t )を用いて正確に解くことができる。
d
2
z
d
t
2
+
2
ζ
ω
0
d
z
d
t
+
ω
0
2
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}
これは、 ζ ≤ 1
の場合、 減衰正弦波振動として表現できます
。振幅 A と位相 φ によって、初期条件に一致するために必要な動作が決まります。
z
(
t
)
=
A
e
−
ζ
ω
0
t
sin
(
1
−
ζ
2
ω
0
t
+
φ
)
,
{\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}
ζ < 1 で単位ステップ入力 x (0) = 0 の場合 、
解は
F
(
t
)
m
=
{
ω
0
2
t
≥
0
0
t
<
0
{\displaystyle {\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}}
x
(
t
)
=
1
−
e
−
ζ
ω
0
t
sin
(
1
−
ζ
2
ω
0
t
+
φ
)
sin
(
φ
)
,
{\displaystyle x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},}
位相 φ は次のように与えられる
。
cos
φ
=
ζ
.
{\displaystyle \cos \varphi =\zeta .}
振動子が外部条件の変化に適応するために必要な時間は、 τ = 1/( ζω 0 ) のオーダーです 。物理学では、適応は 緩和と 呼ばれ、 τ は 緩和時間と呼ばれます。
電気工学では、 τ の倍数は 整定時間 と呼ばれます 。これは、信号が最終値から一定の偏差内、通常は 10% 以内になるようにするために必要な時間です。 オーバーシュート という用語は、応答の最大値が最終値を超える範囲を指し、 アンダー シュートという用語は、応答の最大値に続く時間にわたって応答が最終値を下回る範囲を指します。
正弦波駆動力 駆動される調和振動子の相対周波数と減衰 による振幅の定常変化 。このグラフは調和振動子スペクトルまたは運動スペクトルとも呼ばれます。
ω
/
ω
0
{\displaystyle \omega /\omega _{0}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
正弦波駆動力の場合:
は 駆動振幅、 は 正弦波駆動機構の 駆動 周波数です。 このタイプのシステムは、 AC 駆動 RLC 回路 ( 抵抗器 – インダクタ – コンデンサ) や、内部機械抵抗または外部 空気抵抗 を持つ駆動スプリング システムに使用されます 。
d
2
x
d
t
2
+
2
ζ
ω
0
d
x
d
t
+
ω
0
2
x
=
1
m
F
0
sin
(
ω
t
)
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
ω
{\displaystyle \omega }
一般解は、初期条件に依存する過渡解 と、 初期条件に依存せず、駆動振幅 、駆動周波数 、非減衰角周波数 、および減衰比のみに依存する 定常状態 の合計です 。
F
0
{\displaystyle F_{0}}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
定常解は、誘導位相変化を伴う駆動力に比例する 。
ここで、
Z m = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 {\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}} は
インピーダンス または 線形応答関数
の絶対値であり 、
φ
{\displaystyle \varphi }
x
(
t
)
=
F
0
m
Z
m
ω
sin
(
ω
t
+
φ
)
,
{\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}
φ
=
arctan
(
2
ω
ω
0
ζ
ω
2
−
ω
0
2
)
+
n
π
{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }
は駆動力に対する振動の位相 です 。位相値は通常、-180° から 0 の間になります (つまり、arctan 引数の正の値と負の値の両方に対して位相の遅れを表します)。
共振 または共振周波数 と呼ばれる特定の駆動周波数では 、振幅（与えられた に対して ）が最大になります。この共振効果は のとき 、つまり著しく減衰が不十分なシステムに対してのみ発生します。強く減衰が不十分なシステムでは、共振周波数付近で振幅の値がかなり大きくなることがあります。
ω
r
=
ω
0
1
−
2
ζ
2
{\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
ζ
<
1
/
2
{\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}
過渡解は、強制されていない ( ) 減衰調和振動子と同じであり、以前に発生した他のイベントに対するシステムの応答を表します。過渡解は通常、急速に消滅するため無視できます。
F
0
=
0
{\displaystyle F_{0}=0}
パラメトリック発振器 パラメトリック 発振器は 、駆動エネルギーが減衰力や復元力などの発振器のパラメータを変化させることによって提供される駆動調和発振器です。パラメトリック発振のよく知られた例は、遊び場の ブランコ の「ポンピング」です。 [4] [5] [6]
動いているブランコに乗っている人は、ブランコの振動のリズムに合わせて前後に揺れる（「ポンピング」）か、交互に立ったりしゃがんだりしてブランコの慣性モーメントを変化させることで、外部からの駆動力（押す力）を加えなくてもブランコの振動の振幅を大きくすることができます。パラメータの変化がシステムを駆動します。変化させることができるパラメータの例としては、共振周波数 や減衰があります 。
ω
{\displaystyle \omega }
β
{\displaystyle \beta }
パラメトリック発振器は、多くのアプリケーションで使用されています。従来の バラクタ パラメトリック発振器は、ダイオードの静電容量が周期的に変化すると発振します。ダイオードの静電容量を変化させる回路は、「ポンプ」または「ドライバ」と呼ばれます。マイクロ波エレクトロニクスでは、 導波管 / YAG ベースのパラメトリック発振器が同じように動作します。設計者は、パラメータを周期的に変化させて発振を誘発します。
パラメトリック発振器は、特に無線およびマイクロ波周波数範囲の低ノイズ増幅器として開発されました。リアクタンス（抵抗ではなく）が変化するため、熱ノイズは最小限に抑えられます。もう 1 つの一般的な用途は周波数変換で、たとえばオーディオ周波数から無線周波数への変換です。たとえば、 光パラメトリック発振器は、 入力 レーザー 波を 2 つの低周波数の出力波に変換します ( )。
ω
s
,
ω
i
{\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}
パラメトリック共振は、機械システムがパラメトリックに励起され、その共振周波数の 1 つで振動するときに発生します。パラメトリック励起は強制とは異なり、動作はシステム パラメータの時間変化による変更として現れます。この効果は 不安定 現象を示すため、通常の共振とは異なります。
普遍振動子方程式 この方程式は
、すべての2次線形振動系がこの形式に簡約できるため、 普遍振動子方程式
として知られています。 [ 要出典 ]これは 無次元化 によって行われます 。
d
2
q
d
τ
2
+
2
ζ
d
q
d
τ
+
q
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}
強制関数が f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt c τ ) = cos( ωτ ) （ただし ω = ωt c ） の場合、式は次のようになる。
d
2
q
d
τ
2
+
2
ζ
d
q
d
τ
+
q
=
cos
(
ω
τ
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}
この微分方程式の解には、「過渡状態」と「定常状態」の 2 つの部分が含まれます。
過渡的解決 常微分方程式を 解くことに基づく解は、 任意の定数 c 1 および c 2についてである。
q
t
(
τ
)
=
{
e
−
ζ
τ
(
c
1
e
τ
ζ
2
−
1
+
c
2
e
−
τ
ζ
2
−
1
)
ζ
>
1
(overdamping)
e
−
ζ
τ
(
c
1
+
c
2
τ
)
=
e
−
τ
(
c
1
+
c
2
τ
)
ζ
=
1
(critical damping)
e
−
ζ
τ
[
c
1
cos
(
1
−
ζ
2
τ
)
+
c
2
sin
(
1
−
ζ
2
τ
)
]
ζ
<
1
(underdamping)
{\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}}
過渡解析は強制関数に依存しません。
定常解 以下の補助方程式 を解き、その解の実部を求めることで、
「 複素変数 法」を適用します。
d
2
q
d
τ
2
+
2
ζ
d
q
d
τ
+
q
=
cos
(
ω
τ
)
+
i
sin
(
ω
τ
)
=
e
i
ω
τ
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}
解が次の形式であると仮定する。
q
s
(
τ
)
=
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
.
{\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}
0次から2次までの導関数は
q
s
=
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
,
d
q
s
d
τ
=
i
ω
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
,
d
2
q
s
d
τ
2
=
−
ω
2
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
.
{\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}
これらの量を微分方程式に代入すると、
−
ω
2
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
+
2
ζ
i
ω
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
+
A
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
=
(
−
ω
2
A
+
2
ζ
i
ω
A
+
A
)
e
i
(
ω
τ
+
φ
)
=
e
i
ω
τ
.
{\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}
左辺の指数項で割ると、
−
ω
2
A
+
2
ζ
i
ω
A
+
A
=
e
−
i
φ
=
cos
φ
−
i
sin
φ
.
{\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}
実数部と虚数部を等しくすると、2つの独立した方程式が得られる。
A
(
1
−
ω
2
)
=
cos
φ
,
2
ζ
ω
A
=
−
sin
φ
.
{\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}
振幅部分 理想的な調和振動子の周波数応答の ボード線図 両方の式を二乗して足し合わせると
A
2
(
1
−
ω
2
)
2
=
cos
2
φ
(
2
ζ
ω
A
)
2
=
sin
2
φ
}
⇒
A
2
[
(
1
−
ω
2
)
2
+
(
2
ζ
ω
)
2
]
=
1.
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}
したがって、
A
=
A
(
ζ
,
ω
)
=
sgn
(
−
sin
φ
2
ζ
ω
)
1
(
1
−
ω
2
)
2
+
(
2
ζ
ω
)
2
.
{\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}
この結果を、共振 に関する理論セクション 、および RLC 回路 の「振幅部分」と比較してください。この振幅関数は、2 次システムの
周波数応答 の分析と理解において特に重要です。
フェーズ部分 φ を解くには 、両方の式を割って
tan
φ
=
−
2
ζ
ω
1
−
ω
2
=
2
ζ
ω
ω
2
−
1
⟹
φ
≡
φ
(
ζ
,
ω
)
=
arctan
(
2
ζ
ω
ω
2
−
1
)
+
n
π
.
{\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}
この位相関数は、2 次システムの
周波数応答 の分析と理解において特に重要です。
完全なソリューション 振幅と位相の部分を組み合わせると定常解が得られる。
q
s
(
τ
)
=
A
(
ζ
,
ω
)
cos
(
ω
τ
+
φ
(
ζ
,
ω
)
)
=
A
cos
(
ω
τ
+
φ
)
.
{\displaystyle q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).}
元の普遍振動子方程式の解は、 過渡解と定常解の
重ね合わせ（合計）です。
q
(
τ
)
=
q
t
(
τ
)
+
q
s
(
τ
)
.
{\displaystyle q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).}
同等のシステム 工学のさまざまな分野で発生する調和振動子は、その数学モデルが同一であるという意味で同等です (上記の普遍振動子方程式を参照)。以下は、機械工学と電子工学における 4 つの調和振動子システムの類似量を示す表です。表の同じ行にある類似のパラメータに数値的に等しい値が与えられている場合、振動子の動作 (出力波形、共振周波数、減衰係数など) は同じになります。
保存力への応用 単純な調和振動子の問題は物理学で頻繁に発生します。これは、小さな運動の極限において、任意の 保存力 の影響下で平衡状態にある質量が単純な調和振動子として動作するためです。
保存力は 位置エネルギー と関連している力である。調和振動子の位置エネルギー関数は
V
(
x
)
=
1
2
k
x
2
.
{\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
任意のポテンシャルエネルギー関数 が与えられた場合 、 エネルギー最小値 ( ) の周り で に関して テイラー展開 を行い、平衡状態からの小さな摂動の挙動をモデル化することができます。
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
x
{\displaystyle x}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
V
(
x
)
=
V
(
x
0
)
+
V
′
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
+
1
2
V
″
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
2
+
O
(
x
−
x
0
)
3
.
{\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
は最小値なので 、 で評価される最初の導関数は ゼロになるはずで、線形項は除外されます。
V
(
x
0
)
{\displaystyle V(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
(
x
)
=
V
(
x
0
)
+
1
2
V
″
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
2
+
O
(
x
−
x
0
)
3
.
{\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
定数 項 V ( x0 )は任意のため省略することができ、座標変換により単振動子の形 を 取り戻すことができる。
V
(
x
)
≈
1
2
V
″
(
0
)
⋅
x
2
=
1
2
k
x
2
.
{\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
したがって、ゼロでない 2 次導関数を持つ
任意のポテンシャル エネルギー関数が与えられた場合、単純な調和振動子の解を使用して、平衡点の周りの小さな摂動の近似解を得ることができます。
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
例
単振り子 単振り子は、 減衰 がなく振幅が小さい条件下では、ほぼ単振動運動を示します。 減衰がないと仮定すると、長さ の単振り子 (ここでは 局所的な 重力加速度 ) を支配する微分方程式は、 d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0 です。
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.}
l
{\displaystyle l}
g
{\displaystyle g}
振り子の最大変位が小さい場合は、近似を使用して 代わりに次の式を考えること
ができます。
sin
θ
≈
θ
{\displaystyle \sin \theta \approx \theta }
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
θ
=
0.
{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.}
この微分方程式の一般解は、
で あり、 は初期条件に依存する定数です。 および を初期条件として使用する と 、解は で与えられます。
は 振り子が達成する最大角度です（つまり、 は振り子の振幅です）。 1 回の完全な振動の時間である
周期 は、式
τ = 2 π l g = 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},} で与えられ、
が小さい場合の実際の周期の良い近似値となります 。 この近似値では、周期は 振幅 に依存しないことに注意してください 。 上記の式で、 は 角周波数を表します。
θ
(
t
)
=
A
cos
(
g
l
t
+
φ
)
,
{\displaystyle \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),}
A
{\displaystyle A}
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
(
0
)
=
θ
0
{\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}}
θ
˙
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\theta }}(0)=0}
θ
(
t
)
=
θ
0
cos
(
g
l
t
)
,
{\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
τ
{\displaystyle \tau }
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
ω
{\displaystyle \omega }
バネ/質量システム バネ-質量系の平衡状態（A）、圧縮状態（B）、伸張状態（C） バネが質量によって伸ばされたり圧縮されたりすると、バネは復元力を生じます。 フックの法則 は、バネが一定の長さに圧縮または伸ばされたときにバネが及ぼす力の関係を示します。
ここで、 F は力、 k はバネ定数、 x は 平衡位置に対する質量の変位です。方程式のマイナス記号は、バネが及ぼす力が常に変位と反対の方向に作用する (つまり、力は常にゼロ位置に向かって作用する) ことを示し、質量が無限大に飛び出すのを防ぎます。
F
(
t
)
=
−
k
x
(
t
)
,
{\displaystyle F(t)=-kx(t),}
力のバランス法またはエネルギー法のいずれかを使用すると、このシステムの運動が次の微分方程式で与えられることが容易に示されます。
後者は ニュートンの運動の第二法則 です。
F
(
t
)
=
−
k
x
(
t
)
=
m
d
2
d
t
2
x
(
t
)
=
m
a
,
{\displaystyle F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,}
初期変位が A で初期速度がない場合、この式の解は次のように表される。
x
(
t
)
=
A
cos
(
k
m
t
)
.
{\displaystyle x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}
理想的な質量のないバネの場合、 バネの端の質量は です。バネ自体に質量がある場合、その 有効質量 は に含める必要があります 。
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
バネ・減衰システムにおけるエネルギー変化 エネルギーの観点から見ると、すべてのシステムには2種類のエネルギーがあります。 位置エネルギー と 運動エネルギー です。バネが伸びたり縮んだりすると、弾性位置エネルギーが蓄えられ、それが運動エネルギーに変換されます。バネ内の位置エネルギーは、次の式で決まります。
U
=
1
2
k
x
2
.
{\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}
バネが伸びたり縮んだりすると、質量の運動エネルギーがバネの位置エネルギーに変換されます。エネルギー保存則により、基準が平衡位置に定義されていると仮定すると、バネが最大位置エネルギーに達すると、質量の運動エネルギーはゼロになります。バネが解放されると、平衡に戻ろうとし、すべての位置エネルギーが質量の運動エネルギーに変換されます。
用語の定義
参照
注記
^ ファウルズ＆キャシディ（1986年、86ページ） ^ クライシグ（1972年、65ページ） ^ ティプラー（1998年、369、389ページ） ^ ウィリアム・ケース「子供用ブランコを運転する2つの方法」。2011年12月9日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2011年 11月27日 閲覧。 ^ Case, WB (1996). 「立った状態からのスイングのポンピング」. American Journal of Physics . 64 (3): 215–220. Bibcode :1996AmJPh..64..215C. doi :10.1119/1.18209. ^ Roura, P.; Gonzalez, JA (2010). 「角運動量の交換によるスイングポンピングのより現実的な記述に向けて」. European Journal of Physics . 31 (5): 1195–1207. Bibcode :2010EJPh...31.1195R. doi :10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID 122086250.
参考文献 ファウルズ、グラント R.; キャシデイ、ジョージ L. (1986)、 解析力学 (第 5 版)、フォートワース: サンダース カレッジ パブリッシング 、 ISBN 0-03-089725-4 、 LCCN 93085193 Hayek, Sabih I. (2003 年 4 月 15 日)。「機械振動と減衰」。応用物理学 百科 事典。WILEY- VCH Verlag GmbH & Co KGaA。doi :10.1002/3527600434.eap231。ISBN 9783527600434 。 クレイシグ、アーウィン （1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク： Wiley 、 ISBN 0-471-50728-8 Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). 科学者とエンジニアのための物理学。Brooks/ Cole。ISBN 0-534-40842-7 。 ティプラー、ポール (1998)。 科学者とエンジニアのための物理学: 第 1 巻 (第 4 版)。WH フリーマン 。ISBN 1-57259-492-6 。 ワイリー、CR (1975)。 上級工学数学 （第4版）。マグロウヒル 。ISBN 0-07-072180-7 。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、調和振動子 に関連するメディアがあります 。
Wikiquoteに調和振動子 に関する引用があります 。
![{\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}- 1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (オーバーダンピング)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau ) &\zeta =1{\text{ (臨界減衰)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\ゼータ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\ text{ (不足減衰)}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd653786f035970a17b47e3015316babc405831)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f51f64c7377f3d6b2f875fb3d71d65d3cbcbaaf)
