部分波解析

量子力学における部分波解析とは、各波をその構成要素である角運動量成分に分解し、境界条件を用いて散乱問題を解く手法を指す。部分波解析は、少数の角運動量成分のみが支配的な低エネルギー散乱に一般的に有効である。散乱が弱い高エネルギー領域では、ボルン近似と呼ばれる別の手法が用いられる。^{[ 1 ]： 507}

一定の粒子ビームが球対称ポテンシャルによって散乱される${\displaystyle V(r)}$これは短距離なので、長距離では$\displaystyle r\to \infty }$粒子は自由粒子のように振る舞う。入射ビームは平行平面波であると仮定する。${\displaystyle \exp(ikz)}$z軸に沿って移動する 。ビームは粒子と散乱ポテンシャルの相互作用時間に比べて長い時間オンになっているため、定常状態が仮定される。これは、波動関数に対する定常シュレーディンガー方程式が成り立つことを意味する。${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$粒子ビームを表現する問題は解決されるべきである。

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} ).}$

我々は以下の仮説を立てる。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} ),}$

どこ${\displaystyle \Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$は入射平面波であり、$\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$これは、元の波動関数を乱す散乱部分である。

これは漸近形です$\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$これは興味深い。なぜなら、散乱中心（例えば原子核）付近での観測はほとんど不可能であり、粒子の検出は原点から遠く離れた場所で行われるからである。遠距離では、粒子は自由粒子のように振る舞うはずであり、$\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$したがって、自由シュレーディンガー方程式の解となるはずである。球対称ポテンシャルの場合、これらの解は外向き球面波となるはずである。${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$遠距離では、散乱波の漸近形は次のように選択される^{[ 2 ]： 371}

$\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}},}$

どこ${\displaystyle f(\theta ,k)}$これは、いわゆる散乱振幅であり、この場合は仰角のみに依存します。${\displaystyle \theta }$そしてエネルギー。これにより、波動関数全体に対して以下の漸近表現が得られる。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}.}$

球対称ポテンシャルの場合${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$散乱波動関数は球面調和関数で展開でき、方位角対称性によりルジャンドル多項式に簡略化される（${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

標準的な散乱問題では、入射ビームは波数kの平面波の形をとると仮定され、これは球面ベッセル関数とルジャンドル多項式による平面波展開を用いて部分波に分解することができる。

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

ここでは、 z軸がビーム方向と一致する球面座標系を想定している。この波動関数の半径方向部分は球面ベッセル関数のみで構成されており、これは2つの球面ハンケル関数の和として書き直すことができる。 

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right).}$

これは物理的に意味があります。h ℓ ₍ ^{2) は}漸近的に (つまりrが大きい場合) i ^{−( ℓ +1)} e ^ikr /( kr )のように振る舞い、したがって外向き波となります。一方、h _ℓ ⁽¹⁾は漸近的にi ^{ℓ +1} e ^−ikr /( kr )のように振る舞い、したがって内向き波となります。内向き波は散乱の影響を受けませんが、外向き波は部分波S 行列要素S _ℓと呼ばれる係数によって修正されます。

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right),}$

ここで、u _ℓ ( r )/ rは実際の波動関数の動径成分である。散乱位相シフトδ _ℓはS _ℓの位相の半分として定義される。

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}.}$

フラックスが失われない場合、| Sℓ _| = 1となり、位相シフトは実数となる。これは通常の場合であり、ポテンシャルに虚数の吸収成分が含まれていない限りは当てはまる。虚数の吸収成分は、他の反応経路による損失をシミュレートするために現象論的モデルでよく用いられる。

したがって、完全な漸近波動関数は次のようになる。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

ψを差し引く_と、漸近的な外向き波動関数が得られる。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

球面ハンケル関数の漸近挙動を利用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

散乱振幅f ( θ , k )は次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k),}$

したがって^{[ 2 ]： 386}

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta ),}$

したがって、微分断面積は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}.}$

これはあらゆる短距離相互作用に有効です。長距離相互作用（クーロン相互作用など）の場合、 ℓに関する総和は収束しない可能性があります。このような問題に対する一般的なアプローチは、クーロン相互作用を短距離相互作用とは別に扱うことです。クーロン問題は、この問題におけるハンケル関数の役割を果たすクーロン関数を用いて厳密に解くことができるからです。

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