反復限界

多変数微積分学において、反復極限とは、次の形式の 数列の極限または関数の極限である。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\right)}$、

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)}$、

または他の同様の形式。

反復制限は、値が少なくとも 2 つの変数に依存する式に対してのみ定義されます。このような制限を評価するには、2 つの変数の 1 つが特定の数値に近づくにつれて制限プロセスを実行し、値がもう一方の変数のみに依存する式を取得し、もう一方の変数が特定の数値に近づくにつれて制限を実行します。

このセクションでは、2 つの変数における反復限界の定義を紹介します。これらは複数の変数に簡単に一般化できます。

各 に対して、を実数列とする。このとき、反復極限には2つの形式がある。 ${\displaystyle n,m\in \mathbf {N} }$${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$。

例えば、

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$。

それから

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1}$、 そして

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0}$。

とする。すると、反復極限にも2つの形式がある。 ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$。

例えば、 ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}$。

それから

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0}$、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1}$^[1 ]

xおよび/またはyの限界は無限大でもとることができます。つまり、

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$。

各 に対して、を関数の列とします。このとき、反復極限には2つの形式があります。 ${\displaystyle n\in \mathbf {N} }$${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$。

例えば、 ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$。

それから

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1}$、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0}$^[2 ]

xの極限は無限大でもとることができる。つまり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$。

例えば、 ${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}}$。

それから

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0}$、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0}$。

nの極限は離散的に取られますが、 xの極限は連続的に取られることに注意してください。

このセクションでは、2 つの変数における限界のさまざまな定義を紹介します。これらは複数の変数に簡単に一般化できます。

二重シーケンスの場合、極限の別の定義があり、これは一般に二重極限と呼ばれ、次のように表されます。 ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$、

これは、すべての に対して、となるような が存在することを意味する。^[3]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle n,m>N}$${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon }$

次の定理は、二重極限と反復極限の関係を述べています。

定理 1 .が存在し、 L に等しく、任意の大きなmに対して存在し、任意の大きなnに対して存在する場合、およびも存在し、それらはL に等しい、すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^{[4] [5]}

証明。任意の に対してが存在することにより、となる が存在する。 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle n,m>N_{1}}$${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

となる各 が存在する場合、となる が存在するのでとなる。 ${\displaystyle n>N_{0}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle m>N_{2}}$${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

上記の両方のステートメントは、およびに対して真です。上記2つの方程式を組み合わせると、任意の に対して、すべてのに対して、 ${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\epsilon }$、

これは を証明します。 についても同様に、 を証明します。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

例えば、

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}$。

、、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0}$。

この定理は、単一の極限とが収束することを要求する。この条件は省略できない。例えば、 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0}$、

しかし存在しません。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

そもそも存在しない からです。${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

2変数関数の場合、他の2種類の極限があります。1つは通常の極限で、 ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$、

これは、すべての に対して、となるような が存在することを意味する。^[6]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

この限界が存在するためには、点 ( a、b ) に近づくあらゆる可能な経路に沿って、 f ( x、y ) をLにできるだけ近づける必要があります。この定義では、点 ( a、b ) は経路から除外されます。したがって、点 ( a、b ) でのfの値は、たとえ定義されていても、限界には影響しません。

もう1つのタイプは二重極限であり、

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$、

これは、すべての に対して、 が存在し、 となることを意味する。^[7]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

この極限が存在するためには、直線x = aとy = bを除き、点 ( a , b ) に近づくあらゆる可能な経路に沿って、 f ( x , y ) をLにできるだけ近づけることができます。言い換えると、直線x = aとy = bに沿ったfの値は、極限に影響しません。これは、点 ( a , b ) のみが除外される通常の極限とは異なります。この意味で、通常の極限は二重極限よりも強い概念です。

定理2 . が存在してLに等しい場合、 が存在してLに等しい、すなわち、${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$。

これらの制限は両方とも、最初に 1 つの制限を取ってから別の制限を取るというものではありません。これは、最初にx方向で制限処理を行い、次にy方向で制限処理を行う (または逆の順序で行う) 反復制限とは対照的です。

次の定理は、二重極限と反復極限の関係を述べています。

定理 3 .が存在してLに等しく、b の近くの任意のyに対して が存在し、a の近くの任意のxに対して が存在する場合、とも存在し、それらはLに等しい、すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$。

例えば、

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$。

、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}}$${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1}$。

(この例では、は存在しないことに注意してください。) ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$

この定理は、単一の極限とが存在することを要求します。この条件は省略できません。たとえば、 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)}$。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$、

しかし存在しません。${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$

これは、そもそも x が0 に近い場合には存在しないからです。${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$

定理 2 と 3 を組み合わせると、次の定理が得られます。

系3.1 が存在し、 Lに等しく、b の近くの任意のyに対して存在し、a の近くの任意のxに対して存在する場合、とも存在し、それらはLに等しい。つまり、 ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$。

2変数関数の場合、無限遠における二重極限を定義することもできる。${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$、

これは、すべての に対して、となるような が存在し、 となることを意味します。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle M=M(\epsilon )>0}$${\displaystyle x>M}$${\displaystyle y>M}$${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

負の無限大における限界についても同様の定義が与えられます。

次の定理は、無限遠での二重極限と無限遠での反復極限の関係を述べています。

定理 4 .が存在し、 Lに等しく、任意の大きなyに対して存在し、任意の大きなxに対して存在する場合、 およびも存在し、それらはLに等しい、すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$。

例えば、

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}}$。

、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}(x,y)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$。

この定理は、また、単一の極限とが存在することを要求します。この条件は省略できません。例えば、 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}}$。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$、

しかし存在しません。${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

これは、そもそも 固定されたyに対しては存在しないためです。${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

定理1、3、4の逆は成り立たない。つまり、反復極限の存在は、たとえそれらが等しいとしても、二重極限の存在を意味しない。反例としては、

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

点（0, 0）の近くでは、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$。

一方、二重極限は存在しない。これは、経路 ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0)に沿って極限をとることでわかる。 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}}$、

そして、経路 ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0) に沿って進むと、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0}$。

上記の例では、極限を交換しても同じ結果が得られる場合とそうでない場合があることがわかります。極限を交換するための十分な条件は、ムーア-オスグッド定理によって与えられます。^[8]交換可能性の本質は、一様収束に依存します。

次の定理により、シーケンスの 2 つの限界を交換できます。

定理5 .一様（m）で、任意の大きなnに対して、とが存在し、二重極限に等しい、すなわち、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$^[3 ]

証明. 一様収束により、任意の に対して が存在し、すべての に対して となるので、が意味されます。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle m\in \mathbf {N} }$${\displaystyle n,k>N_{1}}$${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

なので、 が成り立ちます。つまり、 は極限 に収束するコーシー列です。さらに、 なので、 が成り立ちます。${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

各点収束により、任意の および に対して、となるような が存在し、となることが分かります。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n>N_{1}}$${\displaystyle N_{2}(\epsilon ,n)\in \mathbf {N} }$${\displaystyle m>N_{2}}$${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定値に対して、が成り立ちます。${\displaystyle n}$${\displaystyle m>N_{2}}$${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

これは次のことを証明します。${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$

また、 を取ると、この極限も に等しいことがわかります。${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

系は無限和の互換性についてです。

系 5.1 .が一様収束 ( mに関して) し、大きなnごとに収束する場合、 となり ます。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$

証明. 定理 5 を に直接適用します。${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$

多変数関数についても同様の結果が得られます。

定理6 .上で一様（yに関して）であり、a の近くの任意のxに対して、とが存在し、二重極限に等しい場合、すなわち、${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$${\displaystyle Y\setminus \{b\}}$${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$^[9 ]

ここでのaとb は無限大になる可能性があります。

証明: 存在一様極限により、任意の に対して が存在し、すべての に対して となり、となる。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta _{1}(\epsilon )>0}$${\displaystyle y\in Y\setminus \{b\}}$${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

なので、 が成り立ちます。コーシー基準により、が存在し、数 に等しくなります。さらに、 なので、 が成り立ちます。${\displaystyle y\to b}$${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle w\to a}$${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle w\to a}$${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

点ごとの極限の存在により、の近くの任意の に対して、となるような が存在し、 となることが分かります。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta _{2}(\epsilon ,x)>0}$${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定値に対して、が成り立ちます。${\displaystyle x}$${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \epsilon }$

これは次のことを証明します。${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x)}$

また、 を取ると、この極限も に等しいことがわかります。${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

この定理は の存在を意味しないことに注意してください。反例は(0,0) の近くです。^[10]${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$

ムーア・オスグッド定理の重要なバリエーションは、関数のシーケンスに特有のものです。

定理 7 .上で一様 ( xに関して)であり、任意の大きなnに対して、と の両方が存在し、 は等しい、すなわち、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$${\displaystyle X\setminus \{a\}}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$^[11 ]

ここでのa は無限大になる可能性があります。

証明. 一様収束により、任意の に対して が存在し、すべての に対して となるので、が意味されます。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$${\displaystyle x\in D\setminus \{a\}}$${\displaystyle n,m>N}$${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

なので、 が成り立ちます。つまり、 は極限 に収束するコーシー列です。さらに、 なので、 が成り立ちます。${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

点ごとの極限の存在により、任意の および に対して、となるような が存在し、となることが分かります。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \delta (\epsilon ,n)>0}$${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定値に対して、が成り立ちます。${\displaystyle n}$${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

これは次のことを証明します。${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

系として、一様収束の連続性定理が次のように成り立ちます。

系 7.1 . 、および が 上で一様 ( xに関して)連続であれば、も で連続です。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle x=a\in X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=a}$

言い換えれば、連続関数の一様極限は連続です。

証明. 定理 7 により、.${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$

もう一つの帰結は、極限と無限和の互換性についてです。

系7.2 .が 上で一様収束（xに関して）し、任意の大きなnに対して が存在する場合、 となります。${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$${\displaystyle X\setminus \{a\}}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$

証明. 定理 7 を近傍に直接適用します。${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$${\displaystyle x=a}$

無限の 要素を持つ行列を考える

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$。

すべてのエントリの合計を求めるとします。最初に列ごとに合計すると、最初の列は 1 になり、他の列はすべて 0 になります。したがって、すべての列の合計は 1 になります。ただし、最初に行ごとに合計すると、すべての行が 0 になります。したがって、すべての行の合計は 0 になります。

このパラドックスの説明は、無限大への垂直合計と無限大への水平合計は、交換できない 2 つの極限プロセスであるということです。 をエントリ ( n、m )までのエントリの合計とします。すると、 が成り立ちますが、 となります。この場合、二重極限は存在しないため、この問題は明確に定義されていません。 ${\displaystyle S_{n,m}}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$

一様収束の積分定理により、 が上で一様収束すると、 nにおける極限と有界区間上の積分は交換可能になります。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x}$。

しかし、このような特性は、無限区間上の不定積分では成り立たない可能性がある。この場合、ムーア・オスグッドの定理に頼ることができる。 ${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$

例として 考えてみましょう。${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

まず、積分関数を について展開します。(ここでx =0 は極限の場合です。) ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

微積分により、およびに対してが成り立つことが証明できます。ワイエルシュトラスの M テストにより、は に一様収束します。 ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

次に、一様収束の積分定理により、. ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x}$

さらに、この極限を無限和と交換するには、ムーア・オスグッドの定理により、無限級数が一様収束することが要求されます。 ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$

に注意してください。また、ワイエルシュトラスのM検定により、は に一様に収束します。 ${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

すると、ムーア・オスグッドの定理により、 となります。(ここではリーマンゼータ関数となります。) ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$

• シーケンスの制限
• 関数の極限
• 一様収束
• 制限操作の交換