代替ストレス対策

コーシー応力（または真応力）は、変形した形状の面積要素に作用する力の尺度です。このテンソルは対称であり、次のように定義されます。

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

または

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

どこ${\displaystyle \mathbf {t} }$トラクションと${\displaystyle \mathbf {n} }$これは、牽引力が作用する表面に対する法線です。

数量、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

これはキルヒホッフ応力テンソルと呼ばれ、${\displaystyle J}$決定要因${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$これは、金属塑性（塑性変形中に体積変化がない場合）における数値アルゴリズムで広く用いられています。重み付きコーシー応力テンソルとも呼ばれます。

ビオ応力は、右伸張テンソルとエネルギー的に共役であるため有用である。${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ビオ応力はテンソルの対称部分として定義される。${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$は、変形勾配の極分解から得られる回転テンソルである。したがって、ビオ応力テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

ビオ応力はヤウマン応力とも呼ばれる。

数量${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$物理的な解釈はありません。しかし、非対称化されたビオ応力には、

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

ナンソンの公式は、基準形状と変形形状における面積の関係を示している。

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

今、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

したがって、

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

ご了承ください${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ そして${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$（一般的に）対称ではないのは、${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$（一般的に）対称ではない。

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

そして

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

または（対称性を利用して）${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$)

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

あるいは、次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

2番目のPKストレスに関しては、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

コーシー応力（したがってキルヒホッフ応力）は対称であるため、第2のキルヒホッフ応力も対称である。

あるいは、次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

明らかに、プッシュフォワード操作とプルバック操作の定義から、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

したがって、${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$引き戻し${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$による${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$前進は${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$。

鍵：$${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$