コーシー弾性材料

物理学において、コーシー弾性材料とは、各点における応力が任意の基準構成に対する現在の変形状態によってのみ決定される材料である。 ^[1]コーシー弾性材料は単純弾性材料とも呼ばれる。

この定義から、コーシー弾性材料の応力は、変形の経路や変形履歴、変形に至るまでの時間、変形状態に到達する速度には依存しないことがわかります。また、この定義は、構成方程式が空間的に局所的であることも意味します。つまり、応力は、材料の残りの部分の変形や動きに関係なく、問題となっている点のごくわずかな近傍の変形状態によってのみ影響を受けます。また、体積力 (重力など) や慣性力は材料の特性に影響を与えないことも意味します。最後に、コーシー弾性材料は、材料の客観性の要件を満たす必要があります。

コーシー弾性材料は数学的な抽象概念であり、この定義に完全に適合する実際の材料はありません。ただし、鋼鉄、プラスチック、木材、コンクリートなど、実用的な関心のある多くの弾性材料は、応力解析の目的でコーシー弾性であると想定されることがよくあります。

正式には、コーシー応力テンソルが ひずみテンソル（変形勾配）のみの関数である場合、その材料はコーシー弾性であると言われます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

この定義では、温度の影響は無視でき、物体は均質であると仮定しています。これは、コーシー弾性材料の 構成方程式です。

関数は参照構成の選択に依存することに注意してください。通常、参照構成は緩和された (ゼロ応力の) 構成として取られますが、必ずしもそうである必要はありません。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

物質のフレーム無差別性は、観測者の位置が変わっても構成関係が変化しないことを要求する。したがって、別の任意の観測者の構成方程式はと書くことができる。コーシー応力テンソルと変形勾配が客観的な量であることを知っているので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$ ${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

ここで、 は適切な直交テンソルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

上記は、材料の応答が観察者から独立していることを保証するために構成法則が遵守しなければならない条件です。同様の条件は、 変形勾配を第 1 または第 2 のPiola-Kirchhoff 応力テンソルに関連付ける構成法則についても導くことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

等方性材料の場合、コーシー応力テンソルは 左コーシー・グリーンテンソルの関数として表すことができます。構成方程式は次のように記述できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

物質的フレーム無差別の原理を保証する 制約を見つけるために、次のように書くことができます。${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

上記の条件を遵守する構成方程式は等方性であると言われています。

コーシー弾性材料の応力は変形の状態にのみ依存しますが、応力によって行われる仕事は変形の経路に依存する場合があります。したがって、コーシー弾性材料は一般に非保存的構造を持ち、応力は必ずしもスカラー「弾性ポテンシャル」関数から導き出されるわけではありません。この意味で保存的である材料は、超弾性または「グリーン弾性」と呼ばれます。