連続体力学

連続体力学は、離散的な粒子ではなく連続媒体（連続体とも呼ばれる）としてモデル化された材料の変形と、材料を介した力の伝達を扱う力学の分野です。

連続体力学は、剛体ではなく変形可能な物体を扱います。連続体モデルでは、物体の物質が占める空間を完全に満たしていると仮定します。物質が原子でできているという事実を無視すると、原子間の距離よりもはるかに大きな長さのスケールで物質を十分に正確に記述できます。連続媒体の概念により、質量保存、運動量保存、エネルギー保存などの物理法則に従って物質の挙動を記述する微分方程式を使用して、バルク物質を直感的に分析できます。特定の物質に関する情報は、構成関係で表現されます。

連続体力学は、固体と流体の物理的特性を、それらが観測される特定の座標系とは独立して扱います。これらの特性はテンソルによって表されます。テンソルは、座標系に依存しないという顕著な特性を持つ数学的オブジェクトです。これにより、数学的に便利な連続関数に従って、連続体の任意の点における物理的特性を定義できます。弾性、塑性、流体力学の理論は、連続体力学の概念に基づいています。

連続体の概念は、物質の大規模な力と変形を研究するための数学的枠組みの基礎となっています。物質は、空間または微細な亀裂や結晶欠陥によって分離された個別の原子と分子で構成されていますが、物理現象は、空間のある領域全体に分布する物質を考慮することでモデル化できることがよくあります。連続体とは、特定のポイントで定義された局所的な物質特性を持つ無限小要素に連続的に細分化できる物体です。したがって、バルク材料の特性は連続関数で記述でき、その変化は微積分という数学を使用して研究できます。

連続体力学の研究では、連続性の仮定とは別に、他の 2 つの独立した仮定がよく使用されます。これらは、均質性(すべての場所で同一の特性があるという仮定) と等方性(方向的に不変のベクトル特性があるという仮定) です。^[1]これらの補助的な仮定が全体的に適用できない場合は、分析を簡素化するために、材料をそれらが適用可能なセクションに分離することができます。より複雑なケースでは、これらの仮定の 1 つまたは両方を省略できます。これらの場合、材料特性の変化を記述する 微分方程式を解くために、計算手法がよく使用されます。

連続体力学のもう一つの分野は、奇妙な双曲線状の応力-ひずみ関係を示すエラストマーフォームです。エラストマーは真の連続体ですが、空隙が均一に分布しているため、珍しい特性を持っています。^[2]

連続体力学モデルは、モデル化される物質体に3 次元ユークリッド空間の領域を割り当てることから始まります。この領域内の点は、粒子または物質点と呼ばれます。物体の異なる構成または状態は、ユークリッド空間の異なる領域に対応します。ある時点での物体の構成に対応する領域はとラベル付けされます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

特定の構成における物体内の特定の粒子は位置ベクトルによって特徴付けられる。

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

ここで、は問題のために選択されたある基準フレームにおける座標ベクトルである（図1を参照）。このベクトルは、例えば初期時刻における構成など、 ある基準構成における粒子の位置の関数として表すことができる。${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

この関数は、モデルが物理的に意味を成すように、さまざまなプロパティを持つ必要があります。次のようになります。 ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• 時間的に連続的であるため、身体は現実的に変化し、
• 常に全体的に反転可能であり、物体が交差できない。
• 鏡映反射を生成する変換は自然界では不可能であるため、方向が保存されます。

モデルの数学的定式化では、運動を記述する微分方程式を定式化できるように、 は2回連続微分可能であると仮定されます。${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

固体は、せん断強度を持つ変形可能な物体です。固体はせん断力（作用する物質の表面に平行な力）を支えることができます。一方、流体はせん断力に耐えられません。

ニュートンとオイラーの古典力学によれば、物体の運動は外部から加えられた力の作用によって生み出され、その力は表面力と体積力の2種類あると想定される。^[3]したがって、物体または物体の一部に加えられる 力の合計は次のように表される。${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

表面力または接触力は、単位面積あたりの力として表され、他の物体との機械的接触の結果として物体の境界面に作用するか、または表面の両側の物体の部分間の機械的相互作用の結果として物体の一部を境界とする仮想の内部表面に作用する可能性がある (オイラー-コーシーの応力原理)。物体が外部接触力の作用を受けると、ニュートンの第 3 運動法則 (直線運動量と角運動量の保存) に従って、内部接触力が物体内部の点から点へと伝達され、その作用が釣り合うようになる (連続物体の場合、これらの法則はオイラーの運動方程式と呼ばれる)。内部接触力は、構成方程式を通じて物体の変形に関連付けられる。内部接触力は、物体の材料構成とは無関係に、物体の運動との関係によって数学的に記述できる。 ^[要出典]

物体の体積全体にわたる内部接触力の分布は連続的であると仮定される。したがって、特定の時間における物体の特定の構成におけるこの分布を表す接触力密度またはコーシー牽引力場^[4] が存在する。これは、特定の物質点の位置だけでなく、法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な向きにも依存するため、ベクトル場ではない。[ ^{5] [ページが必要]}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

物体の一部を囲む、与えられた内部表面積の法線ベクトルを持つ任意の微分面積は、物体の両側の両部分間の接触から生じる接触力を受け、それは次のように表される。 ${\displaystyle dS\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

ここで、 は表面牽引力^[6]であり、応力ベクトル[ ^7]、牽引力^{[8] [ページが必要]、}または牽引力ベクトル^[9]とも呼ばれます。応力ベクトルは座標系に依存しないベクトルです（オイラー-コーシーの応力原理を参照）。 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

特定の内部表面上の総接触力は、すべての差動表面上の接触力の合計（表面積分）として表されます。 ${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

連続体力学では、重力を含むすべての外部の影響がない場合に、物体をまとめ、その形状を維持するために必要な原子間力（イオン力、金属力、ファンデルワールス力）のみが存在する場合、物体は応力がないとみなされます。^{[9] [10]}物体を特定の構成に製造する際に発生する応力も、物体の応力を考慮する際には除外されます。したがって、連続体力学で考慮される応力は、物体の変形によって生じる応力のみです。応力の相対的な変化のみが考慮され、応力の絶対値は考慮されません。

物体力は、物体の外部から発生する力^[11]であり、物体の体積 (または質量) に作用します。物体力が外部から発生すると言うことは、物体の異なる部分間の相互作用 (内部力) が接触力のみによって現れることを意味します。 ^{[6]これらの力は、}重力場(重力) や電磁場 (電磁力)など の力場における物体の存在から生じるか、物体が運動しているときの慣性力から生じます。連続体の質量は連続的に分布していると仮定されるため、質量から発生する力も連続的に分布します。したがって、物体力はベクトル場によって指定され、ベクトル場は物体の体積全体にわたって連続していると仮定され、 ^[12]つまり物体内のすべての点に作用します。物体力は、フレームに依存しないベクトル場である物体力密度 (単位質量あたり) によって表されます ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

重力の場合、力の強さは物質の質量密度に依存するか、またはそれに比例し、単位質量あたりの力 ( ) または単位体積あたりの力 ( ) で指定されます。これら 2 つの仕様は、物質の密度を介して式 によって関連付けられます。同様に、電磁力の強さは電磁場の 強度 (電荷) に依存します。${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$${\displaystyle b_{i}\,\!}$${\displaystyle p_{i}\,\!}$${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

連続体に作用する全体積力は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

物体に作用する体力と接触力は、与えられた点に対する対応する力のモーメント（トルク）を生じます。したがって、原点を中心に 適用される全トルクは次のように表されます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

材料の機械的挙動の解析では通常考慮されない特定の状況では、他の 2 種類の力を考慮する必要があります。これらは、カップル応力^{[注 1] [注 2]} (表面カップル、^[11]接触トルク) ^[12]とボディモーメントです。カップル応力は、表面に加えられる単位面積あたりのモーメントです。ボディモーメント、またはボディカップルは、ボディの体積に加えられる単位体積または単位質量あたりのモーメントです。どちらも、電界の作用下にある分極誘電体固体、分子構造が考慮される材料 (例:骨)、外部磁場の作用下にある固体、および金属の転位理論の応力解析で重要です。^{[7] [8] [ページが必要] [11]}

力のみによって生じるモーメントに加えて、物体の偶力と偶力応力を示す材料は極性材料と呼ばれます。^{[8] [ページが必要] [12]} 非極性材料は、力のモーメントのみを持つ材料です。連続体力学の古典的な分野では、応力理論の発展は非極性材料に基づいています。

したがって、物体に作用するすべての力とトルクの合計（座標系の原点に対する）は次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

連続体の構成が変化すると、変位が発生します。物体の変位には、剛体変位と変形の2 つの要素があります。剛体変位は、物体の形状やサイズを変更せずに、物体を同時に平行移動および回転させることによって生じます。変形とは、物体の形状やサイズが、初期構成または変形前の構成から現在の構成または変形後の構成に変化することを意味します(図 2)。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

連続体の運動は、変位の連続した時間シーケンスです。したがって、物質体は異なる時間に異なる構成を占め、粒子は経路線を描く空間内の一連の点を占めます。

連続体の運動または変形中には、次の意味で連続性が存在します。

• ある瞬間に閉曲線を形成する質点は、その後のどの時点においても常に閉曲線を形成します。
• ある瞬間に閉じた面を形成する物質点は、その後のどの時点においても常に閉じた面を形成し、閉じた面内の物質は常にその内部に留まります。

後続のすべての構成の基準となる基準構成または初期条件を特定すると便利です。基準構成は、物体が常に占める構成である必要はありません。多くの場合、 での構成が基準構成と見なされます。基準構成を基準とした粒子の位置ベクトルの成分は、物質座標または基準座標と呼ばれます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

固体の動きや変形、あるいは流体の流れを分析する場合、時間経過に伴う構成の順序や変化を記述する必要があります。動きの記述の 1 つは、物質座標または参照座標に基づいて行われ、物質記述またはラグランジュ記述と呼ばれます。

ラグランジアン記述では、粒子の位置と物理的特性は、物質座標または参照座標と時間によって記述されます。この場合、参照構成は における構成です${\displaystyle t=0}$。参照フレーム内に立つ観測者は、時間の経過とともに物質が空間内を移動するにつれて、位置と物理的特性が変化するのを観察します。得られる結果は、初期時間と参照構成の選択とは無関係です。この記述は通常、固体力学で使用されます。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

ラグランジアン記述では、連続体の運動は写像関数（図2）によって表現される。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

これは、初期構成を現在の構成にマッピングしたもので、それらの間の幾何学的な対応関係を示します。つまり、変形されていない構成または基準構成の位置ベクトルを持つ粒子が、時刻 における現在の構成または変形された構成で占める位置ベクトルを示します。これらの成分は空間座標と呼ばれます。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{i}}$

物質の特徴を記述または特徴付ける物理的および運動学的特性、すなわち熱力学的特性および流速は、位置と時間の連続関数として表現されます。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

連続体のあらゆる特性の物質微分は、スカラー、ベクトル、またはテンソルであり、運動する連続体の特定の粒子群におけるその特性の時間変化率です。物質微分は、実質微分、共動微分、または対流微分とも呼ばれます。これは、その粒子群とともに移動する観測者によって測定された特性の変化率と考えることができます。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

ラグランジアン記述では、の物質微分は単に時間に関する偏微分であり、位置ベクトルは時間とともに変化しないので一定に保たれる。したがって、 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

瞬間位置は粒子の特性であり、その物質微分は粒子の瞬間流速である。したがって、連続体の流速場は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

同様に加速度場は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

ラグランジアン記述における連続性は、基準構成から物質点の現在の構成へのマッピングの空間的および時間的連続性によって表現されます。連続体を特徴付けるすべての物理量は、このように記述されます。この意味で、関数と は単一値で連続的であり、空間と時間に関して、必要な順序、通常は 2 番目または 3 番目の順序まで連続微分を持ちます。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

連続性により、 の逆関数により、現在 にある粒子が初期構成または参照構成 でどこに位置していたかを遡ることができます。 この場合、運動の記述は空間座標で行われ、その場合 は空間記述またはオイラー記述と呼ばれ、つまり現在の構成が参照構成として扱われます。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

ダランベールによって導入されたオイラーの記述は、現在の構成に焦点を当て、個々の粒子が空間と時間を移動するのに注目するのではなく、時間の経過に伴って空間の固定点で何が起こっているかに注目します。このアプローチは、基準時間における流体の形状ではなく、変化が起こっている速度が最も関心の高い運動学的特性である流体の流れの研究に便利に適用されます。^[14]${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

数学的には、オイラーの記述を用いた連続体の運動は写像関数によって表現される。

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

これは、現在の構成で現在位置を占めている粒子を、初期構成での元の位置まで追跡します。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

この逆関数が存在するための必要かつ十分な条件は、ヤコビアンと呼ばれる ヤコビ行列の行列式がゼロと異なることである。したがって、

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

オイラー記述では、物理的性質は次のように表現される。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

ここで、ラグランジアン記述におけるの関数形式は、オイラー記述における の形式と同じではありません。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

連鎖律を用いた の物質微分は、${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

この式の右辺の最初の項は、位置で発生する特性の局所的な変化率を示します。右辺の 2 番目の項は対流の変化率であり、空間内での位置 (運動) の変化による粒子の寄与を表します。 ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

オイラー記述における連続性は、流速場の空間的および時間的連続性と連続微分可能性によって表現されます。すべての物理量は、現在の構成で、各瞬間にベクトル位置の関数としてこのように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

変形されていない構成と変形された構成の粒子の位置を結ぶベクトルは、ラグランジュ記述では変位ベクトル、またはオイラー記述では と呼ばれます。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

変位場は物体内のすべての粒子のすべての変位ベクトルのベクトル場であり、変形した構成と変形していない構成を関連付けます。変位場の観点から連続体の変形や運動の解析を行うと便利です。一般に、変位場は物質座標で次のように表現されます。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

あるいは空間座標で表すと

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

ここで、 はそれぞれ単位ベクトルとを持つ物質座標系と空間座標系の間の方向余弦である。したがって、 ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

そして、との関係は次のように表される。 ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

それを知って

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

それから

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

変形されていない構成と変形された構成の座標系を重ね合わせることが一般的であり、その結果、 となり、方向余弦はクロネッカーデルタ、すなわち ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

あるいは空間座標で表すと

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

連続体力学は、特定の長さと時間スケールで連続していると近似できる物質の挙動を扱います。このような物質の力学を支配する方程式には、質量、運動量、エネルギーのバランス法則が含まれます。運動関係と構成方程式は、支配方程式のシステムを完成させるために必要です。構成関係の形式に対する物理的な制限は、すべての条件下で熱力学の第二法則が満たされることを要求することによって適用できます。固体の連続体力学では、エントロピー不等式のクラウジウス-デュエム形式が満たされている場合、熱力学の第二法則が満たされます。

バランスの法則は、体積内の量（質量、運動量、エネルギー）の変化率が、次の 3 つの原因から生じるという考えを表現しています。

1. 物理量自体は体積を囲む表面を通って流れる。
2. 体積の表面上に物理量の源がある、または、
3. 体積の中に物理量の源が存在します。

を体（ユークリッド空間の開部分集合）とし、を その面（の境界）とします。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

物体内の物質点の動きを地図で表すと

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

ここで、は初期構成における点の位置であり、は変形構成における同じ点の位置です。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

変形勾配は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

が物体を流れる物理量であるとします。が物体の表面上のソースであり、 が物体の内部のソースであるとします。が表面に対して外向きの単位法線であるとします。が流れる物理量を運ぶ物理粒子の流速であるとします。また、境界面が移動する速度を（方向）とします。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

そして、バランスの法則は一般的な形で表現できる。

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

関数、、 は、バランス方程式が扱う物理量に応じて、スカラー値、ベクトル値、またはテンソル値になります。物体に内部境界がある場合は、バランス法則でジャンプ不連続も指定する必要があります。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

オイラーの観点から見ると、固体の質量、運動量、エネルギーのバランス法則は次のように表すことができます（質量と角運動量の方程式のソース項がゼロであると仮定）。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記の式で、は質量密度（電流）、 は の物質時間微分、は粒子速度、は の物質時間微分、はコーシー応力テンソル、は体積力密度、は単位質量あたりの内部エネルギー、は の物質時間微分、は熱流束ベクトル、 は単位質量あたりのエネルギー源です。 使用される演算子は以下のように定義されます。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {e}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

基準構成（ラグランジアンの観点）に関して、バランス法則は次のように記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記において、は第1ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルであり、は 基準構成における質量密度である。第1ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルは、コーシー応力テンソルと次の式で関係している。 ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

あるいは、ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルの転置である 公称応力テンソルを次のように定義することもできる。${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

するとバランスの法則は

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記の式の演算子は次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

ここで、はベクトル場、は2次テンソル場、は現在の構成における正規直交基底の成分である。また、 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

ここで、はベクトル場、は2次テンソル場、は参照構成における正規直交基底の成分です。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

内積は次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

クラウジウス-デュエム不等式は、弾塑性材料の熱力学の第二法則を表現するために使用できます。この不等式は、特にエネルギーの散逸が関与する場合の自然プロセスの不可逆性に関する記述です。

前のセクションのバランス法則と同様に、量のフラックス、量のソース、および単位質量あたりの量の内部密度があると仮定します。この場合の対象となる量はエントロピーです。したがって、対象領域にはエントロピー フラックス、エントロピー ソース、内部質量密度、および内部の特定のエントロピー (つまり、単位質量あたりのエントロピー)があると仮定します。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \eta }$

をそのような領域とし、 をその境界とします。すると、熱力学の第二法則によれば、 この領域における の増加率は、 に供給される量（フラックスとして、または内部ソースから）と、領域に出入りする物質の流入による 内部エントロピー密度の変化の合計以上になります。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \rho \eta }$

が流速で動き、内部の粒子が速度を持つものとします。が表面に対する単位外向きの法線であるとします。が領域内の物質の密度、が表面でのエントロピーフラックス、 が単位質量あたりのエントロピー源であるとします。この場合、エントロピー不等式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

スカラーエントロピーフラックスは、表面でのベクトルフラックスと次の関係で結びつく。漸進的等温条件を仮定すると、 ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

ここで、は熱流束ベクトル、は単位質量あたりのエネルギー源、 は時刻における質点の絶対温度です。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$

すると、クラウジウス・デュエムの不等式が積分形式で得られます。

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

エントロピー不等式は微分形式で次のように表せることが分かる。

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

コーシー応力と内部エネルギーの観点から、クラウジウス・デュエム不等式は次のように表される。

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

連続体仮定の妥当性は、明確な周期性が特定されるか、または微細構造の統計的均質性とエルゴード性が存在する理論的分析によって検証できる。より具体的には、連続体仮説は、ヒル・マンデル条件に基づく代表的基本体積とスケールの分離の概念にかかっている。この条件は、構成方程式（線形および非線形弾性/非弾性または結合フィールド）に関する実験者と理論家の視点を結び付けるとともに、微細構造の空間的および統計的平均化の方法を提供する。スケールの分離が成り立たない場合、または代表体積要素（RVE）のサイズよりも細かい解像度の連続体を確立したい場合は、統計体積要素（SVE）が使用され、ランダムな連続体フィールドが得られる。後者は、確率有限要素（SFE）のマイクロメカニクスの基礎を提供する。SVEとRVEのレベルは、連続体力学と統計力学を結び付ける。実験的には、RVE は構成応答が空間的に均一な場合にのみ評価できます。

• 連続体力学
  • 固体力学
  • 流体力学
• エンジニアリング
  • 土木工学
  • 機械工学
  • 航空宇宙工学
  • 生体医工学
  • 化学工学

• Atanackovic, Teodor M.; Guran, Ardeshir (2000 年 6 月 16 日)。科学者とエンジニアのための弾性理論。Dover 物理学の本。Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-8176-4072-9。
• チャドウィック、ピーター（1999年1月1日）。連続体力学：簡潔な理論と問題。クーリエコーポレーション。ISBN 978-0-486-40180-5。
• Dienes, JK; Solem, JC (1999). 「静水圧応力を受けた等方性エラストマーフォームの非線形挙動」. Acta Mechanica . 138 (3–4): 155–162. doi :10.1007/BF01291841. S2CID  120320672.

• ファング、YC (1977)。連続体力学入門（第2版）。Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-318311-5。
• イルゲンス、フリチョフ（2008年1月10日）。連続力学。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-3-540-74298-2。
• Liu, I-Shih ( 2002年 5 月 28 日)。連続体力学。Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-43019-3。
• ルブリナー、ジェイコブ (2008)。可塑性理論(PDF) (改訂版)。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-46290-52010年3月31日時点のオリジナル（PDF）よりアーカイブ。

• Ostoja-Starzewski, M. (2008). 「7-10」。材料力学における微細構造のランダム性とスケーリング。CRC Press。ISBN 978-1-58488-417-0。

• スペンサー、AJM (1980)。連続体力学。ロングマングループリミテッド (ロンドン)。p. 83。ISBN 978-0-582-44282-5。

• ロバーツ、AJ (1994)。連続体力学への1次元入門。ワールドサイエンティフィック。

• スミス、ドナルド R. (1993)。「2」。連続体力学入門 - トゥルーズデルとノルによる。固体力学とその応用。第 22 巻。Springer Science & Business Media。ISBN 978-90-481-4314-6。
• ウー、ハンチン（2004 年 12 月 20 日）。連続力学と可塑性。テイラーとフランシス。ISBN 978-1-58488-363-0。

• Batra, RC (2006).連続体力学の要素. バージニア州レストン: AIAA.

• バートラム、アルブレヒト (2012)。大変形の弾性と塑性 - 入門(第 3 版)。Springer。doi :10.1007 / 978-3-642-24615-9。ISBN 978-3-642-24615-9. S2CID  116496103。

• Chandramouli, PN (2014). 連続体力学. Yes Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN 9789380381398. 2018年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年3月24日閲覧。

• エリンゲン、A. ジェマル (1980)。Continua の力学(第 2 版)。クリーガーパブ社ISBN 978-0-88275-663-9。

• 陳 有平、ジェームズ・D・リー、アジム・エスカンダリアン（2009）。固体力学におけるメッシュレス法（初版）。シュプリンガー・ニューヨーク。ISBN 978-1-4419-2148-2。

• ディル、エリス・ハロルド（2006）。連続体力学：弾性、塑性、粘弾性。ドイツ：CRC Press。ISBN 978-0-8493-9779-0。

• ディミトリエンコ、ユーリ（2011）。非線形連続体力学と大規模非弾性変形。ドイツ：シュプリンガー。ISBN 978-94-007-0033-8。

• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004)。連続体物理モデリング法。ドイツ: Springer。ISBN 978-3-540-20619-4。

• Gurtin, ME (1981)。連続体力学入門。ニューヨーク：Academic Press。

• Lai, W. Michael; David Rubin; Erhard Krempl (1996)。連続体力学入門（第3版）。Elsevier, Inc. ISBN 978-0-7506-2894-52009年2月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。

• ルバルダ、ヴラド A. (2001)。弾塑性理論。 CRCプレス。ISBN 978-0-8493-1138-3。

• マルバーン、ローレンス E. (1969)。連続媒体の力学入門。ニュージャージー州: Prentice-Hall, Inc.

• メイス、ジョージ E. (1970)。連続体力学。マグロウヒル プロフェッショナル。ISBN 978-0-07-040663-6。

• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999)。エンジニアのための連続体力学（第2版）。CRC Press。ISBN 978-0-8493-1855-9。

• Maugin, GA (1999).非線形不可逆挙動の熱力学: 入門. シンガポール: World Scientific.
• Nemat-Nasser, Sia (2006)。『塑性：不均質非弾性材料の有限変形に関する論文』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-83979-2。

• Ostoja-Starzewski, Martin (2008)。『材料力学における微細構造のランダム性とスケーリング』。フロリダ州ボカラトン：Chapman & Hall/CRC Press。ISBN 978-1-58488-417-0。

• リース、デイビッド (2006)。基礎工学塑性 - 工学および製造アプリケーション入門。バターワース・ハイネマン。ISBN 978-0-7506-8025-7。

• Wright, TW (2002). 『断熱せん断帯の物理と数学』ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局。

• 「古典的連続体力学における客観性：運動、オイラー関数とラグランジアン関数、変形勾配、リー微分、速度加法式、コリオリ、客観性」、ジル・ルボルニュ著、2021 年 4 月 7 日：「第 4 部 速度加法式と客観性」^{[永久リンク切れ‍ ]}