非第一順序化可能性

形式論理において、非第一順序化可能性とは、自然言語の文を第一階論理の式で適切に表現できないことです。具体的には、文がモデル内で成り立つ場合にのみそのモデル内で真となる第一階論理の式が存在しない場合に、その文は非第一順序化可能です。非第一順序化可能な文は、第一階論理が自然言語の意味のニュアンスを表現するのに十分ではないことの証拠として提示されることがあります。

この用語は、ジョージ・ブーロスが論文「存在するということは、変数の値である（あるいは、いくつかの変数のいくつかの値である）ということである」の中で作った造語です。^[1] クワインは、そのような文は、明確な「第2階オブジェクト」（プロパティ、セットなど）を仮定することなく、第1階の量化子が使用するのと同じドメインでの複数の量化として解釈できる第2階の記号化を必要とすると主張しました。

標準的な例としては、Geach – Kaplan の文、「批評家の中には、お互いだけを尊敬する者もいる」があります。Axyが「 x はy を尊敬する」という意味であると理解され、論議対象がすべての批評家の集合である場合、この文を第 2 階述語論理に適切に翻訳すると、次のようになります。 言葉で言えば、これは、次の特性を持つ批評家の集合が存在することを述べています。集合はすべての批評家の適切なサブクラスを形成します。集合には、メンバーである批評家を尊敬するメンバーが存在します (したがって、空ではありません)。また、メンバーのいずれかが誰かを尊敬する場合、後者も必然的にメンバーになります。 $${\displaystyle \exists X{\big (}(\exists x\neg Xx)\land \exists x,y(Xx\land Xy\land Axy)\land \forall x\,\forall y(Xx\land Axy\rightarrow Xy){\big )}}$$

この式に一階同値がないことは、これを算数の言語で式に置き換えることでわかります。そのためには、式をAxyに置き換えます。これは、2 つの項が何らかの形で互いに後続していることを表します。結果として得られる命題は、 次の 3 つの特性を持つ集合X が存在することを述べています。 ${\textstyle (y=x+1\lor x=y+1)}$$${\displaystyle \exists X{\big (}(\exists x\neg Xx)\land \exists x,y(Xx\land Xy\land (y=x+1\lor x=y+1))\land \forall x\,\forall y(Xx\land (y=x+1\lor x=y+1)\rightarrow Xy){\big )}}$$

• Xに属さない数字が存在します。つまり、X にはすべての数字が含まれていません。
• 集合Xには存在があり、ここでは実際にその中に少なくとも 2 つの数値が存在することを意味します。
• 数x がXに属し、y がx + 1またはx - 1のいずれかである場合、yもXに属します。

一次ペアノ算術などの算術の形式理論のモデルを思い出してください。そのモデルが要素としてよく知られている自然数 (つまり、0、1、2、... ) のみを含む場合、そのモデルは標準と呼ばれます。それ以外の場合、そのモデルは非標準と呼ばれます。上記の式は、非標準モデルでのみ当てはまります。標準モデルでは、X はすべての数の適切なサブセットであり、そのサブセットにはすべての利用可能な数 ( 0、1、2、... )も含まれている必要があるため、失敗します。一方、すべての非標準モデルには、式を満たす サブセットXが存在します。

ここで、上記の式の 1 階表現であるEがあると仮定します。 がペアノ公理に追加されると、拡張公理の非標準モデルは存在しないことになります。ただし、非標準モデルの存在に関する通常の議論は依然として有効であり、結局は非標準モデルが存在することが証明されます。これは矛盾であるため、 1 階論理には そのような式E は存在しないと結論付けることができます。${\displaystyle \neg E}$

全てのモデルに等しく、有限領域を持つモデルにのみ当てはまるような式Aは、一階述語論理には存在しません。言い換えれば、「ものは有限個しかない」ということを表現できる一階述語論理は存在しません。

これは、コンパクト性定理によって次のように暗示されています。 ^[2]有限ドメインのモデルすべてで真となる式Aがあるとします。任意の正の整数nに対して、「ドメインには少なくともn個の要素がある」という文を表現できます。与えられたnに対して、少なくともn 個の要素があることを表す式をB _nと呼びます。たとえば、式B _{3 は}次のようになります。 これは、ドメインに少なくとも 3 つの異なる要素があることを表します。式の無限セットについて考えてみましょう。 これらの式のすべての有限サブセットにはモデルがあります。サブセットが与えられた場合、式B _nがサブセットに含まれる最大のn を見つけます。すると、 n個の要素を含むドメインを持つモデルは、 A (ドメインが有限であるため) とサブセット内のすべてのB式を満たします。コンパクト性定理を適用すると、無限セット全体にもモデルがあるはずです。A について仮定したことから、モデルは有限でなければなりません。しかし、このモデルは有限ではありません。なぜなら、モデルにm個の要素しかない場合、式B _m+1を満たさないからです。この矛盾は、私たちが想定した特性を持つ式A は存在しないことを示しています。 $${\displaystyle \exists x\exists y\exists z(x\neq y\wedge x\neq z\wedge y\neq z)}$$$${\displaystyle A,B_{2},B_{3},B_{4},\ldots }$$

• 同一性の概念は第一階言語では定義できず、単に識別不可能なだけである。^[3]
• 実閉体の中で実数を識別するために使用できるアルキメデスの性質。
• コンパクト性定理は、グラフの接続性が一階述語論理では表現できないことを意味します。 ^{[説明が必要]}

• 定義可能なセット
• 分岐量指定子
• 一般化された量指定子
• 複数形の定量化
• 物象化（言語学）

• プリンタ対応 CSS と nonfirstorderisability (Terence Tao 著)