厳密に単一の演算子

関数解析という数学の一分野において、厳密に特異な作用素とは、ノルム空間間の有界線形作用素であって、いかなる無限次元部分空間においても下限を持たない作用素のことである。

定義。

XとYをノルム線形空間とし、B(X,Y)を次の形式の有界作用素の空間とする。 $T:X\to Y$ 。させて $A\subseteq X$ を任意の部分集合とする。Tは上で下に有界であると言う。 $A$ 定数があるときはいつでも $c\in (0,\infty )$ すべての $x\in A$ 不平等 $\|Tx\|\geq c\|x\|$ が成り立つ。A =Xの場合、 Tは下に有界であると単純に言う。

ここで、XとYはバナッハ空間であると仮定し、 $Id_{X}\in B(X)$ そして $Id_{Y}\in B(Y)$ それぞれの恒等演算子を表す。 $T\in B(X,Y)$ 常に非必須と呼ばれる $Id_{X}-ST$ すべてのフレドホルム演算子 $S\in B(Y,X)$ 言い換えれば、Tが本質的でないのは、 $Id_{Y}-TS$ フレドホルムはすべての人にとって $S\in B(Y,X)$ で表す ${\mathcal {E}}(X,Y)$ すべての非必須演算子の集合 $B(X,Y)$ 。

オペレーター $T\in B(X,Y)$ Xの任意の無限次元部分空間において、が下に有界でない場合、は厳密に特異であると呼ばれる。をで表す。 $\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ 厳密に特異な演算子の集合 $B(X,Y)$ 私たちはこう言います $T\in B(X,Y)$ 各に対しては有限に厳密に特異である。 $\epsilon >0$ 存在する $n\in \mathbb {N}$ Xの任意の部分空間Eに対して、 ${\text{dim}}(E)\geq n$ 、がある $x\in E$ そのため $\|Tx\|<\epsilon \|x\|$ で表す $\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ 有限に厳密に特異な演算子の集合 $B(X,Y)$ 。

させて $B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ Xにおける閉じた単位球を表す。演算子 $T\in B(X,Y)$ コンパクト $TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}$ はYの相対的にノルムコンパクトな部分集合であり、で表す。 $\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ そのようなコンパクト演算子の集合。

特性。

厳密に特異な作用素は、コンパクト作用素の一般化と見なすことができる。なぜなら、すべてのコンパクト作用素は厳密に特異だからである。これら2つのクラスはいくつかの重要な性質を共有している。例えば、Xがバナッハ空間であり、TがB(X)における厳密に特異な作用素である場合、そのスペクトルは $\sigma (T)$ 以下の性質を満たす：（i ）濃度 $\sigma (T)$ （ii）せいぜい数えられる。 $\displaystyle 0\in \sigma (T)$ （ Xが有限次元である自明な場合を除く）；（iii）ゼロは、 $\sigma (T)$ （iv）すべての非ゼロ $\lambda \in \sigma (T)$ は固有値である。この同じ「スペクトル定理」（i）～（iv）は、B(X)の非本質的演算子に対しても満たされる。

クラス ${\mathcal {K}}$ 、 $\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ 、 ${\mathcal {SS}}$ 、そして ${\mathcal {E}}$ これらはすべてノルム閉作用素イデアルを形成します。これは、XとY がバナッハ空間であるとき、成分空間が $\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ 、 $\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ 、 $\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ 、そして ${\mathcal {E}}(X,Y)$ これらはそれぞれB(X,Y)の（作用素ノルムにおける）閉部分空間であり、これらのクラスは任意の有界線形作用素との合成に対して不変である。

一般的に、私たちは ${\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)$ また、それぞれの包含条件は、 XとYの選択に応じて、厳密なものにもそうでないものにもなり得る。

例。

すべての有界線形写像 $T:\ell _{p}\to \ell _{q}$ 、のために $1 ≤ q, p < ∞ }$ 、 $p\neq q$ は厳密に単数形です。ここでは、 $\displaystyle \ell _{p}}$ そして $\displaystyle \ell _{q}}$ は数列空間である。同様に、すべての有界線形写像は $\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$ そして $T:\ell _{p}\to c_{0}$ 、のために $1\leq p<\infty$ は厳密に単数形です。 $c_{0}$ は、ゼロに収束する数列のバナッハ空間です。これは、q < pの場合、そのようなTはコンパクトであるというピットの定理の系です。

もし $1\leq p<q<\infty$ すると形式的な恒等演算子 $I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})$ 有限に厳密に特異であるが、コンパクトではない。 $1<p<q<\infty$ すると、「ペルチンスキー演算子」が存在する $B(\ell _{p},\ell _{q})$ コピー上で一様に下方に境界付けられている $\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ 、 $n\in \mathbb {N}$ したがって、厳密には特異ではあるが、有限に厳密には特異ではない。この場合、次のようになる。 $\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ ただし、コドメインを持つすべての非本質的演算子 $\displaystyle \ell _{q}}$ は厳密に単数なので、 $\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ 一方、Xが任意の可分バナッハ空間である場合、下有界作用素が存在する。 $\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$ いずれも本質的ではないが、厳密には単数ではない。したがって、特に、 $\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$ すべての人々のために $1<p<\infty$ 。

二元性。

コンパクト演算子は対称イデアルを形成する。つまり、 $T\in {\mathcal {K}}(X,Y)$ かつその場合に限り $T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})$ しかし、これは授業には当てはまりません。 $\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ 、 ${\mathcal {SS}}$ 、または ${\mathcal {E}}$ 双対関係を確立するために、追加のクラスを導入します。

Zがバナッハ空間Yの閉部分空間である場合、「標準的な」全射が存在する。 $Q_{Z}:Y\to Y/Z$ 自然写像によって定義される $y\mapsto y+Z$ オペレーター $T\in B(X,Y)$ Yの無限余次元閉部分空間Zが与えられたとき、写像は厳密に余特異であると呼ばれます。 $Q_{Z}T$ 全射ではない。 ${\mathcal {SCS}}(X,Y)$ B(X,Y)における厳密に共特異な作用素の部分空間。

定理１．X とYをバナッハ空間とし、 $T\in B(X,Y)$ T*が厳密に特異である場合（または厳密に余特異である場合）、Tは厳密に余特異である（または厳密に特異である）。

厳密に特異な演算子であっても、随伴演算子が厳密に特異でも厳密に余特異でもない例が存在することに注意されたい（Plichko、2004を参照）。同様に、厳密に余特異な演算子であっても、随伴演算子が厳密に特異ではない例も存在する。例えば、包含写像などである。 $I:c_{0}\to \ell _{\infty }$ 。それで ${\mathcal {SS}}$ 完全な二元性ではない ${\mathcal {SCS}}$ 。

定理2. XとY をバナッハ空間とし、 $T\in B(X,Y)$ T*が非必須であれば、 Tも非必須である。

参考文献

アイエナ、ピエトロ、「フレドホルムと局所スペクトル理論、乗数への応用」（2004年）、ISBN 1-4020-1830-4。

プリチコ、アナトリー、「超厳密特異作用素と超厳密余特異作用素」、ノースホランド数学研究197（2004）、pp239-255。