フレドホルムの代替案

数学において、フレドホルム代替は、アイヴァー・フレドホルムにちなんで名付けられ、フレドホルムの定理の 1 つであり、フレドホルム理論の結果です。これは、線型代数の定理、積分方程式の定理、またはフレドホルム演算子の定理として、いくつかの方法で表現できます。結果の一部は、コンパクト演算子のスペクトル内の非ゼロの複素数が固有値であることを述べています。

Vがn次元ベクトル空間であり、が線型変換である場合、次のいずれかが成立します。 ${\displaystyle T:V\to V}$

1. Vの各ベクトルvに対して、 Vのベクトルuが存在するので、 となります。言い換えると、Tは全射です ( V は有限次元なので、全単射でもあります)。${\displaystyle T(u)=v}$
2. ${\displaystyle \dim(\ker(T))>0.}$

行列の観点から見たより基本的な定式化は次のようになります。m × n行列Aとm ×1 列ベクトルbが与えられた場合、次のいずれかが成立する必要があります。

1. いずれか: A x = bには解xがある
2. または: A ^T y = 0 には、 y ^T b ≠ 0となる解y が存在します。

言い換えれば、A x = bが解を持つのは、A ^T y = 0となる任意のyに対して、 y ^T b = 0となる場合のみです。 ${\displaystyle (\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A))}$ ${\displaystyle (つまり、\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot })}$

を積分核とし、同次方程式であるフレドホルム積分方程式を考える。 ${\displaystyle K(x,y)}$

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=0}$

そして不同次方程式

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x).}$

フレドホルム代替法は、すべての非ゼロ固定複素数 に対して、最初の方程式が非自明な解を持つか、または 2 番目の方程式がすべての複素数に対して解を持つという主張です。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f(x)}$

この命題が真であるための十分条件は、 が長方形上で平方積分可能であることです（ここで、aおよび/またはb は負または正の無限大です）。このようなKによって定義される積分演算子は、ヒルベルト・シュミット積分演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle K(x,y)}$${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

フレドホルム演算子に関する結果は、これらの結果を無限次元の完全なノルムベクトル空間、つまりバナッハ空間に一般化します。

積分方程式は、演算子表記法で次のように書き直すことができる。 を（やや非公式に）書き、 ディラックのデルタ関数 を、 2つの変数の分布または一般化関数 として考えると、 を意味するものとする 。次に、畳み込みによって、 によって 与えられる 関数 のバナッハ空間に作用する線形演算子を誘導する。この関数は によって与えられる。$${\displaystyle T=\lambda -K}$$$${\displaystyle T(x,y)=\lambda \;\delta (xy)-K(x,y)}$$${\displaystyle \delta (xy)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi (x)}$ $${\displaystyle V\to V}$$$${\displaystyle \varphi \mapsto \psi }$$${\displaystyle \psi}$$${\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\varphi (y)\,dy=\lambda \;\varphi (x)-\int _{a} ^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.}$$

この言語では、積分方程式のフレドホルム代替法は、有限次元線形代数のフレドホルム代替法に類似していると考えられます。

上記のようにカーネルとの畳み込みによって与えられる演算子は、ヒルベルト・シュミット積分演算子として知られています 。このような演算子は常にコンパクトです。より一般的には、フレドホルム代替は、任意のコンパクト演算子のときに有効です。フレドホルム代替は、次の形式で言い換えることができます。非ゼロは、の固有値であるか、またはレゾルベントのドメイン内にあります。${\displaystyle K}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle R(\lambda;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}.}$$

フレドホルム代替法は、線形楕円境界値問題を解くために適用できます。基本的な結果は、方程式と適切なバナッハ空間が正しく設定されている場合は、次のいずれかになります。

（１）同次方程式は非自明な解を持つ、または

（２）不同次方程式は、データの選択ごとに一意に解くことができる。

議論は次のように進む。典型的な、理解しやすい楕円演算子 Lは、ラプラシアンといくつかの低次の項である。適切な境界条件と組み合わせ、適切なバナッハ空間X（境界条件と解の望ましい規則性の両方をエンコードする）上で表現すると、LはXからそれ自身への無限演算子になり、次のように解こうとする。

${\displaystyle Lu=f,\qquad u\in \operatorname {dom} (L)\subseteq X,}$

ここで、f ∈ X は、解を求めるデータとして機能する関数です。フレドホルム代替法と楕円方程式の理論を組み合わせることで、この方程式の解を整理することができます。

具体的な例としては、次のような 楕円境界値問題が挙げられる。

${\displaystyle (*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{in }}\Omega ,}$

境界条件を補足する

${\displaystyle (**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega ,}$

ここで、Ω ⊆ R ^{n は}滑らかな境界を持つ有界開集合であり、h ( x ) は固定係数関数（シュレーディンガー作用素の場合はポテンシャル）である。関数f ∈ Xは方程式を解く変数データである。ここで、X はΩ 上のすべての二乗可積分関数の空間L ² (Ω)であるとし、dom( L ) はソボレフ空間W ^2,2 (Ω) ∩ Wである。 ^1,2
₀(Ω) は、Ω 上のすべての二乗積分可能関数のうち、弱い第一および第二導関数が存在し、二乗積分可能であり、∂Ω 上のゼロ境界条件を満たすもの の集合に相当します。

Xが正しく選択されている場合(この例のように)、 μ ₀ >> 0 に対して演算子L  +  μ _{0 は}正であり、楕円推定を使用すると、 L  +  μ ₀  : dom( L ) →  Xが全単射であり、その逆はXからXへのコンパクトでどこでも定義された演算子Kであり、その像は dom( L ) に等しいことが証明できます。このようなμ _{0 の}1 つを固定しますが、これは単なるツールであるため、その値は重要ではありません。

次に、コンパクト演算子について上で述べたフレドホルム代替を、境界値問題 (*)–(**) の可解性に関するステートメントに変換します。上で述べたフレドホルム代替は、次のことを主張します。

• 各λ ∈ Rについて、λ はKの固有値であるか、演算子K  −  λ はXからそれ自身に全単射です。

境界値問題における2つの選択肢を検討してみましょう。λ≠0と仮定します。

(A) λはKの固有値─ ( L  +  μ ₀ ) h = λ ⁻¹ hの解h ∈ dom( L )が存在する─ – μ ₀ + λ ^−1はLの固有値である。

(B) 演算子K  −  λ  :  X  →  Xは全単射 ⇔ ( K  −  λ ) ( L  +  μ ₀ ) = Id −  λ ( L  +  μ ₀ ) : dom( L ) → Xは全単射 ⇔ L  +  μ ₀  −  λ ⁻¹  : dom( L ) → X は全単射です。

- μ ₀ + λ ^−1をλに置き換え、λ = − μ ₀の場合を別々に扱うと、楕円境界値問題に対する次のフレドホルム代替案が得られます。

• 各λ ∈ Rに対して、同次方程式 ( L  −  λ ) u = 0 が非自明な解を持つか、または、非同次方程式 ( L  −  λ ) u = f が各与えられたデータf ∈ Xに対して一意の解u ∈ dom( L )を持ちます。

後者の関数u は、上で紹介した境界値問題 (*)–(**) を解きます。これは、上記 (1)–(2) で主張された二分法です。コンパクト演算子のスペクトル定理により、解が成立しないλの集合は、Rの離散サブセット( Lの固有値) であることもわかります。固有値に関連付けられた固有関数は、方程式の解をブロックする「共鳴」と考えることができます。

• コンパクト作用素のスペクトル理論
• ファルカスの補題

• EI、フレドホルム（1903年）。 「関数のクラスを決定する」。アクタ数学。27 : 365–390。土井：10.1007/bf02421317。
• AG Ramm、「フレドホルム代替法の簡単な証明とフレドホルム演算子の特徴付け」、American Mathematical Monthly、108 (2001) p. 855。
• Khvedelidze, BV (2001) [1994]、「フレドホルムの定理」、数学百科事典、EMS Press
• 「フレドホルム代替案」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]