経験的特性関数

を共通の特性関数を持つ、独立かつ同一分布に従う実数値のランダム変数とする 。経験的特性関数（ECF）は次のように定義される。 ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \varphi _{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{itX_{j}},}$

は、各 について、対応する母集団特性関数 の偏りのない一貫した推定量です。ECF は、Cramér (1946) ^[1]の古典的な教科書の 342 ページで初めて登場し、その後、Parzen (1962) ^[2]で密度推定の補助ツールの一部として紹介されました。それからほぼ 10 年後、ECF は、In Press (1972) ^[3]のパラメータ推定とHeathcote (1972) ^[4]の適合度検定という 2 つの別々の応用分野で研究の主な対象となりました。それ以来、ECF に基づく統計的推論手法は大幅に拡張されました。 ECFに基づく推定法のレビューについては、Csörgő (1984a)、^[5] Rémillard and Theodorescu (2001)、^[6] Yu (2004)、^[7] Carrasco and Kotchoni (2017)、^[8]を参照してください。一方、検定手順については、Csörgő (1984b)、^[9] Hušková and Meintanis (2008a)、^[10] Hušková and Meintanis (2008b)、^[11] Meintanis (2016) で概説されています。^[12] Ushakov (1999) ^[13]および Prakasa Rao (1987) ^[14] (第8章) も、ECFプロセスの極限特性、およびECFによる推定と適合度検定に関する優れた情報源です。特筆すべき研究分野の一つは、Székely et al. (2007) が最初に提案した距離相関による ECF 独立性検定である。 ^[15]このアプローチは非常に人気が高まり、現在活発に開発が進められている。距離相関法に関する最近の調査については、Edelmann et al. (2019) ^[16]を参照のこと。もう一つの人気のある研究分野は、多変量分布の適合度検定であり、特に多変量正規性の検定に重点が置かれている。このトピックの詳細については、Ebner と Henze (2020) のレビューを参照のこと。^[17]この ECF ベースの適合度検定のアプローチは、Chen et al. (2022) ^[18]によって一般化され、Meintanis (2005) が最初に提案した 2 標本検定を修正することで、任意の楕円分布の適合度を検定できるようになった。 ^[19] 対称性、同質性、独立性を検定するための基本的なECFベースの適合度検定法の最近の説明は、Chen et al. (2019)に記載されている。^[20]${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$