方向統計の中心極限定理

確率論において、中心極限定理は、それぞれが有限の平均と分散を持つ十分に大きな数の独立した ランダム変数の平均が近似的に正規分布する条件を述べています。^[1]

方向統計は、方向（ R ⁿの単位ベクトル）、軸（ R ⁿの原点を通る線）、またはR ⁿの回転を扱う統計のサブ分野です。方向量の平均と分散はすべて有限であるため、中心極限定理を方向統計の特定のケースに適用できます。^[2]

^{この記事で}は2次元空間（R2）の単位ベクトルのみを扱いますが、ここで説明する方法は一般的なケースにも拡張できます。

角度のサンプルが測定され、それらは の係数の範囲内で不定であるため、複素定数値がランダム変量として使用されます。サンプルが抽出される確率分布は、そのモーメントによって特徴付けられ、直交座標形式と極座標形式で表現できます。 ${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle z_{i}=e^{i\theta _{i}}=\cos(\theta _{i})+i\sin(\theta _{i})}$

${\displaystyle m_{n}=E(z^{n})=C_{n}+iS_{n}=R_{n}e^{i\theta _{n}}\,}$

結果は次のようになります。

${\displaystyle C_{n}=E(\cos(n\theta ))\,}$

${\displaystyle S_{n}=E(\sin(n\theta ))\,}$

${\displaystyle R_{n}=|E(z^{n})|={\sqrt {C_{n}^{2}+S_{n}^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta _{n}=\arg(E(z^{n}))\,}$

N 回の試行のサンプルモーメントは次のとおりです。

${\displaystyle {\overline {m_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}={\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {C_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\cos(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {S_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {R_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|z_{i}^{n}|}$

${\displaystyle {\overline {\theta _{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\arg(z_{i}^{n})}$

ベクトル[ ]はサンプル平均の表現として使用され、2次元ランダム変量としてとられる。^[2]二変量中心極限定理は、多数のサンプルの極限における およびの結合確率分布が次のように与えられることを述べている。${\displaystyle {\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}}$${\displaystyle ({\overline {m_{1}}})}$${\displaystyle {\overline {C_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {S_{1}}}}$

${\displaystyle [{\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)}$

ここでは二変量正規分布、 は円分布の共分散行列です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}()}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{CC}&\sigma _{CS}\\\sigma _{SC}&\sigma _{SS}\end{bmatrix}}\quad }$

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=\sigma _{SC}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )\,}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}\,}$

二変量正規分布は平面全体にわたって定義されますが、平均は単位球内（単位円上または単位円内）に限定されることに注意してください。つまり、単位球上の極限（二変量正規）分布の積分は 1 に等しくならず、N が無限大に近づくにつれて 1 に近づきます。

分布のモーメントの観点から、限界二変量分布を述べることが望ましい。

多重角三角関数の等式の使用^[2]

${\displaystyle C_{2}=E(\cos(2\theta ))=E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,}$

${\displaystyle S_{2}=E(\sin(2\theta ))=E(2\cos \theta \sin \theta )\,}$

結果は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )={\frac {1}{2}}\left(S_{2}-2C_{1}S_{1}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2}\right)}$

共分散行列は、円分布のモーメントで表現されるようになりました。

中心極限定理は、平均の極座標成分で表現することもできます。 が面積要素 で平均を見つける確率である場合、その確率は と書くこともできます。 ${\displaystyle P({\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}})d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$${\displaystyle d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$${\displaystyle P({\overline {R_{1}}}\cos({\overline {\theta _{1}}}),{\overline {R_{1}}}\sin({\overline {\theta _{1}}})){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta _{1}}}}$