因果フェルミオン系

因果フェルミオン系の理論は基礎物理学を記述するアプローチである。それは、古典場の理論のレベルで弱い力、強い力、電磁力と重力の統一を提供する。^{[1] [2]さらに、それは}量子力学を極限ケースとして与え、量子場の理論との密接な関係を明らかにした。^{[3] [4]}したがって、それは統一物理理論の候補である。既存の時空多様体上に物理的対象を導入する代わりに、一般的な概念は、基礎となる因果フェルミオン系の構造から、時空とそこに含まれるすべての対象を二次的対象として導出することである。この概念により、微分幾何学の概念を非滑らかな設定に一般化することも可能になる。^{[5] [6]特に、時空が微視的スケールで多様体構造を持たない状況を記述することができる（時空格子や}プランクスケール上の他の離散的または連続的な構造など）。結果として、因果フェルミオン系の理論は量子幾何学の提案であり、量子重力へのアプローチです。

因果フェルミオン系は、フェリックス・フィンスターと協力者によって導入されました。

物理的な出発点は、ミンコフスキー空間のディラック方程式に、通常ディラックの海に関連付けられている負のエネルギーの解があるという事実です。ディラックの海の状態が物理システムの不可欠な部分を形成するという概念を真剣に受け止めると、多くの構造（因果構造や計量構造、ボソン場など）が海の状態の波動関数から復元できることが分かります。これは、すべての占有状態（海の状態を含む）の波動関数を基本的な物理的オブジェクトと見なすべきであり、時空内のすべての構造は、海の状態同士および海内の追加の粒子や「穴」との集合的な相互作用の結果として生じるという考えにつながります。この図を数学的に実装すると、因果フェルミオンシステムのフレームワークにつながります。

より正確には、上記の物理的状況と数学的枠組みとの対応は次のように得られる。すべての占有状態はミンコフスキー空間内の波動関数のヒルベルト空間に広がる。時空における波動関数の分布に関する観測可能な情報は、正規直交基底において行列表現を持つ 局所相関演算子にエンコードされる。${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle F(x),x\in {\hat {M}},}$ ${\displaystyle (\psi _{i})}$

${\displaystyle {\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)}$

(ここで、は随伴スピノル)。波動関数を基本的な物理的対象にするために、集合を抽象的なヒルベルト空間上の線型作用素の集合として考える。ミンコフスキー空間の構造は、体積測度 を除いてすべて無視され、体積測度は線型作用素上の対応する測度( 「普遍測度」 )に変換される。結果として得られる構造、すなわちヒルベルト空間とその上の線型作用素上の測度は、因果フェルミオン系の基本構成要素である。 ${\displaystyle {\overline {\psi }}}$${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$${\displaystyle d^{4}x}$

上記の構築は、より一般的な時空でも実行できます。さらに、抽象的な定義を出発点として、因果フェルミオン系は一般化された「量子時空」の記述を可能にします。物理的な図式は、1 つの因果フェルミオン系が時空とそこに含まれるすべての構造とオブジェクト (因果構造、計量構造、波動関数、量子場など) を記述するものです。物理的に許容される因果フェルミオン系を選択するには、物理​​方程式を定式化する必要があります。古典場の理論のラグランジアン定式化と同様に、因果フェルミオン系の物理方程式は変分原理、いわゆる因果作用原理によって定式化されます。さまざまな基本オブジェクトを扱うため、因果作用原理は、普遍的な尺度の変動下で正の作用を最小化するという新しい数学的構造を持っています。従来の物理方程式への接続は、ある極限の場合（連続体極限）で得られ、その場合、相互作用は粒子と反粒子に結合されたゲージ場によって効果的に記述できますが、ディラックの海はもはや明らかではありません。

このセクションでは、因果フェルミオン系の数学的枠組みを紹介します。

スピン次元の因果フェルミオン系は、 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$は複素ヒルベルト空間です。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、（重複度を数えて）最大で正の固有値と最大で負の固有値を持つ有限ランクの自己随伴線型作用素全体の集合です。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \rho }$は に関する尺度 です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

この尺度は普遍尺度と呼ばれます。 ${\displaystyle \rho }$

以下に概説するように、この定義は物理理論を定式化するために必要な数学的構造の類似物をコード化するのに十分なほど豊富である。特に、因果フェルミオン系は、スピノル、計量、曲率などのオブジェクトを一般化する追加の構造とともに時空を生み出す。さらに、波動関数やフェルミオン フォック状態などの量子オブジェクトも含む。^[7]

古典場の理論のラグランジアン定式化に触発されて、因果フェルミオン系のダイナミクスは次のように定義される変分原理によって記述されます。

ヒルベルト空間とスピン次元が与えられた場合、集合は上記のように定義されます。任意の に対して、積は最大で 階数の演算子です。一般に であるため、必ずしも自己随伴ではありません。演算子の非自明な固有値（代数的重複度を数える）を次のように 表します。${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

さらに、スペクトルの重み は次のように定義されます。 ${\displaystyle |.|}$

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

ラグランジアンは次のように導入される 。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

因果関係は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

因果作用原理は、以下の制約の下で、 （正の）ボレル測度のクラス内での変化を最小化することです。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \rho }$

• 有界性制約:ある正の定数に対して。${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$${\displaystyle C}$
• トレース制約:固定されたままになります。${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$
• 総量は保持されます。${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$

ここで、上の有界線型作用素の -ノルムによって誘導される位相について考察します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

制約は、 が有限次元である限り、自明な最小化を防ぎ、存在を保証する。^[8]この変分原理は、を伴う有界変分の変分を考慮すると、 全体積が無限大の場合にも意味をなす。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \delta \rho }$${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$

現代の物理理論では、時空という言葉はローレンツ多様体 を指します。つまり、時空は位相的および幾何学的構造によって強化された点の集合です。因果フェルミオン系の文脈では、時空は多様体構造を持つ必要はありません。代わりに、時空はヒルベルト空間 ( のサブセット) 上の演算子の集合です。これは、時空多様体上の通常のオブジェクトに対応し、それを一般化する追加の固有の構造を意味します。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

因果フェルミオン系の場合、時空を普遍測度の 台として定義する。${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

によって誘導される位相により、時空は位相空間になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$

について、演算子 の非自明な固有値（ 代数的重複度 を数える）を で表します。のすべてが同じ絶対値を持つ場合、点と は空間的に分離されていると定義されます。のすべてが同じ絶対値を持たず、すべて実数である場合、点は時間的に分離されています。その他のすべての場合、点と は光的に分離されています。 ${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

この因果関係の概念は、2 つの時空点が空間的に分離されている場合、ラグランジアンが消滅するという意味で、上記の因果作用の「因果関係」と一致します。これは、空間的に分離された時空点は相互作用しないという物理的な因果関係の概念に対応します。この因果構造が、因果フェルミオン システムと因果作用における「因果」という概念の理由です。 ${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$

を部分空間上の直交射影とします。すると、関数の符号は ${\displaystyle \pi _{x}}$${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

は未来と過去を区別します。半順序集合の構造とは対照的に、「未来にある」という関係は一般に推移的ではありません。しかし、典型的な例ではマクロなスケールでは推移的です。^{[5] [6]}

任意のスピン空間はによって定義され、最大 次元の の部分空間です。スピンスカラー積は によって定義されます 。${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

は、 の符号との不定内積です。 ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle p,q\leq n}$

波動関数 はマッピングである ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

ノルムが次のように定義される 波動関数について${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

が有限である（ここで対称演算子の絶対値）場合、内積を定義できる。 ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

ノルムによって誘導される位相と合わせて、クライン空間が得られます。 ${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$

任意のベクトルに波動関数を関連付けることができる。 ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(ここでも はスピン空間への直交投影です)。これにより、占有状態の波動関数と呼ばれる、独特な波動関数の族が生じます。 ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$

フェルミオンプロジェクターの核は 次のように定義される。 ${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

（ここで は再びスピン空間への直交射影であり、 はへの制限を表す）。フェルミオン射影子は演算子 ${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$${\displaystyle |_{S_{y}}}$${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

これは、条件を満たす すべてのベクトルによって定義される稠密な定義域を持つ。${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

因果作用原理の結果として、フェルミオンプロジェクターのカーネルはプロジェクターという名前を正当化する追加の正規化特性^[9]を持ちます。

フェルミオン射影核は、あるスピン空間から別のスピン空間への演算子であるため、異なる時空点間の関係を与える。この事実は、スピン接続を導入するために使用できる。

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

基本的な考え方は、の極分解をとることである。スピン接続が対応するメトリック接続を誘導するという事実によって、構築はより複雑になる。${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

ここで、接空間はローレンツ計量を持つ線型作用素の特定の部分空間である。スピン曲率はスピン接続の ホロノミーとして定義される。${\displaystyle T_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

同様に、計量接続は計量曲率を生じさせる。これらの幾何学的構造は量子幾何学の提案を生む。^[5]

因果作用の最小化は対応するオイラー・ラグランジュ方程式を満たす。^[10]彼らは 、 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell _{\kappa }}$

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

（2つのラグランジュパラメータと）はゼロとなり、のサポート上で最小となる。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

解析には、上の実数値関数と 上のベクトル場からなるジェット を導入し 、乗算と方向微分の組み合わせを で表すと便利です。すると、オイラー・ラグランジュ方程式は、弱オイラー・ラグランジュ方程式が${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

あらゆるテストジェットに当てはまります。 ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

オイラー・ラグランジュ方程式の解の族は、線形場の方程式を満たすジェットによって無限小に生成される。${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

全てのテストジェットに対して満たされる。ここでラプラシアンは次のように定義される。   ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

オイラー・ラグランジュ方程式は因果フェルミオン系のダイナミクスを記述しますが、系の小さな摂動は線形化された場の方程式によって記述されます。

因果フェルミオン系の設定では、空間積分はいわゆる表面層積分で表される。^{[9] [10] [11]}一般的に、表面層積分は次の形式の二重積分である。

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

ここで、1 つの変数はサブセット 上で積分され、もう 1 つの変数は の補集合上で積分されます。電荷、エネルギーなどの通常の保存則を表面層積分で表すことができます。対応する保存則は、因果作用原理の Euler–Lagrange 方程式と線形化された場の方程式の結果です。応用上、最も重要な表面層積分は、電流積分、シンプレクティック形式、表面層内積、および非線形表面層積分です。 ${\displaystyle \Omega \subset M}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$

上記の表面層積分の保存則に基づいて、因果作用原理に対応するオイラー-ラグランジュ方程式で記述される因果フェルミオン系のダイナミクスは、線形化された場の方程式の解で構築されたボゾンフォック空間上の線形でノルム保存のダイナミクスとして書き直すことができます。^[4]いわゆる正則近似では、時間発展は複素構造を尊重し、ボゾンフォック空間上のユニタリ時間発展を生み出します。

が有限次元である場合、の正規直交基底を選択し、対応する波動関数のくさび積を取る。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

は、 -粒子フェルミオンフォック空間の状態を与える。全反対称化のため、この状態は位相因子によってのみ の基底の選択に依存する。^{[12]この対応は、粒子空間のベクトルが}フェルミオンとして解釈される理由を説明しています。また、因果フェルミオンシステムという名前の由来でもあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

因果フェルミオン系は、いくつかの物理原理を特定の方法で組み込んでいます。

• 局所ゲージ原理：波動関数を成分で表すために、スピン空間の基底を選択する。におけるスピンスカラー積の符号を で表すと、の擬似直交基底は で与えられる。${\displaystyle x}$${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

すると波動関数は成分関数で表現できる。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

あらゆる時空点で独立に基底を選択できる自由は、波動関数の局所ユニタリー変換に対応し、 ${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

これらの変換は、局所ゲージ変換として解釈されます。ゲージ群は、スピンスカラー積の等長変換群として決定されます。因果作用は、スピノル基底の選択に依存しないという意味でゲージ不変です。

• 等価原理: 時空を明示的に記述するには、局所座標を使用する必要があります。このような座標を選択する自由は、時空多様体における一般的な参照フレームを選択する自由を一般化します。したがって、一般相対性理論の等価原理が尊重されます。因果作用は、座標の選択に依存しないという意味で、一般に共変です。
• パウリの排他原理: 因果フェルミオン系に関連するフェルミオンフォック状態により、完全に反対称な波動関数によって多粒子状態を記述することが可能になります。これはパウリの排他原理と一致します。
• 因果律の原理は、空間的に分離した時空点が相互作用しないという意味で、因果作用の形式によって組み込まれます。

因果フェルミオン系には、従来の物理構造とのつながりを与える数学的に妥当な極限ケースがあります。

スピノル束を持つ任意の大域双曲型ローレンツ スピン多様体から始めて、ディラック方程式の解空間の部分空間として を選ぶことで因果フェルミオン系の枠組みに入る。 のいわゆる局所相関演算子を次のよう に定義する。${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$${\displaystyle S{\hat {M}}}$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

（ここではファイバー 上の内積）であり、 上の体積測度の押し出しとして普遍測度を導入すると、 ${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

因果フェルミオン系が得られる。局所相関演算子が明確に定義されるためには、連続セクションで構成されている必要があり、通常は微視的スケールでの正規化を導入する必要がある。極限では、因果フェルミオン系のすべての固有構造（因果構造、接続、曲率など）は、ローレンツスピン多様体上の対応する構造に移行します。^[5]したがって、時空の幾何学は、対応する因果フェルミオン系に完全にエンコードされます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

因果作用原理に対応するオイラー・ラグランジュ方程式は、因果フェルミオン系の時空がミンコフスキー空間に移行する場合、明確に定義された限界を持つ。より具体的には、因果フェルミオン系のシーケンス（例えば、因果作用の最小化だけでなくフェルミオンフォック状態の存在を保証するために有限次元のもの）を考慮し、対応する波動関数が、追加の粒子状態または海内の「穴」を含む相互作用するディラック海の構成に移行する。連続体限界と呼ばれるこの手順は、古典的な場の方程式に結合されたディラック方程式の構造を持つ有効な方程式を与える。例えば、スピン次元2の3つの基本的なフェルミオン粒子を含む単純化されたモデルの場合、結合されたディラック方程式とヤン・ミルズ方程式によって記述される古典的な軸性ゲージ場^[2]を介して相互作用が得られる。${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

ディラック方程式の非相対論的極限をとると、パウリ方程式またはシュレーディンガー方程式が得られ、量子力学に対応します。ここで、およびは正規化に依存し、結合定数と静止質量を決定します。 ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{2}}$

同様に、スピン次元4のニュートリノを含むシステムでは、ディラックスピノルの左手成分と結合した質量のあるゲージ場が効果的に得られる。^[2]標準モデルのフェルミオン構成は、スピン次元16で記述できる。^[1]${\displaystyle SU(2)}$

先ほど述べたニュートリノを含むシステムでは、^[2]連続体極限はディラックスピノルと結合した アインシュタイン場の方程式も生成する。

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

曲率テンソルの高次の補正まで。ここで宇宙定数は未定であり、スピノルとゲージ場のエネルギー運動量テンソルを表します。重力定数は正規化の長さに依存します。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T_{jk}}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \kappa }$

連続体極限で得られた連立方程式から始めて、結合定数のべき乗で展開すると、ツリーレベルのファインマン図に対応する積分が得られます。フェルミオンループ図は海の状態との相互作用によって生じますが、ボゾンループ図は因果フェルミオンシステムの微視的（一般に滑らかではない）時空構造にわたって平均を取るときに現れます（いわゆる微視的混合）。^[3]詳細な分析と標準的な量子場理論との比較は現在進行中です。^[4]

• 因果フェルミオン系に関するウェブプラットフォーム