量子幾何学

理論物理学において、量子幾何学は、プランク長に匹敵する距離スケールでの物理現象を記述するために幾何学を一般化する数学的概念の集合です。そのような距離では、量子力学は物理現象に大きな影響を与えます。

量子重力理論はそれぞれ、「量子幾何学」という用語を少しずつ異なる方法で使用している。量子重力理論の有力候補である弦理論では、 T 双対性やその他の幾何学的双対性、鏡映対称性、位相が変化する遷移^{[説明が必要]}、最小可能距離スケール、および直感に挑戦するその他の効果などのエキゾチックな現象を説明するためにこの用語を使用している。より技術的には、量子幾何学は、D ブレーンによって経験される時空多様体の形状を指し、​​これには世界面インスタントンなどの計量テンソルへの量子補正が含まれる。たとえば、サイクルの量子体積は、このサイクルに巻き付けられたブレーンの質量から計算される。

ループ量子重力（LQG）と呼ばれる量子重力の代替アプローチでは、「量子幾何学」という語句は通常、幾何学に関する情報を捉える観測量がヒルベルト空間上の明確に定義された演算子であるLQG内の形式主義を指します。特に、面積などの特定の物理的観測量は離散スペクトルを持ちます。LQGは非可換です。^[1]

この厳密に量子化された幾何学の理解は、弦理論から生じる幾何学の量子的描像と一致する可能性がある（しかし、可能性は低いと考えられている）。

「第一原理」から時空の幾何学を再構築しようとするもう一つのアプローチは、離散ロレンツ量子重力です。

微分形式は、くさび積を用いて量子状態を表現するのに用いられる。^[2]

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (\mathbf {x} ,t)\,|\mathbf {x} ,t\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

ここで位置ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},x^{2},x^{3})}$

差分体積要素は

${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} =\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

x ¹、x ²、x ^{3 は}任意の座標の集合であり、上の添え字は反変性を示し、下の添え字は共変性を示すので、微分形式での量子状態は明示的に次のようになります。

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (x^{1},x^{2},x^{3},t)\,|x^{1},x^{2},x^{3},t\rangle \,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

重なり積分は次のように与えられます。

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

微分形式では、

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

空間Rのある領域で粒子が見つかる確率は、その領域での積分によって与えられます。

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\int _{R}\psi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

波動関数が正規化されていると仮定します。Rが3d 位置空間全体である場合、粒子が存在すると 積分は1になります。

微分形式は、座標に依存しない方法で曲線と曲面の幾何学を記述するアプローチです。量子力学では、ポテンシャル井戸、箱の中の粒子、量子調和振動子などの理想的な状況が直交座標で発生し、原子や分子内の電子などのより現実的な近似が球面極座標で発生します。一般性のために、任意の座標系で使用できる形式化が役立ちます。

• 非可換幾何学
• 量子時空

• 超対称性の解明、P. ラベル、McGraw-Hill (米国)、2010 年、ISBN 978-0-07-163641-4 
• 量子力学、E.アバーズ、ピアソン編集、アディソン・ウェズリー、プレンティス・ホール社、2004年、ISBN 9780131461000 
• 量子力学の謎を解明、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145546 9 
• 量子場理論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8 

• 空間と時間：古代からアインシュタインまで、そしてその先へ
• 量子幾何学とその応用