制限された表現

群論では、制限は、群全体の既知の表現を使用して部分群の表現を形成します。制限は、群の表現論における基本的な構成です。多くの場合、制限された表現の方が理解しやすいです。既約表現の制限を部分群の既約表現に分解する規則は分岐規則と呼ばれ、物理学で重要な用途があります。たとえば、明示的な対称性の破れの場合、問題の対称群は、群全体からその部分群の 1 つに縮小されます。量子力学では、この対称性の縮小は、シュタルク効果やゼーマン効果のように、縮退したエネルギー レベルの多重項への分割として現れます。

誘導表現は、部分群の表現から群全体の表現を形成する関連操作です。制限と誘導の関係は、フロベニウスの相互性とマッキーの定理によって説明されます。正規部分群への制限は特にうまく機能し、AHクリフォードの定理にちなんでクリフォード理論と呼ばれることがよくあります。 ^{[1]制限は、他の}群準同型や他の環に一般化できます。

任意の群G、その部分群 H、およびGの線型表現 ρに対して、 ρのHへの制限は、

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

同じベクトル空間上の同じ演算子によるHの表現である。

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

古典的な分岐規則は、古典的な群Gの既約複素表現 ( π ,  V ) の古典的な部分群Hへの制限、つまりHの既約表現 ( σ ,  W ) がπに現れる 重複度を記述する。コンパクト群のフロベニウスの相互性により、これは σ から誘導されるユニタリ表現におけるπの重複度を見つけることと同等である。古典的な群の分岐規則は次のように決定された。

• 連続するユニタリ群間のワイル（1946）;
• Murnaghan (1938) 連続特殊直交群とユニタリシンプレクティック群の間;
• Littlewood (1950) は、ユニタリ群からユニタリシンプレクティック群と特殊直交群へと移行しました。

結果は通常、古典的不変量理論でおなじみの、既約表現をラベル付けするために古典的に使用されるシグネチャをエンコードするヤング図を使用してグラフィカルに表現されます。ヘルマン・ワイルとリチャード・ブラウアーは、グループGとH が共通の最大トーラスを共有する場合に分岐規則を決定するための体系的な方法を発見しました。この場合、Hのワイル群はGのワイル群の部分群であるため、規則はワイル指標式から演繹できます。^{[2] [3]体系的な現代的な解釈は、Howe (1995) によって、彼の}双対理論の文脈で与えられています。 σ がHの自明な表現である特別な場合は、シロフ境界が形式G / Hである、複数の複素変数の有界対称領域のSzegő 核に関する研究で、 Huaによって初めて広範に使用されました。^{[4] [5]}より一般的には、カルタン-ヘルガソンの定理は、G / H がコンパクトな対称空間である場合の分解を与え、その場合、すべての重複度は 1 です。^[6]任意の σ への一般化は、その後、Kostant (2004) によって得られました。 同様の幾何学的考察は、Knapp (2003) によっても使用され、ユニタリ群の既約表現をテンソル化する有名なリトルウッド-リチャードソン規則を含むリトルウッド規則が再導出されました。 Littelmann (1995) は、彼のパスモデルを使用して、これらの規則の任意のコンパクトな半単純リー群への一般化を見つけました。これは、ルスティグと柏原の結晶基底の理論に精神的に近い表現論へのアプローチです。 彼の方法は、最大トーラスを含む部分群への制限に対する分岐規則をもたらします。 分岐規則の研究は、古典的な不変量理論とその現代版である代数的組合せ論において重要です。^{[7] [8]}

例: ユニタリ群U ( N ) には、シグネチャでラベル付けされた既約表現がある。

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

ここでf _{i は}整数である。実際、ユニタリ行列U が固有値z _iを持つ場合、対応する既約表現π _fの指標は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+Ni} \over \prod _{i<j}(z_ {i}-z_{j})}。}$

U ( N )からU ( N  – 1 ) への分岐規則は、

例: ユニタリシンプレクティック群または四元数ユニタリ群は、Sp( N )または U ( N , H )と表記され、 四元数^Hとの右乗法で可換であり、 H値のエルミート内積 を保存するHNのすべての変換の群である。

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

H ^N上のq *はqと共役な四元数を表す。四元数を 2 x 2 複素行列として実現すると、群 Sp( N ) はSU(2 N ) 内のブロック行列( q _ij )の群であり、

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha } }_{ij}\end{pmatrix}},}$

ここでα _ijとβ _ijは複素数です。

Sp( N )の各行列Uは、次の要素を持つブロック対角行列と共役である。

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

ここで、| z _i | = 1である。したがって、 Uの固有値は( z _i ^{±1 )である。Sp(} N )の既約表現はシグネチャでラベル付けされる。

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

ここで、f _{i は}整数である。対応する既約表現σ _fの性格は^[9]で与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

Sp( N )からSp( N  -1)への分岐規則は^[10]

ここでf _{N + 1} = 0であり、多重度 m ( f , g )は次のように与えられる。

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

どこ

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

2 N 個の非負整数 ( f _i )、( g _j )、0 の非増加並べ替えです。

例U(2 N )からSp( N )への分岐はリトルウッドの2つの恒等式に依存している: ^{[11] [12] [13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

ここで_{Πf ,0はシグネチャ}f1≥ _··· ≥fN≥0≥ ··· ≥0 を持つU (2N )の既約表現である。

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

ここでf _i ≥ 0である。

U(2 N )からSp( N )への分岐規則は次のように与えられる。

ここで、すべての符号は非負であり、係数M ( g , h ; k )は_、テンソル積πgπhにおけるU ( N )の既約表現πkの多重度である。これは、リトルウッド-リチャードソン則、重みgの歪図k/hの_格子順列の数によって_組合せ的に与えられる。 [ ^8] ${\displaystyle \otimes }$

リトルウッドの分岐規則は、スンダラム (1990, p. 203) によって任意の署名に拡張されている。リトルウッド-リチャードソン係数 M ( g , h ; f ) は、署名fが 2 N個の部分を持つように拡張されているが、g は偶数列の長さ ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ) に制限されている。この場合、式は次のようになる。

ここで、M _N ( g , h ; f ) は、 1 ≤ j ≤ | g |/2 に対して、2 j + 1 がfの行N + jより下には現れない、重みgのf / hの格子順列の数を数えます。

例: 特殊直交群SO( N )は、符号^{[2] [7] [15] [16]でラベル付けされた既約な通常表現と}スピン表現を持つ。

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$N = 2 nの場合;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$N = 2 n +1の場合。

f _{i は、}通常の表現ではZに、スピン表現では ½ + Zに取られます。実際、直交行列U が1 ≤ i ≤ nに対して固有値z _i ^{±1を持つ場合、対応する既約表現}π _fの指標は次のように与えられます。

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

N = 2 nであり 、

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

N = 2 n +1の場合。

SO( N )からSO( N  -1)への分岐規則は^[17]

N = 2 n  + 1 で あり、

N = 2 nの場合、差f _i  −  g _{i は}整数でなければなりません。

からまたはへの分岐規則は重複度が 1 なので、 N が小さくなるにつれて対応する既約な加数は最終的に 1 次元の部分空間で終了します。 このようにして、Gelfandと Tsetlin は、Gelfand–Tsetlin パターンと呼ばれる、交互に配置された署名のチェーンでラベル付けされた、またはの任意の既約表現の基底を得ることができました。Gelfand –Tsetlin 基底へのリー代数の作用の明示的な式は、Želobenko (1973) で与えられています。 具体的には、 について、次元を持つの既約表現の Gelfand-Testlin 基底は、複素球面調和関数によって与えられます。 ${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle U(N-1)}$${\displaystyle SO(N)}$${\displaystyle SO(N-1)}$${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle SO(N)}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle 2l+1}$ ${\displaystyle \{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}}$

残りの古典群 については、分岐はもはや重複度フリーではなくなり、そのため、VとW がの既約表現であり、絡み合うものの空間が1 より大きい次元を持つことができる場合。ルートヴィヒ・ファデーエフと共同研究者によって導入されたホップ代数であるヤンギアン は、この重複度空間に対して既約に作用することがわかり、この事実により、モレフ (2006) はゲルファント・ツェトリン基底の構築を に拡張することができました。^[18]${\displaystyle Sp(N)}$${\displaystyle Sp(N-1)}$${\displaystyle Sp(N)}$${\displaystyle Hom_{Sp(N-1)}(V,W)}$ ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$${\displaystyle Sp(N)}$

1937年にアルフレッド・H・クリフォードは、有限次元の既約表現を群Gから有限指数の正規部分群Nに制限することに関する次の結果を証明した。^[19]

定理。π : G GL( n , K ) を、 K が体である既約表現とします。すると、 πのNへの制限は、等しい次元のNの既約表現の直和に分解されます。これらのNの既約表現は、 Nの既約表現の同値類との共役により、Gの作用の 1 つの軌道上にあります。特に、異なる加数の数は、 Gにおける Nのインデックス以下です。 ${\displaystyle \rightarrow }$

20年後、ジョージ・マッキーは、局所コンパクト群の既約ユニタリ表現を閉じた正規部分群に制限するという、この結果のより正確なバージョンを発見しました。これは「マッキーマシン」または「マッキー正規部分群解析」として知られるようになりました。^[20]

圏論の観点から見ると、制限は忘却関手の一例です。この関手は正確で、その左随伴関手は帰納法と呼ばれます。さまざまなコンテキストでの制限と帰納法の関係は、フロベニウスの相互性と呼ばれます。帰納法と制限の操作を合わせると、表現を分析するための強力なツールセットが形成されます。これは、たとえば特性 0の体上の有限群の表現論など、表現が完全な還元可能性を持つ場合は特に当てはまります。

このかなり明白な構成は、多くの重要な方法で拡張することができる。例えば、包含写像の代わりに、HからGへの任意の群準同型写像 φ を取り、Hの制限された表現を合成によって 定義することができる。

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

この考え方は、抽象代数の他のカテゴリにも適用できます。たとえば、結合代数、環、リー代数、リー超代数、ホップ代数などです。表現またはモジュールは、サブオブジェクトに 制限されるか、準同型を介して制限されます。

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