リッテルマンパスモデル

数学において、リッテルマンパスモデルは、対称化可能なカッツ-ムーディ代数の表現論において、重複数を過剰に数えることなく計算するためのピーター・リッテルマンによる組合せ論的装置である。その最も重要な応用は、この記事で説明する複雑な半単純リー代数またはそれと同等のコンパクトな半単純リー群への応用である。既約表現、テンソル積、分岐規則における重複数は、リー代数の 単純根によってラベルが付けられた色付きの有向グラフを使用して計算できる。

リッテルマンのパスモデルは、量子群に関するカシワラとルスティグの研究から生まれた結晶基底の理論と、CS セシャドリとラクシュミバイの標準単項式理論との橋渡しとして開発され、各既約表現に、原点から重みまでのパスによって与えられる基底と、各単純ルートのパスに作用するルート演算子のペアを持つ有理ベクトル空間を関連付けます。これにより、量子群を使用してカシワラとルスティグが以前に発見した代数的および組み合わせ的構造を直接回復することができます。

ヘルマン・ワイルに遡る複素半単純リー代数やコンパクト半単純リー群の表現論における基本的な問題には次のようなものがある: ^{[1] [2]}

• 与えられた支配的な重み λに対して、最も高い重み λ を持つ既約表現 L (λ)の重みの多重度を見つけます。
• 2つの最も高い重みλ、μについて、それらのテンソル積L (λ) L (μ)を既約表現に分解します。${\displaystyle \otimes }$
• が半単純リー代数の放物型部分代数のレヴィ成分であるとする。与えられた支配的な最高重みλに対して、L ( λ )の制限をに分解するための分岐規則を決定する。^[3]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

(重みの多重度に関する最初の問題は、放物型部分代数がボレル部分代数である 3 番目の問題の特殊なケースであることに注意してください。さらに、レヴィの分岐問題は、特定の極限ケースとしてテンソル積問題に埋め込むことができます。)

これらの疑問に対する答えは、ヘルマン・ワイルとリチャード・ブラウアーによって明示的な特性式^[4]の結果として最初に示され、その後ハンス・フロイデンタール、ロバート・スタインバーグ、バートラム・コスタントの組み合わせ式が続きました。ハンフリーズ (1994) を参照してください。これらの式の不十分な特徴は、非負であることが事前にわかっている量の交互の和を含むことです。リッテルマンの方法は、これらの重複性を、過剰に数えることなく非負の整数の和として表現します。彼の研究は、一般線型リー代数_nまたは特殊線型リー代数_nに対するヤングの表に基づく古典的な結果を一般化しています。^{[5] [6] [7] [8]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

• 1901 年のIssai Schur博士の論文では、重み重複度は列厳密な Young タブロー (つまり、行に沿って右に弱増加し、列に沿って下がって厳密に増加する) に基づいて数えられるという結果が出ています。
• テンソル積分解と _{m + nからm n}への 分岐の両方を歪んだ表の格子順列によって記述する有名なリトルウッド-リチャードソン則。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$

他の古典的なリー代数に対して、過剰カウントを行わずに同様のアルゴリズムを見つけようとする試みは部分的にしか成功しなかった。^[9]

リテルマンの貢献は、すべての対称化可能なカッツ・ムーディ代数に適用できる統一的な組合せ論的モデルを与え、重み重複度、テンソル積規則、分岐規則に対する明示的な減算を必要としない組合せ論的公式を提供したことです。彼は、カルタン部分代数の重み格子によって生成されるQ上のベクトル空間V を導入することでこれを実現しました。原点と重みを結ぶV内の区分線形経路のベクトル空間上で、彼はの各単純根に対して一対の根演算子を定義しました。組合せ論的データは、単純根によってラベルが付けられた色付きの有向グラフにエンコードできます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リテルマンの主な動機^[10]は、表現論の2つの異なる側面を調和させることであった。

• シューベルト多様体の幾何学から生じるラクシュミバーイとセシャドリの標準的な単項式理論。
• 結晶基底は、柏原正樹とジョージ・ルスティグの 量子群へのアプローチから生まれた。柏原とルスティグは、形式的な変形パラメータqに依存する普遍包絡代数の変形の表現に対する標準基底を構築した。q = 0の退化したケースでは、これらは単純根に対応する演算子のペアとともに結晶基底を生成する。Ariki (2002) を参照。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

定義は異なるものの、結晶基底、そのルート演算子、および結晶グラフは、後にリッテルマンのパスモデルおよびグラフと同等であることが示されました。Hong & Kang (2002、p. xv) を参照してください。複素半単純リー代数の場合、リッテルマン (1997) にはルートシステムの特性のみに依存する単純化された自己完結型の説明があり、ここでもこのアプローチに従います。

P を半単純リー代数のカルタン部分代数の双対における重み格子とする。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リテルマンパスは区分線形写像である

${\displaystyle \pi :[0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$

π(0) = 0であり、π(1)は重みである。

( H _{α ) を、}単純根(α)によって形成される *の基底と双対な「コルート」ベクトルからなるの基底と します。 α が固定され、パス π の場合、関数は最小値Mを持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })}$

[0,1] Qの非減少自己写像lとrを次のように 定義する。${\displaystyle \cap}$

${\displaystyle l(t)=\min _{t\leq s\leq 1}(1,h(s)-M),\,\,\,\,\,\,r(t)=1-\min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M).}$

したがって、h ( s ) = Mとなる最後の時点まではl ( t ) = 0 であり、h ( s ) = Mとなる最初の時点以降はr ( t ) = 1 である。

新しいパス π _lと π _{r を}次のように 定義します。

${\displaystyle \pi _{r}(t)=\pi (t)+r(t)\alpha ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alpha }$

ルート演算子 e _αとf _{α は}基底ベクトル[π]上で次のように定義される。

• ${\displaystyle \displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}}$r (0) = 0の場合、それ以外の場合は0。
• ${\displaystyle \displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}}$l (1) = 1の場合は0、それ以外の場合は0。

ここでの重要な特徴は、パスが単項式表現のようにルート演算子の基底を形成することです。つまり、ルート演算子がパスの基底要素に適用されると、結果は 0 か別のパスの基底要素のいずれかになります。

をルート演算子によって生成される代数とする。π( t )を単純ルートによって定義される正のワイル箱内に完全に含まれる経路とする。CSセシャドリとラクシュミバイの経路モデルの結果を用いて、リッテルマンは以下を示した 。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• [π]によって生成される -モジュールはπ(1) = λのみに依存し、パス[σ]からなるQ -基底を持ちます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 積分可能な最高重み表現L (λ)における重みμの多重度は、σ(1) = μとなるパスσの数である。

ワイル群の経路[π]への作用もある。αが単純根でk = h (1) （hは上記）の場合、対応する反射s _αは次のように作用する。

• k = 0の場合、 s _α [π] = [π] ;
• k > 0の場合、 s _α [π]= f _α ^k [π] 。
• k < 0 の場合、 s _α [π]= e _α ^{– k} [π] 。

π が正のワイルチェンバー内に完全に含まれるパスである場合、リッテルマングラフは、演算子 f _{α を}π に連続的に適用することによって得られる非ゼロパスを頂点とする色付きの有向グラフとして定義されます。ターゲットパスがソースパスからf _{α を}適用することによって得られる場合、1 つのパスから別のパスへの単純なルート α でラベル付けされた有向矢印が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$

• 2 つのパスの Littelmann グラフは、パスが同じ終点を持つ場合にのみ、色付きの有向グラフとして同型です。

したがって、リッテルマン グラフは λ のみに依存します。柏原とジョセフは、それが結晶基底理論で柏原によって定義された「結晶グラフ」と一致することを証明しました。

π(1) = λの場合、 L (λ)の重みμの多重度は、 σ(1) = μであるリッテルマングラフの頂点数σです。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$

πとσを正のワイル箱内の経路とし、π(1) = λ、σ(1) = μとする。すると

${\displaystyle L(\lambda )\otimes L(\mu )=\bigoplus _{\eta }L(\lambda +\tau (1)),}$

ここでτはπτが完全に正のワイルチェンバー内にあるような経路にわたっており、連結πτ (t)はt≤1/2に対してπ(2t ) 、 t≥1 / 2に対してπ(1)+τ(2t - 1)と定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\sigma }}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star }$

が重み格子P ₁ Pを持つ放物型部分代数のレヴィ成分である場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \supset }$

${\displaystyle L(\lambda )|_{{\mathfrak {g}}_{1}}=\bigoplus _{\sigma }L_{{\mathfrak {g}}_{1}}(\sigma (1)),}$

ここで、和はに対して正のワイル箱内に完全に含まれるすべてのパス σ にわたって変化します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

• 結晶基礎