誘導表現

群論において、誘導表現は、部分群Hの既知の表現を使用して構築される群Gの表現です。 Hの表現が与えられた場合、誘導表現は、ある意味では、与えられた表現を拡張するGの「最も一般的な」表現です。より小さな群Hの表現を見つける方がGの表現を見つけるよりも簡単な場合が多いため、誘導表現を形成する操作は、新しい表現を構築するための重要なツールです。

誘導表現は、有限群の線型表現に対して、フロベニウスによって最初に定義されました。この考え方は有限群の場合に限定されるわけではありませんが、その場合の理論は特に扱いやすいものです。

G を有限群、H をGの任意の部分群とする。さらに、 ( π , V )をHの表現とする。n = [ G  : H ] をGにおけるHの添え字とし、g ₁ , ..., g _{n を}G / Hの左剰余類のGにおける代表の完全な集合とする。誘導表現Ind^GH
_​ π は次の空間に作用すると考えることができます。

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

ここで、各g _i  V はベクトル空間Vの同型コピーであり、その要素はv ∈ Vでg _i  vと書き表されます。Gの各gと各g _iに対して、 Hのh _iと{1, ..., n } のj ( i )が存在し、 g g _i = g _{j ( i )} h _iとなります 。(これは、 g ₁ , ..., g _{n が}代表の完全な集合であるということを別の言い方で表したものです。) 誘導表現を介して、G はWに次のように作用します。

${\displaystyle g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}}$

ここで、各iについて。 ${\displaystyle v_{i}\in V}$

あるいは、スカラーの拡張によって誘導表現を構成することもできる。 群Hの任意のK線型表現は、群環K [ H ]上の加群Vとして見ることができる。そして、次のように定義できる。 ${\displaystyle \pi}$

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

この後者の式はIndを定義するためにも使用できる。^GH
_​ π は任意の群Gと部分群Hに対して成り立ち、有限性は要求されない。 ^[1]

任意の群について、自明な部分群の自明な表現の誘導表現は、右正規表現です。より一般的には、任意の部分群の自明な表現の誘導表現は、その部分群の剰余類上の置換表現です。

1 次元表現の誘導表現は、単項式行列として表現できるため、単項式表現と呼ばれます。一部の群は、すべての既約表現が単項式であるという特性を持ち、いわゆる単項式群です。

H が群Gの部分群である場合、GのすべてのK線型表現ρ はHのK線型表現と見なすことができます。これはρのHへの制限として知られ、 Res(ρ)と表記されます。有限群と有限次元表現の場合、フロベニウスの相互定理は、Hの表現σとGのρ が与えられたとき、 σからRes( ρ )へのH同値線型写像の空間は、K上でInd( σ )からρへのG同値線型写像の次元と同じ次元を持つことを述べています。^[2]

誘導表現の普遍的性質は、無限群にも有効であり、相互性定理で主張される随伴性と同等である。 がHの表現であり、が によって誘導されるGの表現である場合、次の性質を持つH同変線型写像が存在する: Gの任意の表現(ρ, W )とH同変線型写像が与えられたとき、を持つ唯一のG同変線型写像が存在する。言い換えると、は次の図式を可換にする唯一の写像である: ^[3]${\displaystyle (\sigma ,V)}$${\displaystyle (\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle j:V\to {\hat {V}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {V}}\to W}$${\displaystyle {\hat {f}}j=f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

フロベニウスの公式によれば、χ が表現σの指標で、χ ( h ) = Tr σ ( h )で与えられる場合、誘導表現の 指標ψ は次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),}$

ここで、和はGにおけるHの左剰余類の代表の系上で取られ、

${\displaystyle {\widehat {\chi}}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{if }}k\in H\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Gが局所コンパクト 位相群（無限大の場合もある）であり、 H が閉部 分群である場合、誘導表現の一般的な解析的構成が存在する。( π , V )をヒルベルト空間VへのHの連続ユニタリ表現とする。すると、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ すべての }}h\in H,\;g\in G{\text{ および }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\} に対して。}$

ここでφ∈ L ² ( G / H )は、空間G / Hが適切な不変測度を持ち、 φ( g )のノルムがH の各左剰余類上で一定であるため、これらのノルムの2乗をG / H上で積分して有限の結果を得ることができることを意味します。群G は誘導表現空間に平行移動によって作用します。つまり、g,x ∈ Gおよびφ∈Indに対して( g .φ)( x )=φ( g ⁻¹ x )です。^GH
_​ π。

この構成は、必要なアプリケーションに合わせてさまざまな方法で変更されることがよくあります。一般的なバージョンは正規化帰納法と呼ばれ、通常は同じ表記法を使用します。表現空間の定義は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ および }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}。}$

ここで、Δ _G、Δ _{H は}それぞれGとHのモジュラー関数です。正規化因子を追加することで、この誘導関数はユニタリ表現をユニタリ表現に変換します。

帰納法のもう 1 つのバリエーションは、コンパクト帰納法と呼ばれます。これは、コンパクト サポートを持つ関数に制限された標準的な帰納法です。正式には ind で表され、次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.}$

G / Hがコンパクトであれば、Ind と ind は同じ関数であること に注意してください。

Gが位相群で、H がGの閉部 分群であるとします。また、π がベクトル空間V上のHの表現であるとします。このとき、G は積G × Vに対して次のように作用します 。

${\displaystyle g.(g',x)=(gg',x)}$

ここでgとg ′はGの要素であり、xはVの要素である。

G × V上の 同値関係 を定義する

${\displaystyle (g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.}$

の同値類を で表す。この同値関係はGの作用に対して不変であることに注意する。したがって、G は( G × V )/~ に作用する。後者は、 Hを構造群、Vをファイバーとする商空間G / H上のベクトル束である。Wをこのベクトル束の切断空間とする。これは、誘導表現Ind の基礎となるベクトル空間である。${\displaystyle (g,x)}$${\displaystyle [g,x]}$ ${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$^GH
_​ π。群Gは次のように与えられる断面に作用します。 ${\displaystyle \phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}}$${\displaystyle gH\mapsto [g,\phi _{g}]}$

${\displaystyle (g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.}$

局所コンパクト群のユニタリ表現の場合、帰納的構成は非原始性システムの観点から定式化できます。

リー理論において、極めて重要な例として放物型帰納法が挙げられます。これは、その放物型部分群の表現から簡約群の表現を帰納するものです。これは、カスプ形式の哲学を経て、ラングランズ・プログラムにつながります。

• 制限された表現
• 非線形実現
• フロベニウスの指標式

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