還元的双対

数学の表現論の分野において、簡約的双対とは、シンプレクティックベクトル空間Wの等長変換群Sp( W )の部分群のペア( G、G ′)であり、GはSp( W ) におけるG ′の中心化群であり、逆もまた同様であり、これらの群はWに簡約的に作用する。もう少し緩く言えば、2 つの群がより大きな群 (多くの場合、一般線型群)の相互の中心化群である場合には常に双対と呼ばれる。この概念は、ロジャー ハウによって Howe (1979) で導入された。古典不変理論との強い結びつきはHowe (1989a) で説明されている。

• 完全なシンプレクティック群G  = Sp( W ) と 2 元群G ′ ( Sp( W ) の中心)は、簡約双対を形成する。二重中心化特性は、これらの群の定義方法から明らかである。すなわち、Gにおける群Gの中心化はその中心であり、任意の群の中心の中心化は群そのものである。群G ′ は恒等変換とその負から成り、1 次元ベクトル空間の直交群として解釈できる。その後の理論の発展から、この対は、シンプレクティック群と直交群からなる双対の一般族の最初の例であり、タイプ I の既約簡約双対として知られていることが明らかになった。
• X をn次元ベクトル空間、Y をその双対、W をXとYの直和とします。すると、W は自然な方法でシンプレクティックベクトル空間にすることができ、 ( X , Y )はそのラグランジアン分極になります。群Gは一般線型群 GL( X ) であり、Xにはトートロジー的に作用し、Yには逆スカラー λ による乗算によってXに作用し、 Yにはその逆スカラー λ ⁻¹による乗算によって作用する、 W上の線型作用素から構成されます。すると、 G ′ の中心化はGであり、これら2つの群はWに完全に簡約的に作用し、したがって簡約双対ペアを形成します。群G ′ は、1 次元ベクトル空間の一般線型群として解釈できます。このペアは、タイプ II 既約簡約双対として知られる一般線型群で構成される双対のファミリーのメンバーです。

簡約双対の概念は任意の体 F上で意味を持ち、体 F は全体にわたって固定されていると仮定します。したがって、W はF上のシンプレクティックベクトル空間です。

W ₁とW _{2 が}2 つのシンプレクティックベクトル空間で、( G ₁ , G ′ ₁ )、( G ₂ , G ′ ₂ ) が対応するシンプレクティック群の 2 つの簡約双対である場合、新しいシンプレクティックベクトル空間W = W 1 _⊕ W 2_{と、等長変換によって}Wに作用するグループのペアG = G ₁ × G ₂、G ′ = G ′ ₁ × G ′、_{2を形成できます。(} G、G ′) は簡約双対であることがわかります。簡約双対は、より小さなグループからこのようにして得られる場合は簡約可能と呼ばれ、そうでない場合は既約と呼ばれます。簡約可能なペアは既約不可能なペアの直積に分解でき、多くの目的では、既約なケースに注意を限定するだけで十分です。

アンドレ・ヴェイユの研究で、いくつかのクラスの簡約双対が以前に登場していた。ロジャー・ハウは分類定理を証明した。これは、既約なケースではそれらのペアがすべての可能性を使い尽くすというものである。 Sp( W ) の既約な簡約双対 ( G , G ′) は、 W内にGとG ′ の両方で不変なラグランジアン部分空間Xが存在する場合、タイプ IIであるとされ、そうでない場合はタイプ Iであるとされる。

タイプ II の典型的な既約な簡約双対は、一般線型群のペアで構成され、次のように生成されます。UとV をF上の 2 つのベクトル空間、X = U ⊗ _F Vをそれらのテンソル積、Y = Hom _F ( X , F ) をその双対とします。すると、直和W = X ⊕ Yにシンプレクティック形式が付与され、XとY はラグランジアン部分空間となり、シンプレクティック形式のX × Y ⊂ W × Wへの制限は、ベクトル空間Xとその双対Yのペアリングと一致する。G  = GL( U )かつG ′ = GL( V ) の場合、これらのグループは両方ともXとYに線型に作用し、作用はW上のシンプレクティック形式を保存し、 ( G , G ′) は既約な簡約双対になります。X は不変ラグランジアン部分空間であるため、この双対はタイプ II であること に注意してください。

タイプ I の典型的な既約な簡約双対は直交群とシンプレクティック群から成り、同様に構築されます。U を直交ベクトル空間、V をF上のシンプレクティックベクトル空間とし、W = U ⊗ _F V をそれらのテンソル積とします。重要な観察は、Wがシンプレクティックベクトル空間であり、その双線型形式はテンソル因子上の形式の積から得られるということです。さらに、G  = O( U ) とG ′ = Sp( V ) がUとVの等長変換群である場合、それらはWに自然な方法で作用し、これらの作用はシンプレクティックであり、 ( G , G ′) はタイプ I の既約な簡約双対です。

これら 2 つの構成は、複素数体Cのような代数的に閉じた体 F上のすべての既約な簡約双対を生成する。一般に、 F 上のベクトル空間をF上の除算代数D上のベクトル空間で置き換え、上記と同様に進めてタイプ II の既約な簡約双対を構成することができる。タイプ I では、反転 τ を持つ除算代数D、U上のエルミート形式、およびV上の歪エルミート形式(どちらも非退化) から始めて、D上のテンソル積W = U ⊗ _D Vを形成する。すると、W は自然にF上のシンプレクティックベクトル空間の構造を与えられ、UとVの等長変換群はWにシンプレクティックに作用してタイプ I の既約な簡約双対を形成する。ロジャー・ハウは、同型を除いて、あらゆる既約双対がこのように生じることを証明した。F  =  Rの場合の明示的なリストはHowe（1989b）に掲載されています。

• 簡約双対の要素の表現間のハウ対応。
• ハイゼンベルク群
• メタプレクティックグループ

• Howe, Roger E. (1979)、「θ 級数と不変理論」(PDF)、Borel, Armand、Casselman, W. (編)、保型形式、表現、および L 関数 (Proc. Sympos. Pure Math.、オレゴン州立大学、コーバリス、オレゴン州、1977)、第 1 部、Proc. Sympos. Pure Math.、XXXIII、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 275–285、ISBN 978-0-8218-1435-2、MR  0546602
• ハウ、ロジャー E. (1989a)、「古典的不変理論に関する考察」、アメリカ数学会誌、313 (2)、アメリカ数学会: 539–570、doi : 10.2307/2001418、JSTOR  2001418。
• ハウ、ロジャー E. (1989b)、「古典的不変理論の超越」、アメリカ数学会誌、2 (3)、アメリカ数学会: 535–552、doi : 10.2307/1990942、JSTOR  1990942。
• グッドマン、ロー、ウォラック、ノーラン R. (1998)、古典群の表現と不変量、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-66348-2。