双錐体

幾何学において、両錐（びょうすい、dipyramid）は、2 つの錐を底辺同士で結合して形成される多面体である。各錐の多角形の底辺は、したがって同じでなければならず、特に指定がない限り、底辺の頂点は通常同一平面上にあり、両錐は通常対称形である。つまり、2 つの錐は、共​​通の底辺面を挟んで鏡像関係にある。両錐の各頂点（複数形は apices、底辺から外れた頂点）が底辺に垂直で中心を通る線上にある場合、それは直両錐であり、^[a]そうでない場合は斜角錐である。底辺が正多角形である場合、その両錐は正多角形とも呼ばれる。

双角錐は、同じ多角形の底辺を共有する 2 つの角錐を結合して構築される多面体です。^[1]角錐は、底辺の各頂点を、底辺の平面上にない1 つの新しい頂点(頂点) に接続することによって構築され、 n角形の底辺は底辺に加えてn個の三角形の面を形成します。したがって、 n角形双角錐には2 n 個の面、3 n 個の辺、およびn + 2個の頂点があります。 より一般的には、直角錐とは、出典に応じて、任意の多角形の重心または接線多角形の内心を通る垂線上に頂点がある角錐のことである。 ^[a]同様に、直角双角錐は、2つの対称な直角双角錐の底辺を結合して構成される多面体である。頂点がこの線上にない双角錐は斜双角錐と呼ばれる。^[2]

2 つの角錐が鏡像になっている場合、その双角錐は対称と呼ばれます。底辺が正多角形の場合は正角錐と呼ばれます。^[1]底辺が正多角形で頂点が中心を通る垂線上にある場合 (正直角双角錐)、そのすべての面は二等辺三角形です。双角錐という名前は、特に対称正直角双角錐を指すこともあります。^[3]このような双角錐の例には、三角双角錐、八面体(正角双角錐)、五角双角錐があります。すべての辺の長さが等しい場合、これらの形状は正三角形の面で構成され、デルタ面体になります。^{[4] [5]}三角双角錐と五角双角錐はジョンソン立体であり、正八面体はプラトン立体です。^[6]

対称正直角両錐体は、4 n の位数の二面体対称群D _nhを持つ柱状対称性を持ちます。回転しても変化しません。 1/ん⁠対称軸の周りの回転、両頂点と底辺の頂点または両頂点と底辺の中心を通る平面を挟んで反射、または鏡面を挟んで反射。 ^[7]これらの対称変換の下で面が推移的であるため、等面体である。 ^{[8] [9]これらは}プリズムの双対多面体であり、プリズムは双錐体の双対でもある。双錐の頂点はプリズムの面に対応し、一方の頂点のペア間の辺はもう一方の面のペア間の辺に対応し、その逆もまた同様である。 ^[10]プリズムは双錐と同じ対称性を共有している。 ^[11]正八面体は、底辺と頂点が区別できず、反射や回転によって交換できるため、さらに対称的である。正八面体とその双対である立方体は八面体対称性を持つ。 ^[12]

対称双角錐の体積は、底面積を B 、底辺からいずれかの頂点までの垂直距離を h とすると、次の式で表されます 。辺の長さ がsで高さがhの正n辺多角形の場合、このような双角錐の体積は次の式で表されます。 $${\displaystyle {\frac {2}{3}}ふ、}$$$${\displaystyle {\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$$

凹型双角錐は、凹多角形の底を持ち、一例としては、凹型四角形双角錐や不規則な凹型八面体があります。任意の多角形の底を持つ双角錐は、頂点が底辺の重心を通る底辺に垂直な線上にある場合、直角双角錐と見なすことができます。

非対称双角錐の頂点は底面に対して鏡映されていません。正双角錐の場合、これは各頂点が底面から異なる距離にある場合にのみ発生します。

非対称直角n角双錐台の双対はn角錐台です。

正則非対称直n角双錐には、 2 n次の対称群C _{n v が}あります。

等軸直角（対称）二n角形双錐体は、等軸の平坦な多角形の底を持つ直角（対称）2 n角形双錐体です。2 n個の底頂点は同一平面上にありますが、2 つの半径で交互に配置されます。

すべての面は合同な 不等辺三角形で、等面体です。等軸の平らな多角形の底面を持つ、 右対称の二角形不等辺面体の別のタイプとして見ることができます。

等軸直角（対称）二次元n角錐には、反対の底頂点を通るn本の 2 回転軸、反対の頂点を通るn本の反射平面、頂点を通るn回転軸、底を通る反射平面、および頂点を通るn回転回転反射軸があり、^[13]は対称群D _{n h} , [ n ,2], (*22 n )、次数4 nを表します。（底平面についての反射は、0°回転反射に対応します。n が偶数の場合は、中心について反転対称性があり、 180°回転反射に対応します。）

2 n = 2×3の例:

等軸直角（対称）二三角両錐体には、（垂直）3回回転軸で交差する3つの相似な垂直対称面があります。それらに垂直なのは、4番目の対称面（水平）です。3つの垂直面と水平面の交差点には、3つの相似な（水平）2回回転軸があります。反転対称の中心はありませんが、^[14]対称の中心、つまり4つの軸の交差点はあります。

2 n = 2×4の例:

等軸直角（対称）二四角両錐体には、2種類の対称垂直面が4つあり、（垂直）4回回転軸で交差しています。それらに垂直なのは、5番目の対称面（水平）です。4つの垂直面と水平面の交点には、2種類の（水平）2回回転軸が4つあり、それぞれが対称面に垂直です。2つの垂直面は、2つの水平軸の間の角度を二等分します。反転対称中心があります。^[15]

二重の例:

• 等軸2×2角形の底辺頂点U、U'、V、V'、右対称頂点A、A'を持つ双錐体の面は二等辺です。実際、 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{整列}}}$$
  • ベースエッジの長さ:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;}$$
  • 下端のエッジの長さ（上端の長さと同じ）:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}}$$

• 同じ底辺頂点を持ち、右対称の頂点を持つ双角錐も、その面は二等辺です。実際、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}& ={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}}$$
  • ベースエッジの長さ（前の例と同じ）:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\, ;}$$
  • 下端のエッジの長さ（上端の長さと同じ）:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}}$$

結晶学では、等軸正（対称）二角錐^（ 8面体）、二三角錐（12面体）、二四角錐（16面体）、二六角錐（24面体）の両錐体が存在する。^{[13] [16]}

偏角面体は双錐体に似ていますが、偏角面体は中央の縁がジグザグ模様になっているのが違いです。^[17]

2つの頂点と2nの基底頂点、4nの面、6nの辺を持ち、位相的には2n角錐と同一であるが、 2nの基底頂点が中心の上下の2つのリングで交互に並んでいる。^[16]

すべての面は合同な 不等辺三角形で、等面体です。規則的なジグザグの斜め多角形の底面を持つ、 右対称の二角錐の別のタイプとして見ることができます。

正右対称の二角形スケルノヘドロンは、反対の基底中央辺を通るn本の 2 回転軸、反対の頂点辺を通るn 本の反射平面、頂点を通るn回転軸、および頂点を通る2 n回転回転反射軸（これを中心に1 n 回の回転反射で立体が全体的に保存される）を持ち、^[13]は4 n次対称群D _{n v} = D _{n d} , [2 ⁺ ,2 n ], (2* n )を表します。（nが奇数の場合、 180°回転反射に対応して、中心の周りに反転対称性があります。）

2 n = 2×3の例:

正三角形の対称な二角形スケレノヘドロンは、互いに60°傾き、（垂直の） 3倍回転軸で交差する3つの相似な垂直対称面、対称面に垂直な3つの相似な水平2倍回転軸、反転対称中心^[18]、および垂直の6倍回転反射軸を持っています。

2 n = 2×2の例:

正三角形の対称な二角形スケレノヘドロンは、垂直方向に1つの2倍回転軸、水平方向に2つの2倍回転軸、水平方向の軸のペア間の角度を二等分する2つの垂直対称面、および垂直方向の4倍回転反射軸のみを持ちます。^[19]反転対称中心はありません。

このような不等辺面体の面の特定の値のうち、最大 2 つが二等辺である可能性があります。 ${\displaystyle z_{A}=|z_{A'}|,}$

二重の例:

• 正ジグザグに歪んだ2×2角形の底辺頂点U、U'、V、V'と右対称の頂点A、A' を持つ不等辺三角面体は、その面が二等辺です。実際、 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}}$$
  • ベースエッジの長さ:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;}$$
  • 下側の頂点の長さ（上側の端の長さを入れ替えたものに等しい）:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}}$$

• 同じ底辺頂点を持ち、右対称の頂点を持つ不等辺三角面体も、その面は二等辺です。実際、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}}$$
  • ベースエッジの長さ（前の例と同じ）:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;}$$
  • 下側の頂点の長さ（上側の端の長さを入れ替えたものに等しい）:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}}$$

結晶学では、規則的に右対称な二面体（8面体）と二三面体（12面体）の斜角面体が存在する。^{[13] [16]}

最小の幾何学的偏角面体は8つの面を持ち、位相的には正八面体と同一である。この場合（2n =2×2）、結晶学では、正右対称二面体（8面体）偏角面体は正四方偏角面体と呼ばれる。^{[13] [16]}

ここ では、 h = r、すなわち となる正規右対称8面不等辺面体に注目します。その 2 つの頂点はA、A'、4 つの基底頂点はU、U'、V、V' で表すことができます。 ここで、z は0から1までのパラメータです。 $${\displaystyle z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}}$$

z = 0では、正八面体です。z = 1では、 4 組の共平面があり、これらを 4 つの合同な二等辺三角形に統合すると、二蝶形になります。 z > 1では、凹面になります。

2 n角形の底辺が等軸内外かつジグザグ傾斜である場合、等軸右対称偏角面体のすべての面が合同になるわけ ではありません。

5 つの異なるエッジ長さの例:

• 等軸の内外ジグザグの斜め2×2角形の底頂点U、U'、V、V'と右対称の頂点A、A' を 持つ不等辺面体は、不等辺の上部面と不等辺の下部面が合同ですが、すべての面が合同というわけではありません。実際、 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}}$$
  • ベースエッジの長さ:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;}$$
  • 下端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}}$$

z _A = | z _A' |の特定の値の場合、このような不等辺面の面の半分は二等辺または正辺になることがあります。

3 つの異なるエッジ長さの例:

• 等軸のジグザグ斜め2×2角形の底頂点U、U'、V、V'と右対称の頂点A、A' を 持つ不等辺面体は、不等辺の上面が合同で、下面が正二辺形である。したがって、すべての面が合同というわけではない。実際、 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}}$$
  • 上端の頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}}$$
  • ベースエッジの長さ:$${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;}$$
  • 下端頂点の長さ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}}$$

星型双錐台は星型の多角形の底を持ち、自己交差している。^[20]

正三角形の正三角形対称の星型二角錐は、合同な 二等辺三角形の面を持ち、等面体です。

p / q両錐体にはコクセター図がある 。

各凸正則 4 次元多面体の正則化の双対は、両錐セルを持つセル推移4 次元多面体です。以下では、

• A は両錐体の頂点です。
• E は赤道頂点です。
• EE は赤道上の隣接する頂点間の距離です (1 に等しい)。
• AE は頂点から赤道までの辺の長さです。
• AA は頂点間の距離です。

双角錐4次元多面体には、N _A双角錐の頂点が交わる場所にV _{A頂点があります。N E}双角錐のE型頂点が交わる場所にV _E頂点があります。

• ⁠ ⁠${\displaystyle N_{\overline {AE}}}$双錐体は各AEタイプのエッジに沿って交わります。
• ⁠ ⁠${\displaystyle N_{\overline {EE}}}$双錐体は各EEタイプのエッジに沿って接合します。
• ⁠ ⁠ は、${\displaystyle C_{\overline {AE}}}$AEエッジに沿った二面角の余弦です。
• ⁠ ⁠ は、${\displaystyle C_{\overline {EE}}}$EEエッジに沿った二面角の余弦です。

細胞は端に沿って収まる必要があるため、 $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}}$$

一般化されたn次元「双錐体」は、超平面上に位置する ( n − 1) 多面体の底から構成される任意の n 多面体であり、すべての底辺頂点は辺によって2つの頂点に接続されています。( n − 1)多面体が正多面体であり、頂点が底辺超平面に垂直な線に沿って中心から等距離にある場合、その多面体は同一の錐面を持ちます。

直角対称の両錐の 2 次元類似体は、2 つの合同な 二等辺三角形を底辺同士で結合して菱形を形成することによって形成されます。より一般的には、凧は(非対称の場合もある) 直角双錐の 2 次元類似体であり、任意の四辺形は一般的な両錐の 2 次元類似体です。

• トラペゾヘドロン

• アンソニー・ピュー（1976年）。『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。第 4 章: アルキメデスの多面体の双対、プリズムと反プリズム
• スペンサー、レナード・ジェームズ(1911)。「結晶学」 。ヒュー・チザム(編) 著。ブリタニカ百科事典第 7 巻 (第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。pp. 569–591。

ウィキメディア・コモンズには、双錐体に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「Dipyramid」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「等面体」。MathWorld。
• 均一な多面体
• バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典
  • VRMLモデル（ジョージ・ハート） <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
    • 多面体のコンウェイ表記法 試してください: "dP n "、ここでn = 3、4、5、6、... 例: "dP4" は八面体です。