尖頭表現

数論において、尖頭表現は、空間に離散的に現れる代数群の特定の表現である。尖頭という用語は、ある程度の距離を置いて、古典的なモジュラー形式理論の尖頭形式から派生したものである。保型表現の現代的な定式化では、表現が正則関数の代わりとなる。これらの表現は、アデル代数群の表現である可能性がある。 ${\displaystyle L^{2}}$

群が一般線型群 である場合、尖頭表現は尖頭形式およびマース形式に直接関連します。尖頭形式の場合、各ヘッケ固有形式（新形式）は尖頭表現に対応します。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$

G を数体K上の簡約代数群とし、A を K のアーデルとする。群G ( K )は、すべての (有限および無限の) 素数pに対してg = g _pとなるG ( A ) の組 ( g _p ) _pにG ( K )のg を送ることで、群G ( A ) に対角的に埋め込まれる。Z を Gの中心とし、ωをZ ( K ) \ Z( A ) × から C × への連続ユニタリ指標とする。G ( A )にハール^測度を^固定し、L 2 0 ( G ( K ) \ G ⁽ _A ) , ω )を G ( A )上の複素数値可測関数 f のヒルベルト空間とし、次式を満たすもの とする。

1. f (γ g ) = f ( g ) （すべての γ ∈ G ( K )に対して）
2. f ( gz ) = f ( g )ω( z ) （すべてのz ∈ Z ( A )に対して）
3. ${\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }$
4. ${\displaystyle \int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}$G ( A )のすべての適切な放物型部分群のすべての単元根Uとg ∈ G ( A )に対して。

ベクトル空間 L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω) は、 G ( A )上の中心特性 ω を持つ尖点形式の空間と呼ばれます。このような空間に現れる関数は尖点関数と呼ばれます。

尖角関数は、fの右平行移動によって生成される複素ヒルベルト空間上の群G ( A ) のユニタリ表現を生成する。ここで、g ∈ G ( A )の作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle V_{f}}$

${\displaystyle (g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}}$。

中心特性ωを持つカスプ形式の空間はヒルベルト空間の直和に分解される。

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi } )}m_{\pi }V_{\pi }}$

ここで、和はL ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω)の既約部分 表現についてであり、 m _{π は}正の整数です（つまり、各既約部分表現は有限重複で発生します）。G ( A )の尖頭表現は、あるωに対するそのような部分表現 ( π , V _π ) です。

重複度m _{π が}すべて 1に等しい群は、重複度 1 の性質を持つと言われています。

• ジャケモジュール

• James W. Cogdell、Henry Hyeongsin Kim、Maruti Ram Murty。保型 L 関数に関する講義(2004)、講義 2 のセクション 5。