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数学において、非アーベル類体理論はキャッチフレーズであり、任意の数体Kのアーベル拡大に関する比較的完全で古典的な結果の集合である類体理論の結果を、一般のガロア拡大L / Kに拡張することを意味します。類体理論は 1930 年までに本質的に知られていましたが、対応する非アーベル理論は決定的で受け入れられた意味で定式化されることはありませんでした。[1]
歴史
類体論を群コホモロジーの観点から表現することは、主に 1940 年代に、クロード・シュヴァレー、エミール・アルティンらによって行われた。この結果、イデアル類群の群コホモロジーを用いて中心的な結果が定式化された。コホモロジー的アプローチの定理は、L / Kのガロア群 Gがアーベル群であるかどうかとは無関係である。この理論は、求められている非アーベル群とは見なされたことがなかった。その第一の理由は、ガロア拡大における素イデアルの分割に関する新しい情報を提供しなかったことである。非アーベル類体論の目的を説明する一般的な方法は、そのような分割パターンをより明示的に表現する方法を提供することである。[2]
そのため、コホモロジー的アプローチは、非可換類体理論を定式化する場合にも限られた用途しか持たなかった。その歴史の背景には、ディリクレ級数を使わずに類体理論の証明を書きたいという、言い換えればL 関数を排除したいというシュヴァレーの願いがあった。類体理論の中心定理の証明の最初の波は、2 つの「不等式」 (現在与えられているガロア理論の基本定理の証明と同じ構造だが、はるかに複雑) で構成されるものであった。2 つの不等式のうちの 1 つは、L 関数に関する議論を含んでいた。[3]
この発展の後の逆転において、アルティンの相互性を非可換なケースに一般化するには、アルティンのL関数を表現する新しい方法を探すことが実際に不可欠であることが認識されました。この野望の現代的な定式化は、ラングランズ・プログラムによるものです。このプログラムでは、アルティンのL関数が保型表現のL関数でもあると信じる根拠が与えられています。[4] 21世紀初頭の時点で、これは非可換類体理論 の概念の定式化であり、専門家の間で最も広く受け入れられています。[5]
参照
注記
- ^ 非アーベルガロア群を持つ正規拡大に対する非アーベル類体理論の作成の問題は残る。Kuz'min , LV (2001) [1994]、「類体理論」、数学百科事典、EMS Pressより。
- ^統計レベルでは、ディリクレの 等差数列における素数に関する古典的な結果は、チェボタリョフの密度定理に一般化されます。求められているのは、二次の相互性と同じ範囲の一般化です。
- ^ 今日の用語では、これが第二の不平等です。現代の表現については、階級形成を参照してください。
- ^ James W. Cogdell 著「Functoriality, Converse Theorems and Applications」(PDF) では、Functoriality 自体が、ラングランズの非可換類体理論のビジョンの現れであると述べられています。
- ^ 非アーベル体拡大の相互法則と記号の問題は、非アーベル類体理論とラングランズ計画にもっと適切に当てはまる。Hazewinkel , M. (2001) [1994]、「ヒルベルト問題」、数学百科事典、EMS Pressより