ε-二次形式

数学、特に二次形式の理論において、ε二次形式は、二次形式を歪対称設定および* 環に一般化したものである。対称または歪対称の場合はそれぞれε = ±1である。特に手術理論の文脈では、これらは -二次形式とも呼ばれる。 ${\displaystyle (-)^{n}}$

関連する概念としてε対称形式があり、これは対称形式、歪対称形式（=シンプレクティック形式）、エルミート形式、歪エルミート形式を一般化します。簡単に言うと、2次形式、歪2次形式、対称形式、歪対称形式を指します。ここで、「歪」は（−）を意味し、*（反転）が暗黙的に含まれています。

理論は 2 局所的である: 2 から離れると、ε二次形式はε対称形式と同値になる: 対称化写像の半分 (下図) は明示的な同型を与える。

ε対称形式とε二次形式は以下のように定義される。^[1]

*-環R上の加群Mが与えられ、B ( M ) をM上の双線型形式の空間とし、T  : B ( M ) → B ( M )を「共役転置」反転B ( u , v ) ↦ B ( v , u )* とします。 −1 による乗算も反転であり、線型写像と可換であるため、 − Tも反転です。したがって、ε = ±1と書くことができ、εTは反転、つまりTまたは − Tのいずれかです( ε は ±1 よりも一般的になる場合があります。以下を参照)。ε対称形式をεTの不変量として定義し、ε二次形式を共変量とします。

正確な順序としては、

${\displaystyle 0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\stackrel {1-\varepsilon T}{\longrightarrow }}B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)\to 0}$

カーネルとコカーネルとして、

${\displaystyle Q^{\varepsilon }(M):={\mbox{ker}}\,(1-\varepsilon T)}$

${\displaystyle Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}}\,(1-\varepsilon T)}$

表記Q ^ε ( M )、Q _ε ( M ) は、群作用（ここでは位数 2 の群（反転）） の不変量と共変量の標準表記M ^G、M _{Gに従います。}

包含写像と商写像（ 1 − εTは除く）を合成すると、写像Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) が得られる。すなわち、すべてのε対称形式はε二次形式を決定する。 ${\displaystyle Q^{\varepsilon }(M)\to B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)}$

逆に、逆準同型写像"1 + εT ": Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M )を定義できます。これは対称形式を生成するため対称化写像と呼ばれます。これは、2次形式の任意のリフトを取り、それに1 + εTを掛けることによって行われます。これは、 (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T ² = 0であるため対称形式であり、核内にあります。より正確には、 です。写像は同じ式によって明確に定義されます。異なるリフトを選択すると、 (1 − εT )の倍数が追加されますが、これは1 + εTを掛けると消えます。したがって、すべてのε 2次形式はε対称形式を決定します。 ${\displaystyle (1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)}$

これら 2 つの写像をどちらの方法でも合成すると、_Q ε ⁽ M ) → Q ε ⁽ M ) → Q _ε ( M )またはQ ε ( M ) → Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M )となり、2 がRで逆数である場合、これらの写像は全単射となり、その逆は 1/2 の乗算で与えられます。

ε二次形式ψ ∈ Q ε ₍ M )は、関連するε対称形式(1 + εT )( ψ )が非退化で ある場合に非退化と呼ばれます。

* が自明な場合、ε = ±1となり、「2 から離れる」とは 2 が逆数であることを意味します: 1/2 ∈ R。

より一般的には、ε ∈ Rに対して、 ε * ε = 1となる任意の元を取ることができます。ε = ±1 は常にこれを満たしますが、単位ノルムの複素数など、ノルムが 1 の任意の元も同様です。

同様に、非自明な * が存在する場合、λ * + λ = 1となるような元λ ∈ Rが存在するなら、ε対称形式はε二次形式と同値です。 * が自明であれば、これは2 λ = 1またはλ = 1/2と同値ですが、 * が非自明であれば、複数のλが存在する可能性があります。たとえば、複素数上で実部が 1/2 である任意の数はそのようなλです。

たとえば、複素共役を持つ環（二次形式2 x ² − 2 x + 1の整列格子）には、そのような元が 2 つありますが、1/2 ∉ Rです。 ${\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]}$${\displaystyle \lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}}$

行列の観点から見ると（V は2 次元とします）、* が自明であれば次のようになります。

• 行列は双線型形式に対応する${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$
• 対称行列の部分空間は対称形式に対応する${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$
• (−1)対称行列の部分空間はシンプレクティック形式に対応する${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}}$
• 双一次形式は二次形式となる${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,}$、

• 2次形式から対称形式への写像1 + T${\displaystyle ex^{2}+fxy+gy^{2}}$

を にするには、たとえば を に持ち上げてからを転置して にします。二次形式に戻すと、元の の 2 倍になります。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}}$${\displaystyle 2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})}$

が複素活用の 場合、${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$

• 対称行列の部分空間はエルミート行列である ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}}$
• 歪対称行列の部分空間は歪エルミート行列である ${\displaystyle {\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}}$

ε二次形式を直感的に理解する方法は、それを関連するε対称形式の二次改良として考えることです。

たとえば、一般体または環上のクリフォード代数を定義する場合、対称形式と二次形式から得られる関係でテンソル代数を割ります。vw + wv = 2 B ( v , w )および。2 が可逆である場合、この 2 番目の関係は最初の関係から従います (二次形式は関連する双線形形式から復元できるため)。ただし、2 ではこの追加の改良が必要です。 ${\displaystyle v^{2}=Q(v)}$

ε二次形式の簡単な例は、標準双曲ε二次形式 です。(ここで、R * := Hom _R ( R , R )は、 R加群Rの双対を表します。) これは、双線形形式によって与えられます。標準双曲ε二次形式は、 L理論の定義に必要です。 ${\displaystyle H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})}$${\displaystyle ((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})}$

2 元の体R = F ₂では、(+1)-二次形式と (-1)-二次形式の間に違いはなく、単に二次形式と呼ばれます。F ₂上の非特異二次形式のArf 不変量は、代数と位相の両方で重要な応用を持つF ₂値不変量であり、特性が 2 でない 二次形式の判別式が果たす役割と同様の役割を果たします。

有向偶数次元多様体の中間ホモロジー群の自由部分（整数係数）は、ポアンカレ双対性、すなわち交差形式を介してε対称形式を持ちます。単偶数次元4 k + 2の場合、これは歪対称ですが、二重偶数次元 4 kの場合は対称です。幾何学的には、これは交差に対応し、n次元多様体内の 2 つのn /2 次元部分多様体は、余次元を追加することで、一般に 0 次元部分多様体（点の集合）内で交差します。単偶数次元の場合、順序の符号が切り替わりますが、二重偶数次元の場合、順序の符号は変化しません。したがって、ε対称性です。最も単純なケースは球面の積で、積S ^{2 k} × S ^{2 k}とS ^{2 k +1} × S ^{2 k +1}はそれぞれ対称形式と歪対称形式を与えます。次元 2 では、これはトーラスを生成し、gトーラスの連結和を取ると種数gの曲面が生成され、その中点ホモロジーには標準双曲形式があります。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).}$

追加の構造により、このε対称形式はε二次形式に改良できます。二重偶数次元の場合、これは整数値ですが、単一偶数次元の場合、これはパリティまでしか定義されておらず、Z /2 の値を取ります。たとえば、フレーム付き多様体が与えられた場合、そのような改良を作成できます。単一偶数次元の場合、この歪二次形式の Arf 不変量はKervaire 不変量です。

R ³に埋め込まれた有向曲面 Σ が与えられると、中間ホモロジー群H ₁ (Σ) は、歪対称形式 (交差経由) だけでなく、自己連結経由の二次改良として見ることができる歪二次形式も持ちます。歪対称形式は曲面 Σ の不変量ですが、歪二次形式は、例えば結び目のSeifert 面に対する埋め込みΣ ⊂ R ³の不変量です。歪二次形式のArf 不変量は、最初の安定ホモトピー群を生成するフレーム付きコボルディズム不変量です。 ${\displaystyle \pi_{1}^{s}}$

標準の埋め込みトーラスの場合、歪対称形式は(標準のシンプレクティック基底に関して) で与えられ、歪二次改良はこの基底に関してxyで与えられます。Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : 基底曲線は自己リンクしません。Q (1, 1) = 1 :ホップファイバの場合と同様に、 (1, 1) は自己リンクします。(この形式はArf 不変量0を持ち、したがってこの埋め込みトーラスはKervaire 不変量0 を持ちます。) ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)}$

重要な応用は代数手術理論であり、L群もε二次形式のウィット群として定義される（CTCWallによる）。