アハラノフ・ボーム効果

アハラノフ・ボーム効果は、エーレンバーグ・シダイ・アハラノフ・ボーム効果とも呼ばれ、荷電粒子が磁場と電場がともにゼロの領域に限定されているにもかかわらず、電磁ポテンシャル（ 、 ）の影響を受ける量子力学的現象である。^[1]基礎となるメカニズムは、電磁ポテンシャルと荷電粒子の波動関数の複素位相との結合であり、アハラノフ・ボーム効果は干渉実験によって説明される。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

最も一般的に説明されるケースは、アハラノフ・ボーム・ソレノイド効果と呼ばれることもあり、長いソレノイドの周りを通過する荷電粒子の波動関数が、粒子が通過する領域では磁場が無視でき、ソレノイド内では粒子の波動関数が無視できるにもかかわらず、囲まれた磁場の結果として位相シフトを経験するときに発生します。この位相シフトは実験的に観察されています。[ 2 ^]束縛エネルギーと散乱断面積に対する磁気アハラノフ・ボーム効果もありますが、これらのケースは実験的にテストされていません。電気アハラノフ・ボーム現象も予測されており、荷電粒子は異なる電位を持ち電場がゼロの領域によって影響を受けますが、これはまだ実験的に確認されていません。^[2]多重連結領域における原子核の運動については、別の「分子」アハラノフ・ボーム効果が提案されたが、これは「非局所的でも位相的でもない」ため、原子核の経路に沿った局所量のみに依存するため、異なる種類の幾何学的位相であると主張されてきた。^[3]

ヴェルナー・エーレンバーグ（1901–1975）とレイモンド・E・シデイは1949年に初めてこの効果を予測した。^[4] ヤキル・アハロノフとデイヴィッド・ボームは1959年に分析結果を発表した。 ^[1] 1959年の論文発表後、ボームはエーレンバーグとシデイの研究について知らされ、ボームとアハロノフは1961年にこの研究成果を論文として認めた。^{[5] [6] [7]} この効果はボームが存命中に実験的に確認されたが、非常に大きな誤差があった。誤差が妥当な値にまで減少した頃には、ボームは亡くなっていた。^[8]

18 世紀と 19 世紀には、物理​​学は力に重点を置いたニュートン力学によって支配されていました。電磁気現象は、さまざまな構成の電荷、電流、磁石の間の力の測定を含む一連の実験によって解明されました。最終的には、電荷、電流、磁石が伝播する力場の局所的な発生源として機能し、それがローレンツ力の法則を通じて他の電荷や電流に局所的に作用するという説明が生まれました。この枠組みでは、電場の観測された特性の 1 つが非回転であることであり、磁場の観測された特性の 1 つが発散しないことであったため、静電場をスカラー ポテンシャル (たとえば、数学的には古典的な重力ポテンシャルに類似するクーロンの静電ポテンシャル) の勾配として表現し、定常磁場をベクトル ポテンシャル (当時は新しい概念であったスカラー ポテンシャルの考え方は、重力ポテンシャルとの類推によりすでに広く受け入れられていました) の回転として表現することができました。ポテンシャルの言語は完全に動的なケースにシームレスに一般化されましたが、すべての物理的効果はポテンシャルの導関数である場によって記述できるため、ポテンシャル (場とは異なり) は物理的効果によって一意に決定されませんでした。つまり、ポテンシャルは、任意の加算定数静電ポテンシャルと非回転定常磁気ベクトル ポテンシャルまでしか定義されませんでした。

アハロノフ＝ボーム効果は、マクスウェルの古典的電磁気理論をゲージ理論として書き直す際に生じる 3 つの問題に関係するため、概念的に重要です。ゲージ理論は、量子力学の出現以前は、物理的な結果を伴わない数学的な再定式化であると主張されていました。アハロノフ＝ボームの思考実験とその実験的実現は、その問題が単なる哲学的なものではなかったことを示唆しています。

3つの問題は次のとおりです。

1. ポテンシャルは「物理的」なものなのか、それとも単に力場を計算するための便利なツールなのか。
2. 行動 原則が基本的なものであるかどうか。
3. 局所性の原理。

このような理由から、アハラノフ・ボーム効果はニューサイエンティスト誌によって「量子界の七不思議」の一つに選ばれた。^[9]

楊振寧は、アハロノフ＝ボーム効果がゲージ原理の唯一の直接的な実験的証明であると考えた。哲学的な重要性^{[明確化が必要]}は、磁気四元ポテンシャルがゲージ変換後も観測可能なすべての現象が変化しないため、物理現象を上回って記述する点である。逆に、マクスウェル場^[曖昧]はアハロノフ＝ボーム効果を予測しないため、物理現象を下回って記述する。さらに、ゲージ原理によって予測されるように、ゲージ変換下で不変のままである量は、まさに物理的に観測可能な現象である。^{[10] [11]}${\displaystyle (\phi ,\mathbf {A} )}$

一般的に、アハラノフ・ボーム効果は量子力学における電磁ポテンシャルΦとAの物理的性質を示していると主張されています。古典的には、電磁場のみが物理的であり、電磁ポテンシャルは純粋に数学的な構成物であり、ゲージの自由度のため、特定の電磁場に対して一意でさえないと主張することができました。

しかし、ヴァイドマンは、電磁場を生成する源電荷に完全な量子力学的処理を施す限り、アハロノフ・ボーム効果はポテンシャルを使わずに説明できることを示して、この解釈に異議を唱えた。 ^[12] この見解によれば、量子力学におけるポテンシャルは、古典的ポテンシャルと同様に物理的（または非物理的）である。アハロノフ、コーエン、ローリッヒは、この効果は局所ゲージポテンシャルによるものか、非局所ゲージ不変場によるものではないかと反論した。^[13]

2017年にPhysical Review A誌に掲載された2つの論文は、このシステムに対する量子力学的解を実証した。その分析によると、位相シフトは、電子に作用するソレノイドのベクトルポテンシャル、またはソレノイドに作用する電子のベクトルポテンシャル、または量子化されたベクトルポテンシャルに作用する電子とソレノイドの電流によって生成されると考えられる。^{[14] [15]}

同様に、アハロノフ-ボーム効果は、エネルギーに基づくラグランジアン力学アプローチが、力に基づくニュートン力学アプローチの単なる計算補助ではないことを示している。したがって、アハロノフ-ボーム効果は、力は物理学を定式化するための不完全な方法であり、代わりに位置エネルギーを使用しなければならないという見解を検証している。実際、リチャード・ファインマンは、電磁気学を電磁場の観点から教えられたことに不満を述べ、後年、電磁ポテンシャルの観点から考えるように教えられていればよかったと後悔している。そうすれば、もっと根本的だっただろうから。^[16]ファインマンの経路積分的な力学の見方では、ポテンシャル場は電子波動関数の位相を直接変化させ、この位相の変化が測定可能な量につながる。

アハラノフ・ボーム効果は、局所的なEフィールドとBフィールドが電磁場に関する完全な情報を含まないことを示し、代わりに電磁気的 4 元ポテンシャル( Φ、A ) を使用する必要がある。ストークスの定理により、アハラノフ・ボーム効果の大きさは、電磁場のみ、または4 元ポテンシャルのみを使用して計算できる。しかし、電磁場だけを使用する場合、効果はテスト粒子が除外される領域の場の値によって決まる。対照的に、4 元ポテンシャルだけを使用する場合、効果はテスト粒子が許可される領域のポテンシャルにのみ左右される。したがって、ほとんどの物理学者が躊躇する局所性原理を放棄するか、電磁気的 4 元ポテンシャルが電場と磁場よりも電磁気学のより完全な記述を提供するということを受け入れる必要がある。一方、アハラノフ・ボーム効果は極めて量子力学的である。量子力学は非局所的効果を特徴とすることがよく知られており（それでも超光速通信は不可能であるが）、ヴァイドマンはこれが単に異なる形の非局所的量子効果であると主張している。^[12]

古典電磁気学では、この2つの記述は同等でした。しかし、量子論が加わったことで、電磁ポテンシャルΦとA がより基本的なものと見なされるようになりました。^{[17]それにもかかわらず、観測可能な効果はすべて電磁場}EとBで表現できるようになります。これは興味深いことです。なぜなら、4元ポテンシャルから電磁場を計算することはできますが、ゲージの自由度のため、その逆は真ではないからです。

磁気アハラノフ・ボーム効果は、磁気ベクトルポテンシャルがその一部を形成する電磁ポテンシャルのゲージ選択に関して量子物理学が不変でなければならないという要件の結果として見ることができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

電磁気学理論によれば^[18]、電荷を持つ粒子が磁場がゼロだが磁場がゼロではない領域（ ）内の経路に沿って移動すると、 SI単位 では次のように表される位相シフト を獲得する。${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,}$

したがって、開始点と終了点が同じであっても、2 つの異なる経路に沿って移動する粒子は、経路間の領域を通る磁束によって決まる位相差を獲得します(ストークスの定理と による)。位相差は次のように表されます。 ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle \Phi_{B}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _{B}}{\hbar }}.}$

量子力学では、同じ粒子がさまざまな経路で 2 点間を移動できます。したがって、この位相差は、二重スリット実験(または同等のもの)のスリットの間にソレノイドを配置することで観察できます。理想的なソレノイド (つまり、無限に長く、完全に均一な電流分布を持つ) は磁場を囲みますが、その円筒の外側には磁場を生成しません。そのため、外側を通過する荷電粒子 (たとえば、電子) は磁場を経験しません。 (この理想化により分析が簡素化されますが、磁束が電子経路の外側に戻る場合、たとえば、一方の経路がトロイダルソレノイドを通過し、もう一方の経路がその周囲を通過し、ソレノイドがシールドされて外部磁場を生成しない場合、アハラノフ-ボーム効果はこれに依存しないことを認識することが重要です。) ただし、ソレノイドの外側には閉じた磁束を持つ (回転のない) ベクトル ポテンシャルがあるため、一方のスリットまたはもう一方のスリットを通過する粒子の相対位相は、ソレノイド電流のオン/オフによって変化します。これは、観測面上の干渉縞の観測可能なシフトに対応します。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

超伝導ループにおける量子化磁束要件は、同じ位相効果によるものである。この量子化は、超伝導波動関数が単一の値でなければならないために起こる。つまり、閉ループの周りの位相差は（電子クーパー対の電荷）の整数倍でなければならないため、磁束は の倍数でなければならない。超伝導磁束量子は、実際にはアハロノフとボームより前に、1948年にF.ロンドンによって現象論的モデルを用いて予測されていた。^[19]${\displaystyle \Delta \varphi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle q=2e}$${\displaystyle h/2e}$

最初の実験的確認は1960年にロバート・G・チェンバースによって行われ^{[20] [21]}、薄い鉄のウィスカーによって生成される磁場を備えた電子干渉計で行われ、他の初期の研究はオラリウとポペスク（1984）にまとめられています。^[22]しかし、その後の著者は、電子が磁場から完全に遮蔽されていなかった可能性があるため、これらの初期の結果のいくつかの妥当性を疑問視しました。^{[23] [24] [25] [26] [27]} 電子の進路から磁場を完全に排除することによって（超伝導フィルムの助けを借りて）明確なアハラノフ・ボーム効果が観測された初期の実験は、 1986年に殿村らによって行われました。^{[28] [29]} この効果の範囲と応用は拡大し続けています。(1985) ^{[30] は、}通常の非超伝導金属リングでアハロノフ・ボーム振動を実証した。議論については、Schwarzschild (1986) ^[31]およびImry & Webb (1989) を参照のこと。^[32] Bachtold et al. (1999) ^{[33] は、}カーボンナノチューブでこの効果を検出した。議論については、Kong et al. (2004) を参照のこと。^[34]

磁気アハラノフ・ボーム効果は、電荷と磁荷の両方が量子化されている場合、 磁気単極子の存在は既存の磁気源のないマクスウェル方程式によって説明できるというディラックの議論とも密接に関連しています。

磁気単極子はベクトル ポテンシャルの数学的特異点を意味し、これは単極子「電荷」gからの4π gフラックスのすべてと同等のものを含む、無限小直径のディラック ストリングとして表現できます。ディラック ストリングは磁気単極子から始まり、磁気単極子で終わります。したがって、この特異点の任意の選択によって無限範囲の散乱効果がないと仮定すると、単一値波動関数 (上記) の要件により電荷の量子化が必要になります。つまり、任意の電荷q _eおよび磁気電荷q _mに対して、 は整数 ( cgs単位)でなければなりません。${\displaystyle 2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}}$

電磁ポテンシャル Aと同様に、ディラック弦はゲージ不変ではありません (ゲージ変換により固定された端点を伴って動き回ります)。そのため、直接測定することもできません。

波動関数の位相が磁気ベクトルポテンシャルに依存するのと同様に、波動関数の位相はスカラー電位にも依存します。ゼロ電界領域を通る粒子の 2 つの経路で静電ポテンシャルが変化する状況を構築することにより、位相シフトによる観測可能なアハラノフ-ボーム干渉現象が予測されます。この場合も、電界が存在しないということは、古典的には影響がないことを意味します。

シュレーディンガー方程式から、エネルギー を持つ固有関数の位相は のようになります。ただし、エネルギーは電荷 を持つ粒子の静電ポテンシャルに依存します。特に、ポテンシャルが一定 (ゼロ電場) の領域では、電位エネルギーはに単純に加算され、位相シフトが生じます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$${\displaystyle qV}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

ここで、t はポテンシャル内で費やされる時間です。

たとえば、電圧 の電池に接続された 1 組の大きな平らな導体があるとします。次に、導体のペアの両側に 2 つのスリットを設けて、単一電子の二重スリット実験を実行できます。電子がスクリーンに当たるまでに時間がかかる場合は、位相シフトが観察されるはずです。電池電圧を調整することで、スクリーン上の干渉パターンを水平方向にシフトできます。 ${\displaystyle \デルタV}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e\Delta Vt/\hbar }$

この効果に関する当初の理論的提案では、電荷が導電性シリンダーを 2 つの経路に沿って通過する実験が提案されました。この経路は、粒子が移動する領域で外部電界から粒子を遮蔽しますが、シリンダーを充電することで時間依存の電位を適用できます。しかし、これは実現が困難であることが判明しました。代わりに、トンネル障壁によって中断されたリング形状を含む別の実験が提案され、リングの 2 つの半分の電位に関連する一定のバイアス電圧Vが与えられました。この状況では、上記のようなアハロノフ-ボーム位相シフトが発生し、1998 年に実験的に観測されましたが、バイアス電圧によって生成された電界を電荷が通過する設定でした。元の時間依存の電気アハロノフ-ボーム効果はまだ実験的に検証されていません。^[35]

重力ポテンシャルによるアハロノフ・ボーム位相シフトも理論的には観測可能で、2022年初頭には^{[36] [37] [38]} 2012年の実験設計に基づいてそれを観測する実験が行われた。^{[39] [40]}実験では、重ね合わせた極低温ルビジウム原子を真空管内で垂直に打ち上げ、レーザーで分割して、一方の部分がもう一方の部分よりも高くなり、その後再結合するようにした。チャンバーの外側の上部には、重力ポテンシャルを変化させる軸対称の質量がある。したがって、高くなった部分はより大きな変化を経験するはずであり、波束が再結合すると干渉パターンとして現れ、測定可能な位相シフトが生じる。チームは測定値と予測が一致する証拠を発見した。他の複数のテストが提案されている。^{[41] [42] [43] [44]}

1975年に呉泰俊と楊振寧は非可換アハラノフ・ボーム効果を定式化し^[45]、2019年に電子波動関数ではなく光波のシステムで実験的に報告された。この効果は2つの異なる方法で生成された。1つは光が強磁場中の結晶を通過し、もう1つは光が時間変動電気信号を使用して変調された。どちらの場合も、位相シフトは干渉パターンを介して観察され、時間の前後によっても異なっていた。^{[46] [47]}

ナノリングは、量子ドットを作ろうとしたときに偶然に作られたものです^{[48] 。}励起子やアハラノフ・ボーム効果に関連する興味深い光学特性を持っています。 ^[48]光コンデンサーやバッファとして使用されるこれらのリングの応用には、光子コンピューティングや通信技術が含まれます。メソスコピックリングの幾何学的位相の分析と測定が進行中です。^{[49] [50] [51]} それらを使用して一種のスローガラスを作ることができるとさえ示唆されています。^[52]

2012年に報告されたものを含むいくつかの実験^{[53]では、77K以上で最大}85μmの円周を持つ電荷密度波(CDW)リングを通る磁束に対するCDW電流 のアハラノフ・ボーム振動が主周期h /2eで起こることが示されている。この動作は超伝導量子干渉デバイス( SQUIDを参照)の動作と似ている。

アハラノフ・ボーム効果は、波動関数の絶対値しか測定できないという事実から理解できます。これにより、量子干渉実験による位相差の測定が可能になりますが、絶対位相が一定の波動関数を指定する方法はありません。電磁場がない場合、運動量ゼロの運動量演算子の固有関数を関数「1」（正規化の問題を無視）と宣言し、この固有関数「1」を基準として波動関数を指定することにより、これに近づくことができます。この表現では、i-運動量演算子は（係数 まで）微分演算子です。ただし、ゲージ不変性により、 i-運動量演算子を（係数 まで）純粋なゲージ ベクトル ポテンシャル で ieとして表すという代償を払って、運動量ゼロの固有関数を と宣言することも同様に有効です。前者を後者で表すことは、後者を前者で表すのと同じくらい面倒なので、実際の非対称性はありません。これは、微分幾何学の言語で波動「関数」を、エルミート計量と U(1)接続を持つ複素線束のセクションとして記述する方が物理的に自然であることを意味します。接続の曲率形式 は、因子 i を除けば、電磁場強度のファラデーテンソルです。アハラノフ-ボーム効果は、曲率ゼロ (つまり平坦)の接続は、曲率ゼロ(つまり場のない) 領域に完全に含まれる位相的に非自明なパスに沿ってモノドロミーを持つことができるため、必ずしも自明である必要はないという事実の現れです。定義により、これは位相的に非自明なパスに沿って平行移動されるセクションが位相を拾うため、場のない領域全体で共変定数セクションを定義できないことを意味します。 ${\displaystyle \hbar /i}$${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$${\displaystyle e^{-i\phi (x)}}$${\displaystyle \nabla_{i}=\partial_{i}+i(\partial_{i}\phi)}$${\displaystyle A=d\phi }$ ${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle iF=\nabla \wedge \nabla }$

線束の自明化、つまりゼロでない断面が与えられると、U(1) 接続は、電磁 4 元ポテンシャルAに対応する1形式によって次のように与えられます。ここで、d はミンコフスキー空間上の外微分を表します。モノドロミーは、平坦接続のホロノミーです。平坦または非平坦な、閉ループの周りの接続のホロノミーは、次のようになります(これは自明化には依存せず、接続のみに依存することを示すことができます)。平坦接続の場合、単に接続された任意の場のない領域 (波動関数と接続に作用する)で、ベクトル ポテンシャルをゲージで除去するゲージ変換を見つけることができます。ただし、モノドロミーが自明でない場合は、外部領域全体にこのようなゲージ変換はありません。実際、ストークスの定理の結果として、ホロノミーはループを囲む表面を通る磁束によって決定されますが、そのような表面は、が非自明な場の領域を通過する場合にのみ存在します。 ${\displaystyle \nabla =d+iA\,}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle e^{i\int _{\gamma }A}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}}$

平坦接続のモノドロミーは、場のない領域におけるループの位相型（実際はループのホモロジークラス）にのみ依存する。しかし、ホロノミー記述は一般的であり、超伝導体の内側でも外側でも機能する。磁場を含む伝導管の外側では、場の強さ。言い換えれば、管の外側では接続は平坦であり、場のない領域に含まれるループのモノドロミーは管の周りの巻き数にのみ依存する。一周するループ（巻き数 1）の接続のモノドロミーは、磁場を含む超伝導管の左右に伝播して干渉する粒子の位相差である。超伝導体内の物理を無視し、外側の領域の物理のみを記述したい場合は、モノドロミーを伴う 「外部」平坦接続を持つ複素線束のセクションで量子電子を記述するのが自然で数学的に便利になる。${\displaystyle F=0}$${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle \alpha =}$チューブを通る磁束 /${\displaystyle (\hbar /e)}$

外部電磁場ではなく、シュレーディンガー方程式は、（自由）ハミルトニアンに対する接続の ラプラシアンを使用することで、この状況に容易に一般化される。${\displaystyle F}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla }$。

同様に、チューブから検出スクリーンに向かう、または検出スクリーンから離れる方向に切れ目がある 2 つの単連結領域で作業することもできます。これらの各領域では、通常の自由シュレーディンガー方程式を解く必要がありますが、1 つの領域から別の領域に移動するときに、交差の 2 つの連結成分のうちの 1 つだけ (実質的にはスリットの 1 つだけ) でモノドロミー係数が取得され、その結果、フラックスを変更すると干渉パターンがシフトします。 ${\displaystyle e^{i\alpha }}$

同様の数学的解釈を持つ効果は他の分野でも見受けられる。例えば、古典統計物理学では、確率的環境における分子モーター運動の量子化は、制御パラメータの空間で作用するゲージ場によって引き起こされるアハラノフ・ボーム効果として解釈することができる。^[54]

• DJ Thouless (1998)。「§2.2 ゲージ不変性とアハロノフ・ボーム効果」。非相対論的物理学におけるトポロジカル量子数。World Scientific。pp. 18 ff。ISBN 978-981-02-3025-8。

• アハロノフ・ボーム効果に関するデイヴィッド・ボーム協会のページ。