ハナイ角

古典力学において、ハンネイ角は幾何学的位相（またはベリー位相）の力学的な類似物である。これは英国ブリストル大学のジョン・ハンネイにちなんで名付けられた。ハンネイは1985年に初めてこの角度を記述し、当時形式化されたベリー位相の考え方を古典力学に拡張した。^[1]

振り子のように周期的に動く 1 次元システムを考えてみましょう。次に、振り子の弦を引いたり押したりするのと同じように、遅いパラメータをゆっくり変化させます。システムの動きは、速い振動と遅い振動を持つものとして描くことができます。速い振動は振り子の動きであり、遅い振動は弦を引く動きです。システムを位相空間で描くと、その動きはトーラスを描きます。 ${\displaystyle \lambda}$

古典力学の断熱定理によれば、システムの軌道に囲まれた位相空間領域に対応する作用変数はほぼ一定のままです。したがって、1 つの低速振動周期の後、高速振動は同じサイクルに戻りますが、サイクル上の位相は時間とともに変化します。位相の変化には 2 つの主要な順序があります。

最初の次数は「動的角度」で、単純に です。この角度は動きの正確な詳細に依存し、次数は です。 ${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (\lambda ){\dot {\lambda }}dt}$${\displaystyle O(T)}$

2番目の次数はハナイ角で、驚くべきことに の正確な詳細とは無関係です。これは の軌道に依存しますが、軌道を横切る速さや遅さには依存しません。次数は です。^[2]${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle O(1)}$

Hannay 角は、作用角座標のコンテキストで定義されます。最初は時間不変なシステムでは、作用変数は定数です。周期的な摂動 を導入すると、作用変数は断熱不変量になり、対応する角度変数の Hannay 角は、摂動が元の値に戻る進化を表す経路積分に従って計算できます^[3]。 ここで、およびはハミルトニアンの標準変数であり、はシンプレクティック ハミルトニアン 2 形式です。 ${\displaystyle I_{\alpha}}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle I_{\alpha}}$${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}}$${\displaystyle \lambda (t)}$ $${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}=-{\frac {\partial }{\partial I_{\alpha }}}\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {q}}}{\partial \lambda }}\mathrm {d} \lambda =-\partial _{I_{\alpha }}\iint \omega }$$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle \omega}$

フーコーの振り子は古典力学の例であり、ベリー位相を説明するためにも使われることがある。以下では、作用角変数を用いてフーコーの振り子を研究する。簡単のため、一般的なプロトコルで用いられるハミルトン・ヤコビ方程式は使わないことにする。^[4]

地球の自転の影響下にある周波数 の平面振り子を考えます。この振り子の角速度はで、振幅は と表されます。ここで、方向は地球の中心から振り子の方向を指します。振り子のラグランジアン は です。 対応する運動方程式 は です。次に、実際には角度変数である 補助変数を導入します。これで の方程式が得られます。 その特性方程式から、 その特性根を取得します ( であることに注意)。 解は次のようになります。 地球が 1 回転すると、つまり になると、 の位相変化が得られます。 最初の項は振り子の動的効果によるもので、動的位相と呼ばれます。一方、2 番目の項は、本質的に Hannay 角である幾何学的位相を表します。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\vec {\オメガ }}=(\オメガ _{x},\オメガ _{y},\オメガ _{z})}$${\displaystyle \Omega =|{\vec {\Omega }}|}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+m\Omega _{z}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})}$$$${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=2\Omega _{z}{\dot {y}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {y}}+\omega ^{2}y=-2\Omega _{z}{\dot {x}}}$$${\displaystyle \varpi =x+iy}$${\displaystyle \varpi}$$${\displaystyle {\ddot {\varpi }}+\omega ^{2}\varpi =-2i\Omega _{z}{\dot {\varpi }}}$$$${\displaystyle \lambda ^{2}+\omega ^{2}=-2i\Omega _{z}\lambda }$$${\displaystyle \Omega \ll \omega }$$${\displaystyle \lambda =-i\Omega _{z}\pm i{\sqrt {\Omega _{z}^{2}+\omega ^{2}}}\approx -i\Omega _{z}\pm i\omega }$$$${\displaystyle \varpi =e^{-i\Omega _{z}t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})}$$${\displaystyle T=2\pi /\Omega \approx 24h}$${\displaystyle \varpi }$ $${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {\omega }{\Omega }}+2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}}$$$${\displaystyle \theta ^{H}=2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}}$$

自由空間で回転する自由剛体には、エネルギーと角運動量ベクトルという 2 つの保存量があります。剛体のフレーム内から見ると、角運動量の方向は動いていますが、その長さは保存されています。一定の時間が経過すると、角運動量の方向は開始点に戻ります。 ${\displaystyle E,{\vec {L}}}$${\displaystyle T}$

慣性系で見ると、物体は回転している（SO(3)のすべての要素は回転であるため）。古典的な結果では、時間の間に物体は角度${\displaystyle T}$$${\displaystyle 2ET/\|{\vec {L}}\|-\Omega }$$

ここで、剛体のフレーム内から見た角運動量方向によって掃引される立体角である。^[5]${\displaystyle \Omega }$

重いトップ。^[6] 木星の軌道によって周期的に乱される地球の軌道。^[7] 非平面軸を持つトロイダル磁場の磁気面に関連する回転変換。^[8]

• マースデン、ジェロルド E. ; モンゴメリー、リチャード;ラティウ、チューダー S. (1990)。力学における縮約、対称性、位相。AMS 書店。p. 69。ISBN 0-8218-2498-8。
• C. ピサーニ (1994)。結晶材料の特性に関する量子力学的第一原理計算 (イタリア化学会第 4 学部計算化学会報)。シュプリンガー。p. 282。ISBN 3-540-61645-4。
• Karin M Rabe、Jean-Marc Triscone、Charles H Ahn (2007)。強誘電体の物理学：現代の視点。Springer。p. 2。ISBN 978-3-540-34590-9。

• ジョン・H・ハネイ教授：研究ハイライト。ブリストル大学物理学部。