p-導出

数学、より具体的には微分代数において、環R上のp微分（pは素数）は、以下に概説する特定の条件を満たすRからRへの写像である。 p微分の概念は、微分代数における微分の概念と関連している。

p を素数とします。環上のp微分または Buium 微分は、次の「積の規則」を満たす写像です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta :R\to R}$

${\displaystyle \delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p} (a)\デルタ_{p}(b)}$

そして「合計ルール」:

${\displaystyle \delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},}$

同様に

${\displaystyle \delta _{p}(1)=0.}$

「和則」では、分子の関連する二項係数はすべてpで割り切れるので、実際にはpで割っているわけではないことに注意してください。したがって、この定義は、 がpねじれを持つ場合に適用されます。 ${\displaystyle R}$

写像は、提供されるフロベニウス自己準同型の持ち上げです。そのような持ち上げの例としては、アルティン写像が挙げられます。 ${\displaystyle \sigma :R\to R}$${\displaystyle \sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}}$

がp微分を持つ環である場合、写像はフロベニウス自己準同型の持ち上げである環自己準同型を定義します。環Rがp捩れなしである場合、対応は一対一です。 ${\displaystyle (R,\delta )}$${\displaystyle \sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)}$

• 唯一のp導出は写像である${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {xx^{p}}{p}}.}$

フェルマーの小定理により、商は明確に定義されます。

• Rが任意のp-ねじれのない環であり、フロベニウス自己準同型を持ち上げる場合、${\displaystyle \sigma :R\to R}$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}}$

p微分を定義します。

• ウィットベクトル
• 算術微分
• 導出
• フェルマー商

• ブイウム、アレックス（1989）、算術微分方程式、数学概説とモノグラフ、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-8218-3862-8。
• ジャック・ジェフリーズ：「素数による微分」、AMS の通知、（2023 年 12 月）

• プロジェクト・ユークリッド