数学 において 、 ミルノア K 理論 [1]は 、ジョン・ミルノア(1970) が 体 の特殊なケースにおける高次 代数 K 理論を 研究する試みとして定義した 代数的不変量 ( 体 に対して と 表記 )です。これにより、代数 K 理論 の構造が明らかになり、 ガロアコホモロジー や 二次形式 の グロタンディーク・ウィット環 など、数学の他の部分との関係についての洞察が得られると期待されました。ミルノア K 理論が定義される前は、 および に対するアドホックな定義が存在していました。幸い、ミルノア K 理論は代数 K 理論 の一部であり、一般に計算が最も簡単な部分である ことが示されています 。 [2]
け
∗
（ ふ ）
{\displaystyle K_{*}(F)}
ふ
{\displaystyle F}
け
1
{\displaystyle K_{1}}
け
2
{\displaystyle K_{2}}
意味
モチベーション 可換環 の グロタンディーク群 の定義後、 短い完全列 が存在するという事実から、 高次 K理論 群と呼ばれる不変量の無限集合が存在することが予想された。
け （ R ）
{\displaystyle K(R)}
け
私
（ R ）
{\displaystyle K_{i}(R)}
け （ R 、 私 ） → け （ R ） → け （ R
/
私 ） → 0
{\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}
は、長い正確なシーケンス による接続を持つはずです 。左側のグループは相対 K 理論 であることに注意してください。これは多くの研究につながり、この理論がどのようになるかについての最初の推測として、ミルナーは体の定義を与えました。彼の定義は、高次の K 理論 が次数と でどのよう に「なるはず」であるかについての 2 つの計算に基づいています 。次に、代数 K 理論 の後の一般化での生成元が 次数に存在し 、関係が次数に存在する場合 、次数と の構成 によって K 理論 リングの残りの部分の構造が与えられます 。この仮定の下で、ミルナーは「アドホック」定義を与えました。代数 K 理論は 一般にもっと複雑な構造を持つことがわかりますが、体については、ミルナー K 理論 群は、 でテンソル化した後、一般代数 K 理論 群に含まれます 。つまり、 です 。 [3] 自然写像は、グローバル体に対して単射にならないこと がわかります [3] pg 96 。
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle 2}
け
∗
（ R ）
{\displaystyle K_{*}(R)}
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle 2}
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle 2}
け
∗
（ R ）
{\displaystyle K_{*}(R)}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
け
ん
ま
（ ふ ） ⊗
質問
⊆
け
ん
（ ふ ） ⊗
質問
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }
λ :
け
4
ま
（ ふ ） →
け
4
（ ふ ）
{\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}
ふ
{\displaystyle F}
意味 体については、有限生成加群は 有限次元ベクトル空間だけなので、 グロタン ディーク 群 は簡単に計算できる 。また、ミルナーの高次 K群 の定義は、正準 同型性に依存する。
け
0
（ ふ ） =
ず
{\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }
l :
け
1
（ ふ ） →
ふ
∗
{\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}
（の単位群 ）と、 松本英也 による フィールドの K 2 の計算 を観察した。この計算では、簡単なプレゼンテーションが行われた。
ふ
{\displaystyle F}
け
2
（ ふ ） =
ふ
∗
⊗
ふ
∗
{ l （ 1つの ） ⊗ l （ 1 − 1つの ） : 1つの ≠ 0 、 1 }
{\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}
要素によって生成される2辺のイデアルは スタインバーグ関係 と呼ばれる。ミルナーはこれらが唯一の関係であるという仮説をとったため、 ミルナーK理論 の次の「アドホック」定義を与えた 。
l （ 1つの ） ⊗ l （ 1つの − 1 ）
{\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}
け
ん
ま
（ ふ ） =
け
1
（ ふ ） ⊗ ⋯ ⊗
け
1
（ ふ ）
{ l （
1つの
1
） ⊗ ⋯ ⊗ l （
1つの
ん
） :
1つの
私
+
1つの
私 + 1
= 1 }
。
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}
これらの群の直和は、次によって生成される 両側イデアル によって修正された 乗法群 の整数上の テンソル 代数と同型です。
け
1
（ ふ ） ≅
ふ
∗
{\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}
{
l （ 1つの ） ⊗ l （ 1 − 1つの ） : 0 、 1 ≠ 1つの ∈ ふ
}
{\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}
それで
⨁
ん = 0
∞
け
ん
ま
（ ふ ） ≅
T
∗
（
け
1
ま
（ ふ ） ）
{ l （ 1つの ） ⊗ l （ 1 − 1つの ） : 1つの ≠ 0 、 1 }
{\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}
彼の定義を示すことは、スタインバーグ関係の直接的な拡張です。
プロパティ
リング構造 次数付きモジュールは 次数付き可換環 で ある [1] pg 1-3 [ 4
] 。
け
∗
ま
（ ふ ）
{\displaystyle K_{*}^{M}(F)}
（ l （
1つの
1
） ⊗ ⋯ ⊗ l （
1つの
ん
） ） ⋅ （ l （
b
1
） ⊗ ⋯ ⊗ l （
b
メートル
） ）
{\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}
として
l （
1つの
1
） ⊗ ⋯ ⊗ l （
1つの
ん
） ⊗ l （
b
1
） ⊗ ⋯ ⊗ l （
b
メートル
）
{\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}
すると 、
ξ ∈
け
私
ま
（ ふ ）
{\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}
η ∈
け
じ
ま
（ ふ ）
{\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}
ξ ⋅ η = （ − 1
）
私 ⋅ じ
η ⋅ ξ 。
{\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}
この性質の証明 から、 である ため の ような追加の性質がいくつか出てきます 。また、 非ゼロ体 の元 が に等しい場合 、 は 直接算術的に応用できます。は、 すべての正の次元 が冪零である 場合に限り、平方和で あり、これはミルノア K 群 の構造に関する強力なステートメントです 。特に、 の体 について 、 の場合 、そのすべてのミルノア K 群は 冪零です。逆の場合、体は 実閉体 に埋め込むことができ 、これにより体上の全順序付けが行われます。
l （ 1つの
）
2
= l （ 1つの ） l （ − 1 ）
{\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}
l （ 1つの ） ∈
け
1
（ ふ ）
{\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}
l
(
a
)
l
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle l(a)l(-a)=0}
a
1
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}
0
,
1
{\displaystyle 0,1}
l
(
a
1
)
⋯
l
(
a
n
)
=
0
{\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}
−
1
∈
F
{\displaystyle -1\in F}
K
n
M
(
F
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
Q
(
i
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (i)}
Q
p
(
i
)
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}
−
1
∉
Q
p
{\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}
F
{\displaystyle F}
高次チョウ群とクィレンの高次K理論との関係 ミルノアの K 理論と高次代数 K 理論を関連付ける中心的な性質の 1 つは、 次数付き環の射を誘導する ブロッホの 高次チョウ群 への自然同型が存在するという事実です。これは、明示的な射 [2] pg 181 を 使用して検証できます。この写像は、 の点のクラス に対して によって与えられます 。 確認する主な性質は、 および に対して であるということです。 これは の要素であるため、 これは とは異なることに注意してください 。また、2 番目の性質は に対して最初の性質を意味します。この確認は、 境界写像の下の像が に対する 和 であるサイクルを定義する有理曲線を使用して実行でき、境界によって異なることを示します。同様に、 境界写像がこのサイクルを に送る 場合 、境界によって異なることを示します。示す 2 番目これらと、高次のチョウ群が環構造を持つという事実から、 明示的な写像が得られる。 逆方向の写像が同型であることを示すのは手間がかかるが、同型が得られる。 次に、同型が存在するという事実を利用して、高次のチョウ群を高次の代数K理論に関連付けることができ、 Quillenの高次の代数K理論との関係を示す。写像が
K
n
M
(
F
)
→
CH
n
(
F
,
n
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}
K
∗
M
(
F
)
→
CH
∗
(
F
,
∗
)
{\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}
ϕ
:
F
∗
→
CH
1
(
F
,
1
)
{\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}
ϕ
(
a
)
ϕ
(
1
−
a
)
=
0
in
CH
2
(
F
,
2
)
for
a
,
1
−
a
∈
F
∗
{\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}
{
1
}
↦
0
∈
CH
1
(
F
,
1
)
{
a
}
↦
[
a
]
∈
CH
1
(
F
,
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}
[
a
]
{\displaystyle [a]}
[
a
:
1
]
∈
P
F
1
−
{
0
,
1
,
∞
}
{\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}
a
∈
F
∗
−
{
1
}
{\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}
[
a
]
+
[
1
/
a
]
=
0
{\displaystyle [a]+[1/a]=0}
a
∈
F
∗
−
{
1
}
{\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}
[
a
]
+
[
b
]
=
[
a
b
]
{\displaystyle [a]+[b]=[ab]}
[
a
]
⋅
[
b
]
{\displaystyle [a]\cdot [b]}
CH
2
(
F
,
2
)
{\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}
b
=
1
/
a
{\displaystyle b=1/a}
C
1
(
F
,
2
)
{\displaystyle C^{1}(F,2)}
∂
{\displaystyle \partial }
[
a
]
+
[
b
]
−
[
a
b
]
{\displaystyle [a]+[b]-[ab]}
a
b
≠
1
{\displaystyle ab\neq 1}
a
b
=
1
{\displaystyle ab=1}
[
a
]
−
[
1
/
a
]
{\displaystyle [a]-[1/a]}
CH
p
(
F
,
q
)
⊗
CH
r
(
F
,
s
)
→
CH
p
+
r
(
F
,
q
+
s
)
{\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}
K
∗
M
(
F
)
→
CH
∗
(
F
,
∗
)
{\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}
K
n
M
(
F
)
→
CH
n
(
F
,
n
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}
K
n
(
X
)
⊗
Q
≅
⨁
p
CH
p
(
X
,
n
)
⊗
Q
{\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }
K
n
M
(
F
)
→
K
n
(
F
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}
体のミルノア K 群から キレン K 群への変換で、これは一般には に対して同型です が、より大きな nに対しては同型ではありません。 F の非ゼロ元に対して 、の 記号 はテンソル代数における の像を意味します。ミルノア K 理論のすべての元は、記号の有限和として表すことができます。 に対して である という事実は、 スタインバーグ関係 と呼ばれることもあります 。
n
≤
2
{\displaystyle n\leq 2}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
{
a
1
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}
K
n
M
(
F
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
a
1
⊗
⋯
⊗
a
n
{\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}
{
a
,
1
−
a
}
=
0
{\displaystyle \{a,1-a\}=0}
K
2
M
(
F
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(F)}
a
∈
F
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}
モチーフコホモロジーにおける表現 モチーフコホモロジー 、特に モチーフホモトピー理論 では、 アーベル群 の係数を持つミルナー K 理論の一般化を表す 層が存在します 。 と表記する場合 、層を 次の前層の層化として定義します [5] 4 ページ この前層の切断は、 上の等次元かつ有限である 係数を持つ 上のサイクルの同値なクラスであることに注意してください (これは の定義から直接従います)。 モチーフアイレンバーグ-マクレーン層と -弱同値で あることを示すことができます (格付け規則によって異なります)。
K
n
,
A
{\displaystyle K_{n,A}}
A
{\displaystyle A}
A
t
r
(
X
)
=
Z
t
r
(
X
)
⊗
A
{\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}
K
n
,
A
{\displaystyle K_{n,A}}
K
n
,
A
p
r
e
:
U
↦
A
t
r
(
A
n
)
(
U
)
/
A
t
r
(
A
n
−
{
0
}
)
(
U
)
{\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}
U
×
A
n
{\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}
A
{\displaystyle A}
U
{\displaystyle U}
Z
t
r
(
X
)
{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}
A
1
{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}
K
(
A
,
2
n
,
n
)
{\displaystyle K(A,2n,n)}
例
有限体 有限体 に対して 、 は位数 の巡回群です ( は と同型なので )。したがって、次数付き可換性により が成り立ちます 。 は有限群な ので、位数 を持つ必要があります 。さらに、 は常に 2 次非留数、つまり と等しくない元の合計として表すことができる ため 、 と なり ます。スタインバーグ関係はミルノアの K 理論環のすべての関係を生成するため、 に対してが成り立ちます 。
F
=
F
q
{\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}
K
1
M
(
F
)
{\displaystyle K_{1}^{M}(F)}
q
−
1
{\displaystyle q-1}
F
q
∗
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}
l
(
a
)
⋅
l
(
b
)
=
−
l
(
b
)
⋅
l
(
a
)
{\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}
l
(
a
)
2
=
−
l
(
a
)
2
{\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}
K
2
M
(
F
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(F)}
≤
2
{\displaystyle \leq 2}
1
{\displaystyle 1}
a
,
b
∈
F
{\displaystyle a,b\in F}
[
a
]
,
[
b
]
∈
F
/
F
×
2
{\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}
0
{\displaystyle 0}
a
+
b
=
1
{\displaystyle a+b=1}
K
2
M
(
F
)
=
0
{\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}
K
n
M
(
F
)
=
0
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
実数 実数 の体では、 ミルノアの K 理論 群は簡単に計算できます。次数では、 群は によって生成され 、 は 順序の群を与え 、 によって生成される部分群は 割り切れます。 によって生成される部分群は 割り切れません。なぜなら、そうでなければ平方和として表すことができるからです。ミルノアの K 理論環は、モティヴィック スティーンロッド代数 の一部に対する生成元を与えるため、モティヴィック ホモトピー理論の研究で重要です。 [6] その他は、古典的なスティーンロッド演算からモティヴィック コホモロジーへのリフトです。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
n
{\displaystyle n}
K
n
M
(
R
)
=
{
(
−
1
)
n
,
l
(
a
1
)
⋯
l
(
a
n
)
:
a
1
,
…
,
a
n
>
0
}
{\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}
(
−
1
)
n
{\displaystyle (-1)^{n}}
2
{\displaystyle 2}
l
(
a
1
)
⋯
l
(
a
n
)
{\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}
(
−
1
)
n
{\displaystyle (-1)^{n}}
その他の計算
K
2
M
(
C
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}
は、非可算 で一意に割り切れる群 である。 [7] また、は、 位数 2 の 巡回群 と非可算で一意に割り切れる群の 直和で ある。 は、 の乗法群 と非可算で一意に割り切れる群の直和である。 は、 すべての奇数素数 に対して、 位数 2 の巡回群と位数 の巡回群の直和である 。 について 、 。完全な証明は、Milnor の元の論文の付録にある。 [1] 計算の一部は、 の包含から その完備化 への大域体誘導される への写像を見ることでわかる ので、核が有限生成である射が存在する 。さらに、 の余核は の単位根に同型である 。
K
2
M
(
R
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}
K
2
M
(
Q
p
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
K
2
M
(
Q
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}
p
−
1
{\displaystyle p-1}
p
{\displaystyle p}
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
K
n
M
(
Q
)
≅
Z
/
2
{\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}
K
2
M
(
F
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(F)}
F
{\displaystyle F}
F
v
{\displaystyle F_{v}}
K
2
M
(
F
)
→
⨁
v
K
2
M
(
F
v
)
/
(
max. divis. subgr.
)
{\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}
F
{\displaystyle F}
さらに、一般局所体 （有限拡大など ）の場合、ミルノア K 群は 分割可能です。
F
{\displaystyle F}
K
/
Q
p
{\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}
K
n
M
(
F
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
け * ま (F(t)) ミルナーのK 理論 と 非ゼロの素イデアルに対する 拡大 に関連して、 体 を 計算する一般構造定理があります。これは、 離散値 に対する の 簡約から構成される射 である 正確なシーケンス によって与えられます 。これは、定理から、 値 を持つ元である 単位のグループに対して 、自然な射を持つ準同型が 1 つだけ存在することが示され、ここで が 成り立ちます。 ここ で 素元、つまり 、 および です。すべての非ゼロの素イデアルは 値 を与えるので、 ミルナーの K 群上の
写像が得られます。
K
n
M
(
F
(
t
)
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
F
[
t
]
/
(
π
)
{\displaystyle F[t]/(\pi )}
(
π
)
∈
Spec
(
F
[
t
]
)
{\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}
0
→
K
n
M
(
F
)
→
K
n
M
(
F
(
t
)
)
→
∂
π
⨁
(
π
)
∈
Spec
(
F
[
t
]
)
K
n
−
1
F
[
t
]
/
(
π
)
→
0
{\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}
∂
π
:
K
n
M
(
F
(
t
)
)
→
K
n
−
1
F
[
t
]
/
(
π
)
{\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}
F
{\displaystyle F}
F
¯
v
{\displaystyle {\overline {F}}_{v}}
v
{\displaystyle v}
∂
:
K
n
M
(
F
)
→
K
n
−
1
M
(
F
¯
)
{\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}
U
⊂
F
{\displaystyle U\subset F}
0
{\displaystyle 0}
U
→
F
¯
v
∗
{\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}
u
↦
u
¯
{\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}
∂
(
l
(
π
)
l
(
u
2
)
⋯
l
(
u
n
)
)
=
l
(
u
¯
2
)
⋯
l
(
u
¯
n
)
{\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}
π
{\displaystyle \pi }
Ord
v
(
π
)
=
1
{\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}
∂
(
l
(
u
1
)
⋯
l
(
u
n
)
)
=
0
{\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}
(
π
)
∈
Spec
(
F
[
t
]
)
{\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}
v
π
:
F
(
t
)
→
F
[
t
]
/
(
π
)
{\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}
∂
π
{\displaystyle \partial _{\pi }}
アプリケーション ミルナーの K 理論は、 1 次元 クラス場理論 に代わる 高クラス場理論 において基本的な役割を果たします 。
K
1
M
(
F
)
=
F
×
{\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!}
ミルナーK理論は、 同型性を介して、
モティヴィックコホモロジーのより広い文脈に適合する。
K
n
M
(
F
)
≅
H
n
(
F
,
Z
(
n
)
)
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}
あるモティヴィックコホモロジー群を持つ体のミルナーK理論の定理 [8] 。この意味で、ミルナー K理論 の一見アドホックな定義は定理となる。つまり、体の特定のモティヴィックコホモロジー群は 、生成元と関係 によって明示的に計算できるということである 。
より深い結果である ブロッホ-カトー予想 （ノルム留数同型定理とも呼ばれる）は、ミルナー K理論と ガロアコホモロジー または エタールコホモロジー を関連付けます 。
K
n
M
(
F
)
/
r
≅
H
e
t
n
(
F
,
Z
/
r
(
n
)
)
,
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}
体 F において逆な任意の正の整数 r に対して成り立つ。この予想は、 Markus Rost ら の貢献により、 Vladimir Voevodskyによって証明された。 [9]これには、 Alexander Merkurjev と Andrei Suslin の定理 、および Milnor 予想 が特別な場合 (それぞれ、およびの 場合 ) として含まれる。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
r
=
2
{\displaystyle r=2}
最後に、ミルナーの K 理論と 二次形式 の間には関係があります。 特性 が2 でない体 Fに対して、 F 上の二次形式の ウィット環 の 基本イデアル I を 、2 を法とする二次形式の次元によって与えられる準同型の核として定義します 。ミルナーは準同型を定義しました。
W
(
F
)
→
Z
/
2
{\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}
{
K
n
M
(
F
)
/
2
→
I
n
/
I
n
+
1
{
a
1
,
…
,
a
n
}
↦
⟨
⟨
a
1
,
…
,
a
n
⟩
⟩
=
⟨
1
,
−
a
1
⟩
⊗
⋯
⊗
⟨
1
,
−
a
n
⟩
{\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}
ここで n 倍 フィスター形式 のクラスを表す 。 [10]
⟨
⟨
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
⟩
⟩
{\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }
ドミトリ・オルロフ、アレクサンダー・ヴィシック、ヴォエヴォツキーは、ミルナー予想と呼ばれる別の命題、すなわちこの準同型 は同型であることを証明した。 [11]
K
n
M
(
F
)
/
2
→
I
n
/
I
n
+
1
{\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}
参照
参考文献
^ abc ミルナー、ジョン (1970-12-01). 「代数的 K 理論と二次形式」. Inventiones Mathematicae . 9 (4): 318–344. Bibcode :1970InMat...9..318M. doi :10.1007/BF01425486. ISSN 1432-1297. S2CID 13549621. ^ ab Totaro, Burt . 「Milnor K-Theory is the Simplest Part of Algebraic K-Theory」 （PDF） 。 2020年12月2日時点のオリジナルより アーカイブ （PDF） 。 ^ ab Shapiro, Jack M. (1981-01-01). 「ミルナーとクィレンのK-体理論の関係」. Journal of Pure and Applied Algebra . 20 (1): 93–102. doi : 10.1016/0022-4049(81)90051-7 . ISSN 0022-4049. ^ Gille & Szamuely (2006)、p. 184. ^ Voevodsky, Vladimir (2001-07-15). 「モティヴィックコホモロジーにおけるべき乗演算の削減」 arXiv : math/0107109 。 ^ Bachmann, Tom (2018年5月). 「モティヴィックおよび実エタール安定ホモトピー理論」. Compositio Mathematica . 154 (5): 883–917. arXiv : 1608.08855 . doi :10.1112/S0010437X17007710. ISSN 0010-437X. S2CID 119305101. ^ アーベル群は、 有理数 上のベクトル空間である場合に 一意に分割可能で ある。 ^ Mazza、Voevodsky、Weibel (2005)、定理 5.1。 ^ ヴォエヴォツキー（2011年）。 ^ エルマン、カルペンコ、メルクリエフ (2008)、セクション 5 および 9.B。 ^ オルロフ、ヴィシク、ヴォエヴォドスキー（2007年）。
外部リンク 体の関手 K 2 {\displaystyle K_{2}} のいくつかの側面 テイトの K 2 ( Q ) {\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )} の計算について
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabe13b8f64304cab20ed6480118dec4e8784ead)
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
![{\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc26fb129c6a61709b7c51b42a68ca1235ce0bb)
![{\displaystyle [a]+[1/a]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c254f41a7f820625a499ed2a1d6f2546b2017695)
![{\displaystyle [a]+[b]=[ab]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed74c102f15c7f7f1fe6a0c8541db787e0c6d508)
![{\displaystyle [a]\cdot [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac0b7de912001198904c1aaadd88d43c81dbe5c)
![{\displaystyle [a]+[b]-[ab]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56eb3e57b0becb4676d53679a1298f9cc1929ae)
![{\displaystyle [a]-[1/a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d50e1357eb4b526979372b85fd76bf989dcde5)
![{\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a045bfcb7f164f28f640a672d4056d82994e36d)
![{\displaystyle F[t]/(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76257a7b268ab89accbbe930345453a4378a4df5)
![{\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9eed3b558ccf8ba79645c12e51268068c97bdd)
![{\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac37c805eac56a58abf12f3e672a02c478b08fef)
![{\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e2051f867b33b74ecc4356aa039b021ead863d)
![{\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d577ecf370d4d742633d03d8194b1cc7b87f35)
