ピタゴラス体

代数学において、ピタゴラス体とは、2 つの平方の和がすべて平方になる体であり、ピタゴラス数が1 である体である。体のピタゴラス拡大とは、内の何らかの に対して元を付加することによって得られる拡大である。したがって、ピタゴラス体とは、ピタゴラス拡大をとることについて閉じている体である。任意の体には、同型 を除いて一意である、その体を含む極小のピタゴラス体が存在し、これをピタゴラス閉包と呼ぶ。^[1] ヒルベルト体は、極小順序付きピタゴラス体である。^[2]${\displaystyle F}$${\displaystyle {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\textstyle F^{\mathrm {py} }}$

すべてのユークリッド体（すべての非負の要素が平方である順序体）は順序ピタゴラス体であるが、その逆は成り立たない。 ^[3] 二次閉体はピタゴラス体であるが、その逆は成り立たない（はピタゴラス体である）。ただし、非形式的に実数なピタゴラス体は二次閉体である。^[4]${\displaystyle \mathbf {R} }$

ピタゴラス体のウィット環は、その体が形式的に実数でない場合は2次の位数を持ち、そうでない場合は捩れがない。^[1] 体に対して、ウィット環を含む正確な数列が存在する。${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} IW(F)\rightarrow W(F)\rightarrow W(F^{\mathrm {py} })}$

ここで は^[5]のウィット環の基本イデアルであり、 はその捩れ部分群（のnilradicalに等しい）を表す。^[6]${\displaystyle IW(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Tor} IW(F)}$${\displaystyle W(F)}$

体F上の次の条件は、 Fがピタゴラスであることと同等です。

• 一般的なu不変量 u ( F )は0または1である。^[7]
• abがFの平方数でないなら、 Fにはa、bが異なる符号を持つ順序が存在する。^[8]
• Fはそのユークリッド閉包の交差である。^[9]

ピタゴラス体を使用して、幾何学におけるヒルベルトの公理のいくつかのモデルを構築できます(Iyanaga & Kawada 1980、163 C)。ピタゴラス体に対してで与えられる座標幾何学は、接続公理、合同公理、平行線の公理など、ヒルベルトの公理の多くを満たします。ただし、一般にこの幾何学は、体F が追加のプロパティを持たない限り、すべてのヒルベルトの公理を満たす必要はありません。たとえば、体も順序付けされている場合、幾何学はヒルベルトの順序付け公理を満たし、体も完全である場合、幾何学はヒルベルトの完全性公理を満たします。 ${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F}$

非アルキメデス順序体のピタゴラス閉包、例えば有理数上の一変数有理関数 体のピタゴラス閉包は、ヒルベルトの公理の多くを満たすが完全性公理は満たさない非アルキメデス幾何学を構成するために使用できる。^[10] デーンはそのような体を使用して、それぞれ非レジェンド幾何学と半ユークリッド幾何学の例である2つのデーン平面を構築した。この平面では、与えられた直線と交差しないが三角形の角度の合計が少なくともπである直線が1点を通る。^[11]${\displaystyle \mathbf {Q} (x)}$${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$

この定理は、 E / F が有限体拡大で、Eがピタゴラス数であれば、F もピタゴラス数であるということを述べています。^[12] 結果として、代数体はすべてピタゴラス数ではないQ上有限であるため、代数体はピタゴラス数ではありません。^[13]

超ピタゴラス体 F は、 S がF ^∗の添字 2 の部分群であり、 −1 を含まない場合、S はF上の順序を定義するという性質を持つ形式的に実数体です。同等の定義は、F が正方形の集合が扇形を形成する形式的に実数体であるということです。超ピタゴラス体は必然的にピタゴラス体です。^[12]

ディラー・ドレス定理の類似が成り立つ：E / Fが有限拡大でEが超ピタゴラスならば、 Fも超ピタゴラスである。^[14] 逆に、Fが超ピタゴラスで、E がF を含む形式的に実数体であり、 Fの二次閉包に含まれる場合、E は超ピタゴラスである。^[15]

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