フィスターフォーム

数学において、フィスター形式は、1965年にアルブレヒト・フィスターによって導入された特別な種類の二次形式である。以下では、標数が2でない体F上の二次形式を考える。自然数nに対して、F上のn倍フィスター形式は、二次形式のテンソル積として表される次元^{2nの二次形式である。}

${\displaystyle \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1 ,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

Fの非零元a ₁ , ..., a _nに対してである。^[1]（この定義では符号を省略する著者もいる。ここでの表記は、後述するミルノアのK理論との関係を簡略化したものである。） n重 Pfister 形式は、 ( n −1) 重 Pfister 形式qとFの非零元aから、次のように帰納的に構成することもできる。 ${\displaystyle q\oplus (-a)q}$

したがって、1 倍および 2 倍の Pfister 形式は次のようになります。

${\displaystyle \langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}}$。

${\displaystyle \langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2 }+abw^{2}.}$

n ≤ 3 の場合、 n重 Pfister 形式は合成代数のノルム形式です。^[2] その場合、2 つのn重 Pfister 形式が同型である のは、対応する合成代数が同型である場合に限ります。特に、これは八元数代数の分類を与えます。

n重フィスター形式はFのウィット環の基本イデアルのn乗I ^{n を}加法的に生成する。^[2]

体F上の二次形式qが乗法的であるとは、不定元ベクトルxとyに対して、 F上のxとyの有理関数のベクトルzに対してq ( x )と書ける場合である。q ( y ) = q ( z ) である。 等方性二次形式は乗法的である。^[3]異方性二次形式 に対して、フィスター形式は乗法的であり、逆もまた同様である。^[4]

n ≤ 3 のn重フィスター形式については、これは 19 世紀から知られていました。その場合、合成代数の性質により、z はxとyに関して双線型であるとみなすことができます。 n のすべてのnに対するn重フィスター形式が、ここでは有理関数を含むより一般的な意味で乗法的であるというのは、フィスターの注目すべき発見でした。たとえば、彼は、任意の体Fと任意の自然数nに対して、 Fの 2 ⁿ乗の和の集合は乗法に関して閉じていることを、二次形式が n 重フィスター形式 (つまり、 ) であることを用いて導きまし た。 [ 5 ^]${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}}$${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle }$

フィスター形式のもう一つの顕著な特徴は、すべての等方性フィスター形式が実は双曲的、つまり双曲平面のコピーの直和に同型であるということである。この性質は、次のようにフィスター形式の特徴でもある。q が体F 上の異方性2次形式であり、q が E 上で等方性になるようなすべての拡大体 E 上で双曲的になる場合、F内の何らかの非ゼロaとF 上のあるフィスター形式 φ に対して、q は a φに同型である。 [ 6 ^]${\displaystyle \langle 1,-1\rangle }$

k _n ( F ) を2 を法とするn次ミルナーK群とする。 k _n ( F )からFのウィット環の商I ⁿ / I ^{n +1}への準同型があり、次式で与えられる。

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle 、}$

ここで、像はn重フィスター形式である。^[7]フィスター形式は加法的にI ^{n を}生成するので、 準同型は射影的である。オルロフ、ヴィシック、ヴォエヴォツキーによって証明されたミルナー予想の一部は、この準同型が実際には同型k _n ( F ) ≅ I ⁿ / I ^{n +1}であると述べています。^[8]これにより、生成元と関係によってアーベル群I ⁿ / I ^{n +1}が明示的に記述されます。ヴォエヴォツキーによって証明されたミルナー予想の他の部分は、k _n ( F ) (したがってI ⁿ / I ^{n +1} ) がガロアコホモロジー群H ⁿ ( F、F ₂ ) に同型に写像されると述べています。

Pfister近傍とは、F内の非零aと、dim φ < 2 dim σであるPfister形式φに対して、φの部分形式と同型な異方性形式σのことである。[ 9 ^] 関連するPfister形式φは、σによって同型性まで決定される。次元3のすべての異方性形式はPfister近傍である。次元4の異方性形式がPfister近傍となるのは、F ^* /( F ^* ) ²における判別式が自明である場合に限る。^[10]体Fには、 F上のすべての5次元異方性​​形式がPfister近傍となるのは、それが連結体である場合に限るという性質がある。^[11]

• エルマン、リチャード、カルペンコ、ニキータ、メルクリェフ、アレクサンダー（2008）、二次形式の代数的および幾何学的理論、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4329-1、MR  2427530
• ラム・ツィット・ユエン（2005）「体上の二次形式入門」、大学院数学研究、第67巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1095-2、MR  2104929、Zbl  1068.11023、第10章
• オルロフ、ドミトリ; ヴィシク、アレクサンダー;ヴォエヴォドスキー、ウラジミール(2007)、「K _* ^M /2 の正確なシーケンスと二次形式への応用」、Annals of Mathematics、165 : 1–13、arXiv : math/0101023、doi :10.4007/annals.2007.165.1、MR  2276765