ウィットの定理

「ウィットの定理」または「ウィットの定理」は、順序理論におけるブルバキ＝ウィットの不動点定理を指す場合もある。

数学において、エルンスト・ウィットにちなんで名付けられたウィットの定理は、二次形式の代数理論における基本的な結果である。すなわち、体k上の非特異二次空間の2 つの部分空間間の任意の等長変換は、空間全体の等長変換に拡張できる。同様の主張は、任意の体上の歪対称、エルミート、および歪エルミートの双線形形式にも当てはまる。この定理は、体k上の二次形式の分類に適用され、特に、体k上の二次形式の「安定」理論を記述するウィット群W ( k ) を定義することを可能にする。

( V , b )を、標数が2 と異なる体k上の有限次元ベクトル空間とし、非退化対称または歪対称双線形形式を併せ持つとする。f : U → U'がVの 2 つの部分空間間の等長写像であるならば、f はVの等長写像に拡張される。^{[ 1 ]} 

ウィットの定理は、 Vの最大完全等方性部分空間(零空間)の次元が不変量であり、指数またはbのWitt 指数、 ^{[ 2 ] [ 3 ]}さらに、( V , b )の等長変換群が集合に推移的に作用する表現理論還元双対ペアの理論において重要な役割を果たします。

( V , q )、( V1 , q1 )、( V2 , q2 _)を体k上の3_つの二次空間とする。

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).}$

すると、二次空間( V ₁ , q ₁ )と( V ₂ , q ₂ )は等長である。

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2})。}$

言い換えれば、二次空間間の同型写像の両辺に現れる直接和の項( V、q )は「打ち消し」られる可能性がある。

( V , q )を体k上の二次空間とする。このとき、Witt 分解が成り立つ。

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

ここで、V ₀ = ker qはqの根基であり、( V _a , q _a )は異方性二次空間、( V _h , q _h )は分割二次空間である。さらに、コア形式と呼ばれる異方性項と、 ( V , q )の Witt 分解における双曲項は、同型を除いて一意に決定される。^{[ 4 ]}

同じ基本形式を持つ二次形式は、類似している、またはウィット等価であると言われます。

• エミール・アルティン（1957）『幾何代数学』 121ページ（インターネットアーカイブ経由）
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields , Graduate Studies in Mathematics , vol.  67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2MR 2104929、Zbl 1068.11023​  
• Lorenz, Falko (2008), Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics , Springer-Verlag , pp. 15–27 , ISBN  978-0-387-72487-4、Zbl 1130.12001 
• ローマン、スティーブン（2008）、『高度線形代数』、大学院数学テキスト（第3 版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5
• O'Meara、O. Timothy (1973)、二次形式入門、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol.  117、シュプリンガーフェルラーク、Zbl 0259.10018