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数学において、二次閉体とは、特性が2に等しくなく、すべての要素が平方根を持つ体である。[1] [2]
例
- 複素数体は二次的に閉じています。より一般的には、代数的に閉じた体はすべて二次的に閉じています。
- 実数体は-1 の平方根を含まないため、二次的に閉じていません。
- n ≥ 0の有限体 の和集合は 二次的には閉じているが代数的には閉じていない。[3]
- 構成可能数体は二次的には閉じているが、代数的には閉じていない。[4]
プロパティ
- 体は、普遍不変量が 1 に等しい場合にのみ、二次的に閉じています。
- すべての二次閉体はピタゴラス体であるが、その逆は成り立たない（例えば、Rはピタゴラス体である）。しかし、すべての非形式的実ピタゴラス体は二次閉体である。[2]
- 体が二次的に閉じている場合、そのウィット-グロタンディーク環は次元写像の下でZに同型である。 [3]
- 形式的に実ユークリッド体 Eは二次的に閉じていない（−1はEの平方ではないため）が、二次拡大E（√ −1）は二次的に閉じている。[4]
- E / F を有限拡大とし、 Eは二次閉曲線とする。 −1 がFの平方で F が二次閉曲線であるか、−1がFの平方でなくFがユークリッドであるかのいずれかである。この「下降定理」はディラー・ドレス定理から導かれる。[5]
二次閉包
体Fの二次閉包とは、 Fを含む任意の二次閉体に埋め込まれる、F を含む二次閉体である。任意のFの二次閉包は、 Fの代数閉包F algの部分体として、つまりF algにおけるFのすべての反復二次拡大の和集合として構成することができる。[4]
例
- Rの二次閉包はCである。[4]
- の二次閉包は の和集合である。[4]
- Qの二次閉包は、複素構成可能数体です。
参考文献
- ^ ラム（2005）33ページ
- ^ アブ ・ラジワデ（1993）p.230
- ^ ラム（2005）34頁
- ^ abcde ラム (2005) p. 220
- ^ ラム（2005）p.270
- ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- Rajwade, AR (1993)。Squares 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第171巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42668-5.ZBL0785.11022 。