調和平均p値

調和平均p値^{[1] [2] [3]} (HMP)は、強い意味のファミリーワイズエラー率^[2]を制御する多重比較問題に対処する統計的手法です（この主張は異論があります^[4]）。これは、フィッシャー法^{[5]のように、} p値のグループが統計的に有意であるかどうかを検定することにより、複合検定を実行することでボンフェローニ補正の検出力を改善します。しかし、フィッシャー法^{[2]とは異なり、} p値が独立しているという制限的な仮定を回避します。^[3]その結果、検定が独立している場合は検出力が低くなります（つまり、偽陰性率が高くなります）。^[2]厳格なファミリーワイズエラー率を制御するボンフェローニ補正などのアプローチの代替手段を提供することに加えて、厳格でない偽発見率を制御するために広く使用されているベンジャミニ-ホッホバーグ手順(BH)の代替手段も提供します。^[6]これは、HMPが有意な仮説群を検出する力は、BHが有意な個々の仮説を検出する力よりも大きいためです。^[2]

この手法には 2 つのバージョンがあります: (i) HMP を近似p値として直接解釈する方法と、(ii) HMP を漸近的に正確な p 値に変換する手順です。このアプローチでは、統計的に有意なp値の最小グループを探すことができるマルチレベル テスト手順が提供されます。

p値の加重調和平均はと定義されます。ここで は合計が 1 になる重み、つまり です。等しい重みを選択することもできます。その場合は です。 ${\textstyle p_{1},\dots ,p_{L}}$$${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}={\frac {\sum _{i=1}^{L}w_{i}}{\sum _{i=1}^{L}w_ {i}/p_{i}}},}$$${\textstyle w_{1},\dots ,w_{L}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{L}w_{i}=1}$${\textstyle w_{i}=1/L}$

一般的に、HMPをp値として直接解釈することは反保守的であり、偽陽性率が予想よりも高くなることを意味します。しかし、HMPが小さくなると、特定の仮定の下では乖離が小さくなり、有意性の直接解釈では、十分に小さい値（例：）に対して示唆される偽陽性率に近い値を達成します。^[2]${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}<0.05}$

HMPは、が小さい場合、またはが大きい場合、の係数を超えて反保守的になることはありません。^[3]しかし、これらの境界は、実際には保守的である可能性が高い任意の依存関係における最悪のシナリオを表しています。これらの境界を適用するのではなく、HMPを変換することで漸近的に正確なp値を生成することができます。 ${\textstyle e\,\log L}$${\textstyle L}$${\textstyle \log L}$${\textstyle L}$

一般化中心極限定理によれば、漸近的に正確なp値 は、式^{[2] を}使用してHMP から計算できます。 一般化中心極限定理の仮定に従うと、この変換されたp値は、検定回数 が大きくなるほど正確になります。計算には、密度関数が次のように表されるLandau 分布 を使用します。検定は、 R パッケージのコマンドによって実装されます。チュートリアルはオンラインで利用できます。 ${\textstyle p_{\overset {\circ }{p}}}$${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}}$ $${\displaystyle p_{\overset {\circ }{p}}=\int _{1/{\overset {\circ }{p}}}^{\infty }f_{\textrm {Landau}}\left( x\,|\,\log L+0.874,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} x.}$$${\textstyle L}$$${\displaystyle f_{\textrm {Landau}}(x\,|\,\mu ,\sigma )={\frac {1}{\pi \sigma }}\int _{0}^{\infty }{\textrm {e}}^{-t{\frac {(x-\mu )}{\sigma }}-{\frac {2}{\pi }}t\log t}\,\sin(2t)\,{\textrm {d}}t.}$$p.hmpharmonicmeanp

同様に、HMP を臨界値の表と比較することもできます (表 1)。表は、偽陽性率が小さいほど、またテスト数が少ないほど、臨界値が偽陽性率に近づくことを示しています。

HMPがp値のグループに対してあるレベルで有意である場合、強義のファミリーワイズエラー率を維持しながら、p値のすべてのサブセットを検索して最小の有意なグループを探すことができます。 ^[2]正式には、これはクローズドテスト手順を構成します。^[7]${\textstyle \alpha }$${\textstyle L}$ ${\textstyle L}$

が小さい場合（例）、HMPの直接解釈に基づく次のマルチレベル検定は、レベルにおける強意味のファミリーワイズエラー率をおよそ${\textstyle \alpha }$${\textstyle \alpha <0.05}$${\textstyle \alpha :}$

1. p値の 任意のサブセットのHMPを次のように定義する。${\textstyle {\mathcal {R}}}$${\textstyle L}$ $${\displaystyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}={\frac {\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}{\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}/p_{i}}}.}$$
2. （ただし ）の場合、サブセット内のp値はいずれも有意ではないという帰無仮説を棄却します。（定義により、 であることを思い出してください。）${\textstyle {\mathcal {R}}}$${\textstyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}\leq \alpha \,w_{\mathcal {R}}}$${\textstyle w_{\mathcal {R}}=\sum _{i\in {\mathcal {R}}}w_{i}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{L}w_{i}=1}$

上記の漸近的に正確なバージョンでは、ステップ2で を に置き換えます。ここで はサブセット 内のp値だけでなくp値の数を与えます。^[8]${\textstyle {\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}$$${\displaystyle p_{{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}=\max \left\{{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R} },w_{\mathcal {R}}\int _{w_{\mathcal {R}}/{\overset {\circ }{p}}_{\mathcal {R}}}^{\infty }f_{\textrm {ランダウ}}\left(x\,|\,\log L+0.874,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm { d} x\right\},}$$${\textstyle L}$${\textstyle {\mathcal {R}}}$

HMP の直接解釈の方が高速であるため、漸近的に正確な式を使用して確認することを条件として、直接解釈を使用して有意である可能性が高いp値のサブセットを識別するために2 パス手順を使用できます。

HMPは一般化された中心極限定理[2]から生じるさまざまな特性を持っています ^。

• p値間の正の依存関係に対して堅牢です。
• テストの正確な数Lには影響されません。
• 重みwの分布に対して堅牢です。
• 最も小さいp値の影響を最も受けます。

HMP が有意でない場合は、構成テストのサブセットも有意ではありません。逆に、マルチレベル テストでp値のサブセットが有意であると判断された場合、すべてのp値を組み合わせた HMP は有意である可能性が高くなります。これは、HMP を直接解釈した場合に確実です。目標が個々の p値の有意性を評価することであり、 p値のグループに関する組み合わせテストは重要でない場合、HMP はBonferroni手順と同等ですが、より厳格な有意性しきい値が適用されます(表 1)。 ${\textstyle \alpha _{L}<\alpha }$

HMP では、帰無仮説が真である場合、個々のp値が (必ずしも独立ではない)標準一様分布に従うと仮定します。したがって、検出力の低い検定が多数あると、HMP の検出力が損なわれる可能性があります。

重みの選択は帰無仮説の下でのHMPの妥当性には重要ではないが、重みは手順の検出力に影響する。^[2]の補足方法§5Cとオンラインチュートリアルでは、この問題についてさらに詳しく検討している。

HMPはベイズモデルの平均化に類似して考案され、尤度比検定からのp値を組み合わせるとモデル平均ベイズ係数に反比例すると解釈できる。^{[1] [2]}

IJ Good は、ベイズ係数と尤度比検定のp値との間の経験的関係を報告しました。 ^[1]より一般的な対立仮説にネストされた帰無仮説について、彼は、 が を支持するベイズ係数を表す場合が多いことに気付きました。外挿では、共通の帰無仮説を持つ一連の検定について、HMP がモデル平均ベイズ係数に反比例するとする経験則を提案しました。Goodにとって、彼の経験則は、仮説検定に対するベイズ流アプローチと古典的アプローチの互換性を支持しました。^{[9] [10] [11] [12] [13]}${\textstyle H_{0}}$${\textstyle H_{A},}$$${\displaystyle {\textrm {BF}}_{i}\approx {\frac {1}{\gamma \,p_{i}}},\quad 3{\frac {1}{3}}}}\gamma <30,}$$${\textstyle {\textrm {BF}}_{i}}$${\textstyle H_{A}}$${\displaystyle H_{0}.}$${\textstyle L}$$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}=\sum _{i=1}^{L}w_{i}\,{\textrm {BF}}_{i}\about \sum _{ i=1}^{L}{\frac {w_{i}}{\gamma \,p_{i}}}={\frac {1}{\gamma \,{\overset {\circ {p}}}}.}$$

対立仮説におけるp値の分布がパラメータを持つベータ分布に従う場合、これはSellke、Bayarri、Berger ^[14]によって検討された形式であり、モデル平均ベイズ因子とHMPの間の反比例関係は次のように定式化できる^{[2] [15]}。ここで ${\displaystyle \left(0<\xi _{i}}1,1\right)}$$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}=\sum _{i=1}^{L}\mu _{i}\,{\textrm {BF}}_{i}=\sum _{i=1}^{L}\mu _{i}\,\xi _{i}\,p_{i}^{\xi _{i}-1}\approx {\bar {\xi }}\sum _{i=1}^{L}w_{i}\,p_{i}^{-1}={\frac {\bar {\xi }}{\overset {\circ }{p}}},}$$

• ${\textstyle \mu _{i}}$対立仮説の事前確率であり、${\textstyle i,}$${\textstyle \sum _{i=1}^{L}\mu _{i}=1,}$
• ${\textstyle \xi _{i}/(1+\xi _{i})}$対立仮説における期待値である${\textstyle p_{i}}$${\textstyle i,}$
• ${\textstyle w_{i}=u_{i}/{\bar {\xi }}}$p値に割り当てられた重み${\textstyle i,}$
• ${\textstyle u_{i}=\left(\mu _{i}\,\xi _{i}\right)^{1/(1-\xi _{i})}}$事前モデルの確率と累乗を重みに組み込み、
• ${\textstyle {\bar {\xi }}=\sum _{i=1}^{L}u_{i}}$重みを正規化します。

この近似は、十分な検出力のあるテスト（）で最もよく機能します。 ${\displaystyle \xi _{i}\ll 1}$

自由度がちょうど 2 の尤度比検定の場合、ウィルクスの定理によれば、 は対立仮説を支持する最大尤度比であり、したがっては重み を使用した加重平均最大尤度比です。 はベイズ因子の上限であるため、 はモデル平均ベイズ因子の上限です。この等価性は自由度が 2 の場合にのみ成立しますが、との関係は他の自由度でも同様に動作します。^[2]${\textstyle p_{i}=1/R_{i}}$${\textstyle R_{i}}$${\textstyle i,}$${\textstyle {\overset {\circ }{p}}=1/{\bar {R}}}$${\textstyle {\bar {R}}}$${\textstyle w_{1},\dots ,w_{L}.}$${\textstyle R_{i}}$${\textstyle {\textrm {BF}}_{i}}$${\textstyle 1/{\overset {\circ }{p}}}$$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}\leq {\frac {1}{\overset {\circ }{p}}}.}$$${\textstyle {\overset {\circ }{p}}}$${\textstyle {\bar {R}},}$${\textstyle {\overline {\textrm {BF}}},}$

対立仮説におけるp値の分布はパラメータ付きベータ分布に従い、HMPの重みはモデル平均ベイズ係数のより厳しい上限を提供するという仮定の下では、グッドの経験的関係の反比例関係を再び再現する結果となる。^[16]${\displaystyle \left(1,\kappa _{i}>1\right),}$${\displaystyle w_{i}=\mu _{i},}$$${\displaystyle {\overline {\textrm {BF}}}\leq {\frac {1}{e\,{\overset {\circ }{p}}}},}$$