QM–AM–GM–HM 不等式

数学では、QM–AM–GM–HM 不等式（平均不等式連鎖とも呼ばれる）は、調和平均（HM）、幾何平均（GM）、算術平均（AM）、および二乗平均（QM、二乗平均平方根とも呼ばれる）の関係を表します。 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ は正の実数である。すると^{[ 1 ]}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}.

言い換えれば、HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM が成り立つ。これらの不等式は数学の競技会でよく登場し、科学の多くの分野で応用されている。

証拠

証明すべき不等式は3つあります。これらの不等式を証明するには、数学的帰納法、コーシー・シュワルツの不等式、ラグランジュ乗数法、イェンセンの不等式など、さまざまな方法があります。GM ≤ AM の証明については、「算術平均と幾何平均の不等式」を参照してください。

AM–QM不等式

実数に関するコーシー・シュワルツの不等式から、1つのベクトルを $(1, 1, ...)$ に設定すると、次のようになる。

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot 1\right)^{\!2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}1^{2}\right)=n\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},

したがって

\displaystyle \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{\!2}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}}

良い意味で

x_{i}

この平方根をとると、不等式が得られます。

AM-GM不平等

イェンセンの不等式は、凹関数の算術平均の値は、その関数の値の算術平均以上であると述べています。対数関数は凹関数なので、次のようになります。

\log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\left(\prod x_{i}\right)^{1/n}\right).

左端と右端の対数（指数関数）の逆対数を取ると、AM–GM不等式が得られます。

HM-GM不平等

調和平均の逆数は、逆数の算術平均である。 $1/x_{1},\dots ,1/x_{n}$ 、そしてそれは超える $1/{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$ AM-GM不等式によって。 $x_{i}>0$ 不等式を意味する。

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}.

^{[ 2 ]}

n = 2の場合

n = 2の場合、不等式は次のようになります。

{\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}

すべての人々のために

x_{1},x_{2}>0,

^{[ 3 ]}

これは、直径がx ₁ + x ₂の半円として視覚化できます。

Cを [ AB ]上の点とし、 AC = x ₁、BC = x ₂とします。[ AB ]の中点をDとし、 AからBへの半円の中心とします。 [ AB ]にそれぞれDとCで垂線を引いて、円との交点をそれぞれEとFとします。 [ CE ] と [ DF ] を結び、さらに [ DF ]にGで垂線 [ CG ]を引きます。 DEの長さは、円の半直線であるため、算術平均になります。CE はピタゴラスの定理から二乗平均として計算でき、CF はタレスの定理( $△$ $ABF が$ 直角三角形であることを確立する) と幾何平均の定理の組み合わせから幾何平均として計算でき、GF は三角形 $△$ $CGF$ と $△$ $DCF$ の相似から調和平均として計算できます(その辺 [ DF ] の長さはピタゴラスの定理と他の 2 つの既知の辺を使用して計算できます)。

{\displaystyle x_{1}} — 2つの正の実数の調和平均、幾何平均、算術平均、二次平均、およびその他の平均値の比較 $x_{1}$ そして $x_{2}$

参考文献

↑ Djukić, Dušan (2011). IMO問題集：1959年から2009年までの国際数学オリンピックで提案された問題集。数学問題集。国際数学オリンピック。ニューヨーク：Springer。p. 7。ISBN 978-1-4419-9854-5。
↑セドラキャン、ハイク。 Sedrakyan、Nairi (2018)、「The HM-GM-AM-QM Inequalities」、Sedrakyan、Hayk; Sedrakyan、Nairi (編)、『代数的不等式』、数学の問題集、Cham: Springer International Publishing、p. 23、土井：10.1007/978-3-319-77836-5_3、ISBN 978-3-319-77836-52023年11月26日取得
↑セドラキャン、ハイク。 Sedrakyan、Nairi (2018)、「The HM-GM-AM-QM Inequalities」、Sedrakyan、Hayk; Sedrakyan、Nairi (編)、『代数的不等式』、数学の問題集、Cham: Springer International Publishing、p. 21、土井：10.1007/978-3-319-77836-5_3、ISBN 978-3-319-77836-52023年11月26日取得

外部リンク

HM-GM-AM-QM不等式（2022年8月14日アーカイブ）
便利な不等式早見表の1ページ目の右側にある「means」の項目

[1] Djukić, Dušan (2011). IMO問題集：1959年から2009年までの国際数学オリンピックで提案された問題集。数学問題集。国際数学オリンピック。ニューヨーク：Springer。p. 7。ISBN 978-1-4419-9854-5。

[2] セドラキャン、ハイク。 Sedrakyan、Nairi (2018)、「The HM-GM-AM-QM Inequalities」、Sedrakyan、Hayk; Sedrakyan、Nairi (編)、『代数的不等式』、数学の問題集、Cham: Springer International Publishing、p. 23、土井：10.1007/978-3-319-77836-5_3、ISBN 978-3-319-77836-52023年11月26日取得

[3] セドラキャン、ハイク。 Sedrakyan、Nairi (2018)、「The HM-GM-AM-QM Inequalities」、Sedrakyan、Hayk; Sedrakyan、Nairi (編)、『代数的不等式』、数学の問題集、Cham: Springer International Publishing、p. 21、土井：10.1007/978-3-319-77836-5_3、ISBN 978-3-319-77836-52023年11月26日取得

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QM–AM–GM–HM 不等式

証拠

AM–QM不等式

AM-GM不平等

HM-GM不平等

n = 2の場合

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