投票ルールの比較

この記事では、さまざまな選挙制度を比較する方法と結果について説明します。投票制度を比較する方法は、大きく分けて 2 つあります。

1. シミュレーションまたは調査による有権者満足度の指標。
2. 論理的基準の遵守。

投票方法は、現実の選挙の特性に忠実であることを目指したランダムな模擬選挙でその精度を測定することによって評価することができます。最初の評価は1978年にチャンバーリンとコーエンによって行われ、彼らは特定の非コンドルセ方式でコンドルセ勝者が選出される頻度を測定しました。^[1]

コンドルセ侯爵は選挙を陪審員の投票に類似したものとみなし、各陪審員が候補者の質について独立した判断を下すとした。候補者は客観的な能力の点で異なるが、投票者は候補者の相対的な能力について不完全な情報しか持っていない。このような陪審員モデルは、価数モデルと呼ばれることもある。コンドルセと同時代のラプラスは、このようなモデルでは、各候補者の期待される能力を見つけることで投票理論を確率に還元できることを実証した。^[2]

陪審員モデルは、さまざまなモデルにおける投票システムの精度に関するいくつかの自然な概念を暗示しています。

1. 投票者の評価に正規分布に従う誤差がある場合、理想的な手順はスコア投票です。
2. ランキング情報しか利用できず、候補者よりも投票者の方がはるかに多い場合、どのコンドルセ方式でも、最有力候補である可能性が最も高い単一のコンドルセ勝者に収束します。^[3]

しかし、コンドルセのモデルは、独立エラーという極めて強い仮定に基づいています。つまり、有権者は特定の候補者グループに系統的に偏ることはないということです。これは通常非現実的です。有権者は互いにコミュニケーションを取り、政党や政治思想を形成し、相関エラーにつながる可能性のある他の行動をとる傾向があるからです。

ダンカン・ブラックは1948年に、選挙はイデオロギーによって動かされるという観点から、投票の1次元空間モデルを提唱した。^[4]彼のアイデアは後にアンソニー・ダウンズによって拡張された。^[5]有権者の意見は1次元以上の空間における位置とみなされ、候補者は同じ空間内に位置を持ち、有権者は（ユークリッド距離または他の測定基準で測定された）近接性の順に候補者を選択する。

空間モデルは、投票システムに対するメリットの異なる概念を暗示します。つまり、勝利した候補者が投票者分布の位置パラメータとして受け入れられるほど、システムはより良くなります。政治的スペクトルは、1 次元の空間モデルです。

中立投票モデルは、パラメータの数を最小限に抑えようとします。これは、何も隠さない原則の例として挙げられます。最も一般的なモデルは、公平な匿名文化モデル (またはディリクレモデル) です。これらのモデルでは、投票者が各候補者に完全にランダムに (一様分布から) 効用を割り当てると想定されています。

タイドマンとプラスマンは、2次元空間モデルが、大規模な選挙ランキングの3候補者削減に妥当な適合性を与えることを示す研究を行った。陪審員モデル、中立モデル、および1次元空間モデルはすべて不十分であった。^[6]彼らは、有権者の好みにおけるコンドルセサイクル（例えば、AがBより多数派の有権者に好まれ、BがCより、CがAより好まれる）を調べ、その数が小規模サンプル効果と一致していることを発見し、「投票サイクルは、多数の有権者がいる選挙では、たとえあったとしても、非常にまれである」と結論付けた。サンプルサイズの関連性は、ゴードン・タロックによって以前に研究されており、有限の選挙区ではサイクルが発生しやすいが、候補者がサイクルを引き起こす可能性のある領域は、有権者の数が増えるにつれて縮小すると図式的に主張した。^[7]

功利主義モデルでは、投票者は候補者を効用の順にランク付けしているとみなします。このモデルでは、正当な勝者は、社会全体の効用を最大化する候補者です。功利主義モデルは、いくつかの重要な点で空間モデルと異なります。

• 有権者は、自分の好みにイデオロギー的な影響はなく、情報に基づいた自己利益のみによって動機づけられているという追加の仮定も必要となる。
• 空間モデルの距離測定基準を、実用性の忠実な尺度に置き換える必要があります。
• その結果、指標は有権者ごとに異なる必要があります。あるグループの有権者は 2 人の候補者の選択に大きく影響される一方で、別のグループの有権者はほとんど影響を受けないということはよくあります。その場合、指標は極めて非対称である必要があります。

最後の性質から、すべての投票者に平等な影響力を与える投票システムは、最大の社会的効用を達成する可能性が低いことがわかります。功利主義と民主主義の主張が対立する極端なケースは、「多数派の専制」と呼ばれます。ラスリエの論文にあるラスリエ、マーリン、ヌルミのコメントを参照してください。^[8]

ジェームズ・ミルは、民主主義と功利主義の間に先験的なつながりが存在すると主張した最初の人物であると思われる（スタンフォード百科事典の記事を参照）。^[9]

ある選挙のi ^番目 の候補者の功績がx _i （ x _i  ~  N  (0,σ ² ) ^[10]と仮定する）であり、候補者iに対する投票者j の支持度がx _i  + ε _{ij （ε ij}はiid. N  (0,τ ² )であると仮定する）と表記されるとする。投票者は支持度の高い順に候補者をランク付けすると仮定する。ε _{ij を}投票者j の候補者iに対する評価の誤差と解釈し、最も功績のある候補者を見つけるという課題を持つ投票方法とみなすことができる。

各投票者は、2 人の候補者のうち、より良い候補者を、より良くない候補者よりも高い順位にランク付けする確率は、確定的な確率pです(ここで概説した正規モデルでは、これは に等しく、象限上のガウス積分の標準式から確認できます^[要出典] )。 コンドルセの陪審定理によれば、 p  >  1 ⁄ 2である限り、陪審の多数決は、単独の陪審員の意見よりも、2 人の候補者の相対的な長所を判断する上で優れた指標となります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {\sigma }{\tau }}}$

ペイトン・ヤングは、任意の数の候補者間の投票にはさらに3つの性質が適用されることを示し、コンドルセが最初の性質と3番目の性質を認識していたことを示唆した。^[11]

• pが1 ⁄ 2に近い場合、Borda勝者は最良候補の最大尤度推定値になります。
• pが 1 に近い場合、ミニマックス勝者は最良候補の最大尤度推定値になります。
• 任意のpについて、Kemeny-Young ランキングは真の能力順位の最大尤度推定値です。

ロバート・F・ボードリーは、コンドルセの陪審員モデルを少し変形した「功利主義」モデルを構築した。^[12]彼は、投票方法の課題は有権者からの総支持が最も高い候補者、つまり個々の投票者の支持レベルの合計が最も高い候補者を見つけることであると考えた。このモデルは、σ ²  = 0 の場合でも意味をなしており、その場合、p はnが投票者数である値を取る。彼はこのモデルで評価を行い、予想通り、ボルダカウントが最も正確であることを発見した。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {1}{n-1}}}$

模擬選挙は、適切な空間における投票者の分布から構築できます。図は、O を中心とする 2 変量ガウス分布を満たす投票者を示しています。ランダムに生成された 3 人の候補者、A、B、C がいます。空間は 3 本の線で 6 つのセグメントに分割され、各セグメントの投票者は同じ候補者の好みを持っています。何らかの方法で候補者を並べ替える投票者の割合は、関連するセグメント上の投票者分布の積分によって与えられます。

候補者の 6 つの可能な順序に対応する割合によって、さまざまな投票システムによって得られる結果が決まります。最適な候補者、つまり O に最も近い候補者 (この場合は A) を選んだものは正しい結果を出したとみなされ、他の候補者を選んだものはエラーを示しています。ランダムに生成された多数の候補者の結果を調べることで、投票システムの経験的特性を測定できます。

ここで概説する評価プロトコルは、タイドマンとプラスマンが説明したものをモデルにしています。^[6] このタイプの評価は、単一勝者選挙制度で最も一般的です。順位付け投票システムはこのフレームワークに最も自然にフィットしますが、他の種類の投票（FPTPや承認投票など）も、より少ないまたはより多くの労力で対応できます。

評価プロトコルはさまざまな方法で変更できます。

• 投票者の数は有限で、その規模はさまざまです。実際には、これはほとんどの場合多変量モデルで行われ、投票者は分布からサンプリングされ、大規模な選挙区の結果は制限された行動を示すために使用されます。
• 候補者の数は変更可能です。
• 投票者の分布は変化させることができ、例えば非対称分布の影響を調べることができる。投票者の数が有限である場合、ランダムサンプリング効果によって正規分布からのわずかな逸脱が伴う。より体系的な逸脱（ガウス混合モデルの形をとると思われる）は、2017年にジェイムソン・クインによって調査された。^[13]

評価の主な用途の 1 つは、投票者が誠実に投票した場合の投票システムの精度を比較することです。無限の数の投票者がガウス分布を満たす場合、選挙の正当な勝者は平均/中央値に最も近い候補者と見なすことができ、方法の精度は正当な勝者が選出される選挙の割合で識別できます。中央値投票定理は、すべてのコンドルセシステムが 100% の精度を与えることを保証します (同じことはクームズ法にも当てはまります^[14] )。

研究論文で発表された評価では多次元ガウス分布が使用され、計算が数値的に困難になっている。^{[1] [15] [16] [17]}投票者の数は有限に保たれ、候補者の数も必然的に少なくなる。

計算は、投票者の数が無限で候補者の数が任意のmである単一次元でははるかに簡単になります。この単純なケースの結果は最初の表に示されており、引用されている Chamberlin と Cohen の論文の表 5 (投票者 1000 人、分散度中) と直接比較できます。候補者は投票者の分布からランダムにサンプリングされ、確認のために単一のコンドルセ法 (ミニマックス) が試行に含まれていました。

代替投票(IRV)のパフォーマンスが比較的低いのは、図に示されているよく知られた一般的なエラーの原因によって説明されます。この図では、選挙は単変量空間モデルを満たし、正当な勝者 B は第 1 ラウンドで排除されます。同様の問題はすべての次元に存在します。

精度の別の尺度は、勝者から投票者までの平均距離です (距離が小さいほど良いことを意味します)。これによって投票方法の順位が変わる可能性は低いですが、距離を不効用と解釈する人が好んでいます。2 番目の表は、同じモデルで 10 人の候補者の平均距離 (標準偏差) から(標準ガウス分布の中心からの変量の平均距離)を引いた値 を示しています。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}}$

ジェームズ・グリーン・アーミテージらは、投票者による操作に対するいくつかの投票システムの脆弱性を評価した研究を発表しました。^[18]彼らは、この目的のために評価をどのように適応させたかについてはほとんど言及しておらず、「創造的なプログラミングが必要」とだけ述べています。第一著者による以前の論文では、もう少し詳しく説明されています。^[19]

模擬選挙の候補者数は 3 人に制限されました。これにより、特定のシステム間の区別がなくなります。たとえば、ブラック法とダスグプタ・マスクイン法は、候補者が 3 人の場合は同等です。

この研究の結論を要約するのは難しいが、ボルダカウントの成績は悪く、ミニマックスはやや脆弱で、IRV は非常に耐性があった。著者らは、コンドルセ勝者がいない選挙に任意の方法を限定しても（コンドルセ勝者がいる場合はコンドルセ勝者を選ぶ）、戦略的投票の影響を受けやすくなることは決してないことを示した。著者らは、コンドルセ基準で決着がつかない選挙の同点決着として IRV を使用する「コンドルセ-ヘア」システムは、IRV 単独の場合と同程度に戦略的投票に耐性があり、より正確であると報告した。コンドルセ-ヘアは、候補者が 3 人の選挙で IRV 同点決着を使用する Copeland の方法と同等である。

一部のシステム、特にボルダ カウントは、候補者の分布が投票者の分布に対してずれている場合に脆弱です。添付の​​表は、無限の投票者が単変量ガウス分布を満たし、m 人の候補者がx標準分布によってオフセットされた同様の分布から抽出された場合のボルダ カウントの精度 (パーセンテージ) を示しています。赤色は、ランダムよりも悪い数値を示しています。この問題では、すべてのコンドルセ法で 100% の精度が得られることを思い出してください。(また、候補者が 3 人だけの場合には、 x が増加するにつれて精度が低下することは見られません。)

候補者の分布に対する敏感さは、正確さの問題、または操作に対する抵抗の問題として考えることができます。物事の成り行き上、候補者は当然有権者と同じ分布から来ると予想される場合、いかなる置き換えも転覆の試みと見なされます。しかし、候補者の実現可能性を決定する要因 (資金援助など) がイデオロギー的立場と相関している可能性があると考える場合、正確さの観点からそれを見ることになります。

発表された評価は、候補者分布についてさまざまな見方をしている。候補者は有権者と同じ分布から選ばれると単純に想定しているものもある。^{[16] [18]}いくつかの古い論文は、平均は等しいと想定しているが、候補者分布が有権者分布よりも多かれ少なかれ狭いことを許容している。^{[20] [1]}タイドマンとプラスマンの論文は、経験的測定に基づいて候補者と有権者分布の関係を概算している。^[15]これは、候補者分布が投票システムの弱点を悪用して調整されることを考慮していないため、見た目ほど現実的ではない。ジェームズ・グリーンアーミテージの論文は、候補者分布を別の問題として扱い、それを操作の一形態と見なし、戦略的な参入と退出の影響を測定している。当然のことながら、彼はボルダカウントが特に脆弱であると考えている。^[19]

• 前述のように、チェンバレンとコーエンは、特定の非コンドルセ制度がコンドルセ勝者を選出する頻度を測定した。投票者と候補者の分布が等しい空間モデルでは、頻度は99% (クームズ)、86% (ボルダ)、60% (IRV)、33% (FPTP) である。^[1]これはコンドルセ効率と呼ばれることもある。
• ダーリントンは、コンドルセ勝者がいない選挙でコープランドの方法が唯一の勝者を生み出す頻度を測定した。彼は、候補者が10人以下の場合、その確率は50%未満であることを発見した。^[17]

空間モデルに基づく投票システムのタスクは、投票者の意見の分布を最も正確に表す位置の候補者を特定することです。これは、候補者が提示した選択肢のセットから分布の位置パラメータを選択することに相当します。位置パラメータは、平均、中央値、または最頻値に基づくことができますが、優先順位投票では順序情報しか提供されないため、中央値が唯一許容される統計値です。

これは、同じ候補者だが投票者の分布が異なる 2 つの模擬選挙を示す図からわかります。どちらの場合も、候補者間の中間点は投票者分布の 51 パーセンタイルです。したがって、投票者の 51% が A を好み、49% が B を好みます。投票人口の中央値に最も近い候補者を選出する場合に投票方法が正しいとみなす場合、中央値は必然的に 51% の線よりわずかに左にあるため、いずれの場合も A を選出する場合に投票方法が正しいとみなされます。

青緑色の分布の平均も 51% ラインよりわずかに左にありますが、オレンジ色の分布の平均はわずかに右にあります。したがって、投票人口の平均に最も近い候補者を選出する投票方法が正しいとみなす場合、2 回の選挙で同じ投票から異なる勝者を生み出さない限り、その方法は満点を得ることができません。明らかに、これは投票方法に誤った誤差を帰属させることになります。同じ問題は、位置の基数測定で発生します。一貫した結果をもたらすのは中央値だけです。

中央値は多変量分布では定義されませんが、単変量中央値は便利に一般化できる特性を持っています。分布の中央値は、分布内のすべての点からの平均距離が最小の位置です。この定義は、複数の次元における幾何中央値に一般化されます。距離は、多くの場合、投票者の不効用関数として定義されます。

候補者の集合と投票者の集団がある場合、投票者の幾何平均を求めるという計算的に難しい問題を解決し、それに最も近い候補者を特定する必要はない。代わりに、投票者からの平均距離が最小になる候補者を特定すればよい。これは、メリル以降一般的に採用されている指標である。^[20]グリーン・アーミテージとダーリントンも参照。^{[19] [16]}

投票者分布の幾何中央値に最も近い候補者は、「空間的勝者」と呼ばれることがあります。

実際の選挙のデータは、国同士を比較するか、実際の選挙データに代替選挙制度を適用することで、異なる制度の効果を比較するために分析することができる。選挙の結果は、民主主義指標、政治的分裂の尺度、投票率、^{[21] [22]} 政治的有効性、さまざまな経済的および司法的指標を通じて比較することができる。実際の選挙を評価する実際的な基準には、無駄な票の割合、投票集計の複雑さ、比例性、新しい政治運動の参入障壁などがある。^[23]実際の選挙を比較するためのさらなる機会は、選挙制度改革を通じて生まれる。

カナダにおけるそのような機会の例として、エドモントン市（カナダ）が挙げられます。同市では、 1917年のアルバータ州総選挙では小選挙区制でしたが、 1921年のアルバータ州総選挙では5人制の一括投票、 1926年のアルバータ州総選挙では5人制の移譲式投票、そして1959年のアルバータ州総選挙では再び小選挙区制に移行しました。1917年、1921年、1959年には、1つの政党がエドモントンの全議席を制覇しました。1926年のSTVの下では、保守党2名、自由党1名、労働党1名、統一農民党1名の州議会議員が当選しました。

伝統的に、さまざまな選挙制度の利点は、論理的基準を参照して議論されてきました。これらは、選挙決定の推論規則の形をとっており、たとえば、「EとE ' がR  ( E、E ') となる選挙であり 、A がEの正当な勝者であれば 、A はE 'の正当な勝者でもある 」という推論を許可しています。

絶対的基準とは、投票用紙のセットが特定の方法である場合、特定の候補者が必ず勝つか、勝たない必要があることを規定します。

これらは、ある状況で特定の候補者が勝利した場合、関連する状況でも同じ候補者が勝利しなければならない（または勝利してはならない）ことを示す基準です。

これらは、投票を集計して勝者を決定するプロセスに関連する基準です。

これらは、投票者が特定の戦略形式を使用する動機に関連する基準です。これらは相対的な結果基準と見なすこともできますが、そのセクションの基準とは異なり、これらの基準は投票者に直接関連しています。方法がこれらの基準を満たすという事実は、最適な戦略的投票を判断するプロセスを簡素化できます。

投票は、基数投票と順序投票の2 つのカテゴリに大まかに分類できます。基数投票では各候補者に対する個別の支持尺度を求め、順序投票では相対的な支持尺度を求めます。STAR など、1 つのカテゴリにきちんと分類されない方法もあります。STAR では、投票者に各候補者に対する個別の評価を求めますが、勝者を決定するために絶対評価と相対評価の両方を使用します。投票タイプのみに基づいて 2 つの方法を比較することは、投票タイプがここに記載されている他の数学的基準の 1 つに関連しない限り、主に投票者の経験上の好みの問題です。

基準 A が満たされると B も満たされる場合、基準 A は B より「強力」です。たとえば、すべての多数決勝者はコンドルセ勝者なので、コンドルセ基準は多数決基準より強力です。したがって、コンドルセ基準を満たす投票方法は、多数決基準も満たす必要があります。

次の表は、いくつかの単一勝者方式が上記の基準のどれを満たすかを示しています。すべての基準がリストされているわけではありません。

社会選択理論家は、上記の懸念を利用して、正確で操作に強いシステムを考案しています。しかし、あるシステムが他のシステムよりも社会的に受け入れられやすい実用的な理由もあり、これは公共選択と政治学の分野に該当します。^{[8] [16]}重要な実用的な考慮事項は次のとおりです。

• 説明の容易さ。投票ルールの中には、有権者が直感的に理解できるような方法で説明するのが難しいものがあり、それが選挙に対する国民の信頼を損なう可能性がある。^{[8] [検証に失敗した]}たとえば、シュルツのルールは上記の基準の多くを満たしているが、ビートパスの複雑な説明が必要である。
• 投票のしやすさ。さまざまな種類の投票用紙の方が記入が簡単な場合があります。たとえば、調査では一般的に、投票者は、評価投票や多数決投票と比較して、順位投票を複雑でわかりにくいと考えていることがわかっています。

その他の考慮事項としては、政治競争への参入障壁^[28]や政府の行き詰まりの可能性^[29]などが挙げられる。

複数当選者制の選挙制度は、単独当選者による投票と同じ決定を下すよりも広い意味での代表性を持った議会の実現を目指している。また、多数決ブロック投票や名簿投票などの非比例制が採用された場合、都市の議席を一党が独占する事態につながる可能性もある。

複数勝者投票方法のパフォーマンスを評価するには、単一勝者システムで使用されるものとは異なる指標が必要です。以下の指標が提案されています。

• コンドルセ委員会効率性（CCE）は、選出された勝者のグループがペアワイズレースですべての敗者に勝つ可能性を測定します。^[30]
• ギャラガー指数とルースモア・ハンビー指数(LH) は、議席シェアと政党の得票シェアの比例性を測定します。ギャラガー指数は、通常、政党全体の投票率、または議席シェアと比較した得票率を使用して比例性を評価するため、選挙区の存在は無視されます。
• 無駄な票は、代表者によって代表されていない有権者の割合を測定します。

次の表は、複数の勝者方法によって上記の基準のどれが満たされるかを示しています。

• 順位投票
• アローの不可能性定理
• 基数効用と順序効用
• コンドルセのパラドックス