ミニマックスコンドルセ法

投票システムにおいて、ミニマックス・コンドルセ法は、常に多数決（コンドルセ）勝者を選出する単一勝者 順位選択投票法である。^{[1]ミニマックスは、}総当たり戦ですべての候補者を互いに比較し、最悪の選挙結果（最も得票数が少ない結果）で候補者を順位付けする。最悪（最小）の組み合わせで最大（最大）の得票数を獲得した候補者が勝者と宣言される。

ミニマックス コンドルセ法では、他の候補者のペアワイズ スコアが自分に対して最も高い候補者が、すべての候補者の中でそのスコアが最も低い候補者を選択します。

政治家たちが、総当たり戦のサッカーチームのように競い合うところを想像してください。各チームは他のすべてのチームと 1 回ずつ対戦します。各対戦で、候補者の得点は、対立候補よりもその候補者を支持した有権者の数に等しくなります。

Minimax は、各チーム (または候補者) の最悪の試合、つまり獲得ポイント (投票数) が最も少なかった試合を見つけます。各チームのトーナメント スコアは、最悪の試合で獲得したポイント数に等しくなります。トーナメントで 1 位になるのは、最高のトーナメント スコアを獲得したチームです。

正式には、に対するのペアワイズスコアを で表します。すると、ミニマックスによって選択される候補者(つまり勝者) は次のように与えられます。 ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=\arg \min _{X}\left(\max _{Y}\operatorname {score} (Y,X)\right)}$

候補者を平等にランク付けすること、またはすべての候補者をランク付けしないことが許される場合、規則の 3 つの解釈が可能です。投票者がすべての候補者をランク付けしなければならない場合、3 つの解釈はすべて同等です。

X をYより上位にランク付けする投票者の数を とします。バリアントは、候補者XのYに対するスコアを次のように定義します。 ${\displaystyle d(X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y)}$

1. X をYより上にランク付けした投票者の数。ただし、このスコアがY をXより上にランク付けした投票者の数を超えた場合のみです。そうでない場合、 Yに対するXのスコアは0 です。このバリエーションは勝利票と呼ばれることもあり、社会的選択理論家によって最も一般的に使用され、好まれています。
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):={\begin{cases}d(X,Y),&d(X,Y)>d(Y,X)\\0,&{\text{else}}\end{cases}}}$
2. X をYより上にランク付けした投票者の数から、 Y をXより上にランク付けした投票者の数を引いたもの。この変形はマージンと呼ばれ、あまり使用されません。
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)}$
3. X をYより上にランク付けした投票者の数。XをYより上にランク付けした投票者の数が多いか、またはその逆かは関係ありません。このバリエーションは一対一の反対と呼ばれ、これもめったに使用されません。
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)}$

最初の 2 つのバリエーションのいずれかを使用する場合、この方法は次のように言い換えることができます。「1 人の候補者が負けなしになるまで、最も弱いペアの敗北を無視します。」 「負けなし」の候補者は、その候補者に対して 0 または負の最大スコアを持ちます。

勝利票またはマージンを使用するミニマックスは、コンドルセ基準と多数決基準を満たしますが、スミス基準、相互多数決基準、またはコンドルセ敗者基準は満たしません。勝利票を使用する場合、ミニマックスは多数決基準も満たします。

ミニマックスは、無関係な選択肢の独立性、クローンの独立性、無関係な選択肢の局所的独立性、およびスミス優位の選択肢の独立性を満たさない。^[要出典]

ペアワイズ対立変種（MMPO と呼ばれることもある）では、ミニマックスは多数派の強さのコンドルセ基準のみを満たします。つまり、他のすべての候補者に対して相対的に多数派である候補者は選出されない可能性があります。MMPO は、後で害を与えないシステムであり、誠実な好みの基準も満たします。

Nicolaus Tideman は、コンドルセ閉路を作成するエッジのみを削除するようにミニマックスを修正し、彼の方法が上記の性質の多くを満たすようにしました。Schulze の方法も同様に、候補が 3 つしかない場合はミニマックスになります。

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心部に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15％）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

ペアワイズスコアの結果は次のように表にまとめられます。

• [X]は、列のキャプションに記載されている候補者を行のキャプションに記載されている候補者よりも支持した有権者を示します。
• [Y]は、行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。

結果: 3 つの選択肢すべてにおいて、ナッシュビルの値が最も低く、勝者に選ばれました。

3 人の候補者 A、B、C と、次のような好みを持つ有権者を想定します。

結果は次のように表にまとめられます。

• [X]は、列のキャプションに記載されている候補者を行のキャプションに記載されている候補者よりも支持した有権者を示します。
• [Y]は、行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。

結果: 勝利票とマージンの選択肢により、コンドルセ勝者Aがミニマックス勝者と宣言されます。ただし、ペアワイズ反対の選択肢を使用すると、 A に対する最悪のペアワイズ スコアで強く反対する投票者の数が、B に対する最悪のペアワイズ スコアで反対する投票者の数よりも少ないため、 Cが勝者と宣言されます。

4 人の候補者 A、B、C、D を想定します。投票者は一部の候補者を考慮しないことが許可されており (表では n/a と表示されます)、その場合、その候補者のペアワイズ スコアにはその投票は考慮されません。

結果は次のように表にまとめられます。

• [X]は、列のキャプションに記載されている候補者を行のキャプションに記載されている候補者よりも支持した有権者を示します。
• [Y]は、行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。

結果: 3 つの選択肢のそれぞれで別の勝者が決まります。

• 勝利票選択肢は、勝者が最大の敗北を喫した際の得票数が最も少ない 35 票であるA を勝者として選択します。
• マージン選択肢は、最大の敗北で得票差が最も小さいBを勝者として選択します。
• そして、ペアワイズ反対派は、すべてのペアワイズスコアにおいて最大の反対派の得票数が最も少ないコンドルセ敗者D を勝者として選択します。

• ミニマックス– メインのミニマックス記事
• マルチウィナー投票- Minimax Condorcet のいくつかのマルチウィナーバリアントに関する情報が含まれています。

• レビン、ジョナサン、バリー・ナレバフ。1995年。「投票集計スキーム入門。」経済展望ジャーナル、9(1):3–26。

• 順位付け投票方式の説明: ロブ・ルグランによるシンプソン
• Minimax メソッドの 3 つのバリエーションを含む複数の Condorcet メソッドをサポートするCondorcet クラスPHP ライブラリ。
• エレクトロウィキ: ミニマックス