ビリアル定理

力学において、ビリアル定理は、保存力（行われた仕事が経路に依存しない）によって束縛された離散粒子の安定したシステムの全運動エネルギーの経時平均と、システムの全位置エネルギーの経時平均を関連付ける一般的な方程式を提供します 。数学的には、定理は、 T がN個の粒子の全運動エネルギー、F _{k が}位置r _kにあるk番目の粒子にかかる力、山括弧が囲まれた量の経時平均を表すことを述べています。方程式の右辺のビリアルという単語は、ラテン語で「力」または「エネルギー」を意味するvisに由来し、 1870 年にルドルフ クラウジウスによって技術的に定義されました。 ^[1]$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf { r} _{k}\rangle ,}$$

ビリアル定理の重要性は、統計力学で考慮されるような、正確な解が不可能な非常に複雑なシステムでも、平均全運動エネルギーを計算できることです。この平均全運動エネルギーは、等分配定理によってシステムの温度に関連付けられます。しかし、ビリアル定理は温度の概念に依存せず、熱平衡状態にないシステムでも有効です。ビリアル定理はさまざまな方法で一般化されており、最も有名なのはテンソル形式です。

システムの任意の2つの粒子間の力が、粒子間距離rのn乗に比例する位置エネルギー V ( r ) = αr ⁿから生じる場合、ビリアル定理は単純な形になります。 $${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

したがって、平均全運動エネルギー⟨ T ⟩の 2 倍は、平均全位置エネルギー⟨ V _TOT ⟩のn倍に等しくなります。V ( r ) は距離rにある 2 つの粒子間の位置エネルギーを表しますが、V _{TOT は}システム全体の位置エネルギー、つまりシステム内のすべての粒子ペアの位置エネルギーV ( r )の合計を表します。このようなシステムの一般的な例は、自身の重力によって保持されている星で、n = −1です。

1870 年、ルドルフ・クラウジウスは、 20 年にわたる熱力学の研究を経て、下ライン自然医学協会で「熱に適用できる力学定理について」という講演を行いました。この講演では、システムの平均vis vivoはそのビリアルに等しい、つまり平均運動エネルギーは平均位置エネルギーの半分である、と述べられています。ビリアル定理は、ラグランジュの恒等式^{[移動されたリソース? ] を}古典的な重力力学に適用することで直接得ることができます。この定理の元の形式は、1772 年に出版されたラグランジュの「三体問題に関する論文」に含まれています。カール・ヤコビによるこの恒等式のN体への一般化 と、現在のラプラスの恒等式の形式は、古典的なビリアル定理に非常に似ています。しかし、方程式の開発につながった解釈は非常に異なっていました。なぜなら、方程式の開発当時、統計力学は熱力学と古典力学の個別の研究をまだ統合していなかったからです。^{[2]この定理は後に、}ジェームズ・クラーク・マクスウェル、レイリー卿、アンリ・ポアンカレ、スブラマニアン・チャンドラセカール、エンリコ・フェルミ、ポール・ルドゥ、リチャード・ベイダー、ユージン・パーカーによって利用、普及、一般化され、さらに発展させられました。フリッツ・ツビッキーは、現在では暗黒物質と呼ばれている目に見えない物質の存在を推測するためにビリアル定理を使用した最初の人物でした。リチャード・ベイダーは、システム全体の電荷分布が、ビリアル定理に従う運動エネルギーと位置エネルギーに分割できることを示しました。^{[3]多くの応用例のもう1つの例として、ビリアル定理は、}白色矮星の安定性に関するチャンドラセカール限界を導くために使用されています。

相互に引力を受ける、質量が等しいmのN = 2 個の粒子について考えます。粒子が半径rの円軌道の正反対の点にあるとします。速度はv ₁ ( t )とv ₂ ( t ) = − v ₁ ( t )で、力F ₁ ( t )とF ₂ ( t ) = − F ₁ ( t )に対して垂直です。それぞれの大きさはvとFで固定されています。 t _1からt ₂までの時間間隔におけるシステムの平均運動エネルギーは、 質量の中心を原点とすると、粒子の位置はr ₁ ( t )とr ₂ ( t ) = − r ₁ ( t )で、大きさは固定されています。引力は位置と反対方向に作用するため、F ₁ ( t ) ⋅ r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) ⋅ r ₂ ( t ) = − Frとなります。求心力の式F = mv ² / rを適用すると、必要な結果が 得られます。注: 原点がずれている場合、同じ結果が得られます。これは、変位と等しく反対の力F ₁ ( t )、F ₂ ( t )のドット積により、正味のキャンセルが生じるためです。 $${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}|\mathbf {v} _{k}(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)\,dt=mv^{2}.}$$$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle =-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

ビリアル定理は総運動エネルギーと位置エネルギーの平均化に依存しますが、ここでの説明では平均化を最後のステップまで延期します。

N個の点粒子の集合について、原点周りのスカラー慣性モーメントI は、 m _kとrk_がk番目の粒子の質量と位置を表す 場合、次の式で表されます。rk = | rk _|は位置ベクトルの大きさです。k 番目の粒子の運動量ベクトル p k のスカラーを考えてみましょう 。 [ 4 ] 質量が_一定であると^仮定すると、Gはこの慣性モーメントの時間微分値の半分になります。 また、Gの時間微分は、 m _kがk番目の粒子の質量の 場合、 F _k = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2},}$$$${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},\end{aligned}}}$$d p _k/dt⁠ はその粒子に働く正味の力であり、 T はv _k = ⁠に従ったシステム全体の運動エネルギーである。d r _k/dt⁠各粒子の速度、 $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

粒子kに働く全力F _kは、システム内の 他の粒子jからのすべての力の合計です。 ここで、F _jkは粒子jが粒子kにかける力です。したがって、ビリアルは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk},}$$$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$$

粒子は自分自身に作用しないため (つまり、1 ≤ j ≤ Nに対してF _jj = 0 )、この対角線の下と上の項で合計を分割し、それらをペアで加算します。 ここでは、ニュートンの運動の第 3 法則、つまりF _jk = − F _kj (等しく反対の反応) を使用しています。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j})\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j})=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}),\end{aligned}}}$$

力は、点粒子jと点粒子kの間の距離r _jkのみの関数である位置エネルギーV _jkから導かれることがよくあります。力は位置エネルギーの負の勾配であるため、この場合は、 粒子kが粒子jに及ぼす力F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk と等しく反対であり、明示的な計算によって確認できます。したがって、 $${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

したがって $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

一般的な特殊なケースでは、2 つの粒子間の位置エネルギーV は、それらの距離 rij のn_乗に比例します。 ここで、係数αと指数n は定数です。このような場合、ビリアルは、 システム の全位置エネルギーです。 $${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}}$$

したがって $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}.}$$

重力系の場合、指数nは-1に等しく、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ によって導出され、カール・ヤコビによって拡張されたラグランジュの恒等式 を与えます。 $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}},}$$

この導関数の期間τにわたる平均は次のように定義され 、そこから正確な式が得られる。 $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$$${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$$

ビリアル定理によれば、⟨ dG / dt ⟩ _τ = 0ならば、 $${\displaystyle 2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$$

時間微分の平均がゼロになる理由は数多くあります。よく挙げられる理由の 1 つは、安定して結合したシステム、つまり永久に結合したままでパラメータが有限であるシステムに当てはまります。この場合、システムの粒子の速度と座標には上限と下限があり、G ^{boundは 2 つの極値}G _minとG _maxの間に制限され、平均は無限τの極限でゼロになります。 $${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\text{bound}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

Gの時間微分の平均がほぼゼロであっても、ビリアル定理は同じ程度の近似で成り立ちます。

指数nを持つべき乗法則の力の場合、一般的な方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

重力の場合、n = −1であり、平均運動エネルギーは平均負の位置エネルギーの半分に等しくなります。 $${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

この一般的な結果は、惑星系や銀河などの複雑な重力システムに役立ちます。

ビリアル定理の簡単な応用は、銀河団に関するものです。宇宙空間の領域が異常に銀河で満ちている場合、それらの銀河は長い間一緒に存在してきたと想定しても安全であり、ビリアル定理を適用できます。ドップラー効果の測定により、それらの相対速度の下限が与えられ、ビリアル定理により、暗黒物質を含む銀河団の総質量の下限が与えられます。

検討中のシステムに対してエルゴード仮説が成り立つ場合、平均化は時間にわたって行う必要はなく、アンサンブル平均も取ることができ、同等の結果が得られます。

^{ビリアル定理はもともと古典力学のために導かれたものですが、フォック[5]が}エーレンフェスト定理を用いて初めて示したように、量子力学でも成り立ちます。

位置演算子X _nと 粒子nの運動量演算子 を持つハミルトニアンの交換子を評価する。 $${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m_{n}}}}$$$${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$$${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m_{n}}}.}$$

すべての粒子を合計すると、 交換子 については となり、 は運動エネルギーで あることがわかります。この式の左辺は、ハイゼンベルクの運動方程式によれば、dQ / dtです。この時間微分の期待値⟨ dQ / dt ⟩は定常状態ではゼロになり、量子ビリアル定理が導かれます。 $${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$$${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}},}$$${\textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m_{n}}$$${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle .}$$

量子力学の分野では、定常非線形シュレーディンガー方程式またはクライン＝ゴードン方程式の局所解に適用可能なビリアル定理の別の形式として、ポホジャエフの恒等式^[6] （デリックの定理としても知られる）が存在する。が連続かつ実数値で、 であるとする。 ${\displaystyle g(s)}$${\displaystyle g(0)=0}$

と記す。 を分布 の意味で 方程式の解と する。すると は関係式を満たす。 ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$$${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\quad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\quad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\quad n\in \mathbb {N} }$$$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$${\displaystyle u}$$${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G{\big (}u(x){\big )}\,dx.}$$

特殊相対論における単一粒子の場合、T = ⁠1/2⁠ p · v 。代わりに、 T = ( γ − 1) mc ²が成り立ちます。ここで、 γはローレンツ因子です

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$ そしてβ = ⁠ヴ/c⁠。 最後の式は次のように簡略化できます 。 したがって、前のセクションで説明した条件（、ニュートンの運動の第 3 法則F _jk = − F _kjを含む）では、べき乗法則ポテンシャルを持つ N個の粒子の時間平均 特に、運動エネルギーと位置エネルギーの比は固定されなくなり、必然的に次の間隔に収まります。 ここで、より相対論的なシステムほど、より大きな比率を示します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T=\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T.}$$$${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }.}$$$${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\text{TOT}}\rangle }{n\langle V_{\text{TOT}}\rangle }}\in [1,2],}$$

ビリアル定理は周期運動に対して特に単純な形を持ち、非線形振動子の摂動計算に使用できる。^[7]

また、中心ポテンシャル内の運動を研究するためにも使用できます。^[4]中心ポテンシャルが の形の場合、ビリアル定理は に簡略化されます。^[要出典]特に、重力または静電（クーロン）引力の場合、です。 ${\displaystyle U\propto r^{n}}$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

Sivardiere, 1986に基づく解析。^[7]質量、位置、駆動力、バネ定数、減衰係数を持つ1次元振動子の場合、運動方程式は ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F\cos(\omega t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx{\vphantom {\frac {d}{d}}}} _{\text{spring}}\ \underbrace {-\ \gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\ \underbrace {+\ F\cos(\omega t){\vphantom {\frac {d}{d}}}} _{\text{external driving}}.}$$

発振器が定常状態に達すると、安定した振動 を実行します。ここで、 は振幅、 は位相角です。 ${\displaystyle x=X\cos(\omega t+\varphi )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$

ビリアル定理を適用すると が得られ、これは に簡略化されます。ここで は振動子の固有振動数です。 ${\displaystyle m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle }$${\displaystyle F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$

2 つの未知数を解くには、別の方程式が必要です。定常状態では、サイクルごとに失われる電力は、サイクルごとに得られる電力に等しくなります。 つまり、次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \underbrace {\langle {\dot {x}}\,\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\,F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}},}$$${\displaystyle \sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}}$

これで、解を導く2つの方程式ができました。 $${\displaystyle {\begin{cases}X={\sqrt {\dfrac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}},\\\tan \varphi =-{\dfrac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}.\end{cases}}}$$

質点からなる理想気体で満たされた容器を考えてみましょう。質点に作用する力は容器の壁にかかる力の負の力で、 の形をとります。ここで は外側を向いた単位法線ベクトルです。すると、ビリアル定理は次のように述べます 。発散定理 により、。また、平均全運動エネルギー なので、 となります。^[8]${\displaystyle d\mathbf {F} =-{\hat {\mathbf {n} }}PdA}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Big \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Big \rangle }={\frac {P}{2}}\int {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {r} \,dA.}$$${\textstyle \int {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {r} \,dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} \,dV=3\int dV=3V}$${\textstyle \langle T\rangle =N{\big \langle }{\frac {1}{2}}mv^{2}{\big \rangle }=N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$${\displaystyle PV=NkT}$

1933年、フリッツ・ツヴィッキーはビリアル定理を適用してかみのけ座銀河団の質量を推定し、質量の約450の差を発見した。ツヴィッキーはこれを「暗黒物質」によるものと説明した。^[9]彼は1937年に分析を改良し、約500の差を発見した。 ^{[10] [11]}

彼は、かみのけ座銀河団を、ほぼ等しい質量の恒星の球状「ガス」として近似し、次の式を得ました。銀河団の全重力位置エネルギーは で、次の式を得ました。十分に長い時間にわたって恒星の運動がすべて同じであると仮定すると (エルゴード性)、次の式を得ます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Zwicky は、一定密度の均一な球の重力ポテンシャルとして推定し、 としました。 ${\displaystyle \langle U\rangle }$${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

ビリアル定理によれば、クラスターの総質量は$${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

ツヴィッキー^[9]は、銀河団には銀河があり、それぞれの銀河は観測された恒星質量（ハッブルが示唆）を持ち、銀河団の半径は であると推定した。彼はまた、銀河スペクトルのドップラーシフトから銀河の視線速度を と測定した。運動エネルギーが等分配であると仮定すると、となる。 ${\displaystyle _{1933}}$${\displaystyle N=800}$${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

ビリアル定理によれば、クラスターの全質量は となるはずです。しかし、観測された質量は であり、これは全質量が観測された質量の 450 倍であることを意味します。 ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

レイリー卿は1900年にビリアル定理の一般化を発表し、^[12] 1903年に部分的に再版された。^[13] アンリ・ポアンカレは1911年にビリアル定理の一種を証明し、原始星雲からの太陽系の形成（当時は宇宙起源論と呼ばれていた）の問題に適用した。^{[14]ビリアル定理の変}分形は1945年にルドゥによって開発された。^[15]ビリアル定理のテンソル形はパーカー、 ^[16]チャンドラセカール^[17]およびフェルミによって開発された。 ^[18]ビリアル定理の次の一般化は、1964年にポラードによって逆二乗則の場合に対して確立された：^{[19] [20] [検証に失敗した]}そうでない場合は 境界項を追加する必要がある。^[21] $${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\quad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.}$$

ビリアル定理は電場と磁場を含むように拡張することができる。結果は^[22]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

ここで、Iは慣性モーメント、Gは電磁場の運動量密度、Tは「流体」の運動エネルギー、 U は粒子のランダムな「熱」エネルギー、W ^EとW ^Mは対象とする体積の電気エネルギーと磁気エネルギーです。最後に、p _{ik は}局所移動座標系で表現される流体圧力テンソルです 。

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

T _{ik は}電磁応力テンソルであり、

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

プラズモイドは磁場とプラズマの有限構成です。ビリアル定理により、このような構成は外力によって閉じ込められなければ膨張することが容易にわかります。圧力を支える壁や磁気コイルのない有限構成では、表面積分はゼロになります。右辺の他の項はすべて正なので、慣性モーメントの加速度も正になります。膨張時間τを推定することも簡単です。全質量M が半径R内に閉じ込められている場合、慣性モーメントはおよそMR ²であり、ビリアル定理の左辺は⁠MR2 ^2010年/τ ²⁠。右辺の項は合計すると約pR ³になります。ここでpはプラズマ圧力または磁気圧力の大きい方です。これら2つの項を等しくしてτについて解くと、

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

ここで、c _{s は}イオン音波（磁気圧がプラズマ圧よりも高い場合は アルヴェン波）の速度です。したがって、プラズモイドの寿命は音響（またはアルヴェン）通過時間と同程度になると予想されます。

物理系において圧力場、電磁場、重力場、粒子の加速場を考慮すると、ビリアル定理は相対論的な形で次のように表される。^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

ここで、値W _k ≈ γ _c T は、システムの中心にある粒子のローレンツ因子γ _cに等しい係数だけ粒子Tの運動エネルギーを超えています。通常の条件下では、 γ _c ≈ 1と仮定すると、ビリアル定理では、運動エネルギーは係数 ⁠ ではなく、位置エネルギーに関連していることがわかります。1/2⁠ではなく、0.6 に近い係数によって決まります。古典的な場合との違いは、システム内の圧力場と粒子の加速場を考慮することによって生じますが、スカラーGの導関数はゼロに等しくなく、物質導関数として考慮する必要があります。

一般化ビリアルの積分定理を解析すると、場の理論に基づいて、温度の概念を使わずにシステムの典型的な粒子の二乗平均平方根速度の式を見つけることができる。^[24]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

ここで、は光速、は加速度場定数、は粒子の質量密度、は電流半径です。 ${\displaystyle ~c}$${\displaystyle ~\eta }$${\displaystyle ~\rho _{0}}$${\displaystyle ~r}$

粒子に対するビリアル定理とは異なり、電磁場に対するビリアル定理は次のように記述されます。^[25] ここで、エネルギーは4元電流に関連付けられた運動場エネルギーとして考えられ、 電磁テンソルの成分を通じて求められる位置場エネルギーを設定します。 $${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$${\displaystyle j^{\alpha }}$$${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

ビリアル定理は天体物理学で頻繁に適用され、特にシステムの重力位置エネルギーをその運動エネルギーまたは熱エネルギーに関連付ける際に使用されます。一般的なビリアル関係式には、 質量M、半径R、速度v、温度Tなどがあります^[要出典] 。定数は、ニュートン定数G、ボルツマン定数k _B、陽子質量m _pです。これらの関係式は近似値にすぎず、主要な数値因子 (例⁠$${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ 3/5⁠または⁠1/2⁠）は完全に無視されます。

天文学では、銀河の質量とサイズ（または一般的な過密度）は、それぞれ「ビリアル質量」と「ビリアル半径」で定義されることが多い。連続流体内の銀河と過密度は非常に拡張される可能性があるため（等温球などの一部のモデルでは無限大にまで拡張されることもある）、その質量とサイズの特定の有限の尺度を定義するのは難しい場合がある。ビリアル定理と関連概念は、これらの特性を定量化する便利な手段となることが多い。

銀河の力学では、銀河の質量は、円軌道のケプラーの軌道を仮定して、そのガスと星の回転速度を測定することによって推定されることが多い。ビリアル定理を使用すると、速度分散σ を同様の方法で使用できる。システムの運動エネルギー（粒子あたり）をT = ⁠とすると、 1/2⁠ v ² ~ ⁠3/2⁠ σ ²、そして位置エネルギー（粒子あたり）はU ~ ⁠3/5⁠ ⁠GM/R⁠こう書くことができます

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

ここで速度分散が測定される半径は、Mはその半径内の質量です。ビリアル質量と半径は、一般的に速度分散が最大となる半径に対して定義されます。つまり、 ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

多数の近似が行われてきたため、これらの定義の近似的な性質に加えて、オーダー 1 の比例定数はしばしば省略されます (上記の式のように)。したがって、これらの関係は、桁の意味で、または自己矛盾なく使用される場合にのみ正確です。

宇宙論では、ビリアル質量と半径の別の定義がよく使われ、銀河または銀河団を中心とし、ビリアル平衡が保たれる球の半径を指すのに使われる。この半径は観測的に決定するのが難しいため、平均密度が臨界密度 より指定された係数だけ大きくなる半径として近似されることが多い。ここで、 Hはハッブルパラメータ、Gは重力定数である。係数としてよく選ばれる値は 200 で、これは球状トップハット崩壊における典型的な過剰密度にほぼ相当する (ビリアル質量を参照)。この場合、ビリアル半径は 次のように近似される。ビリアル質量は、この半径に対して次のように定義される。 $${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$$${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$$${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

ビリアル定理は、重力による位置エネルギーと熱運動エネルギー（つまり温度）の関係を確立することで、恒星の核に適用できる。主系列の恒星が核で水素をヘリウムに変換すると、核の平均分子量が増加し、核は自身の重量を支えるのに十分な圧力を維持するために収縮しなければならない。この収縮により位置エネルギーが減少し、ビリアル定理によれば、熱エネルギーが増加する。核の温度はエネルギーが失われても上昇し、実質的に比熱が負になる。 [ ^26]これは、核が縮退しない限り主系列を超えて続く。縮退すると圧力が温度に依存しなくなり、n = −1 のビリアル関係が成立しなくなるためである。^[27]

• ビリアル係数
• ウイルスストレス
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• チャンドラセカールテンソル
• チャンドラセカールのビリアル方程式
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• ポホジャエフの正体