クラコビアン

天文学や測地学の計算において、クラコフ行列式は、手作業で線形方程式系を解くための事務的な便宜を図るために 1925 年にタデウシュ・バナチエヴィチによって導入されました。このような系は、行列表記でA x = bと表すことができます。ここで、xとbは列ベクトルであり、 bの評価にはAの行とベクトルxの乗算が必要です。

クラコフ学派は、 Aの転置A ^{T を}使用し、 A ^Tの列に列xを乗算するというアイデアを導入しました。これは、ここで「∧」で示される新しいタイプの行列乗算の定義に相当します。したがって、 x ∧ A ^T = b = A xです。2つの行列、たとえばAとBのクラコフ積は、 A ∧ B = B ^T Aで定義されます。ここで、 B ^TとA は、一般的な (ケイリー) タイプの行列乗算と互換性があると想定されます。

( AB ) ^T = B ^T A ^Tなので、積( A ∧ B ) ∧ CとA ∧ ( B ∧ C )は一般に異なります。したがって、クラコフ乗法は結合的ではありません。クラコフ乗法は準群の例です。

クラコフ式行列解析では、標準的な行と列の表記法ではなく、列と行の表記法で個々の要素を指定していた。これにより、行列表記の縦の列と横の行ではなく、2 つの平行な列に従えばよいため、手作業での乗算が容易になった。また、両方の因子の要素が同様の順序で使用されるため、コンピューターの計算速度も向上し、当時のコンピューターの順次アクセス メモリ(主に磁気テープ メモリとドラム メモリ) との互換性が高まった。より大容量のランダム アクセス メモリを備えたコンピューターが一般的に使用されるようになると、天文学におけるクラコフ式行列の使用は衰退した。現代におけるクラコフ式行列に関する言及は、非結合乗算に関するものである。

クラクフ市を記念して名付けられました。

Rでは、関数を使用して目的の効果を実現できます。具体的には、行列AとBcrossprod()の Cracovian 積は、次のように取得できます。 crossprod(B, A)

• Banachiewicz, T. (1955). Vistas in Astronomy、第1巻、第1号、pp 200–206。
• ハーゲット、ポール (1948 年、1962 年に再版)。 軌道の計算、シンシナティ大学天文台(私家出版)。 小惑星 1751 は著者にちなんで命名されました。
• コシンスキー、J. (2004)。クラコフ代数、ノバサイエンス出版社。